1选择题
已知集合A={x|x²-4x+3≤0}，B={x|2^x>1}，则A∩ B=（ ）
- A. {x|1≤ x≤ 3}
- B. {x|0<x≤ 3}
- C. {x|1<x≤ 3}
- D. {x|0<x<1}
答案：C
解析：解不等式x²-4x+3≤0得1≤ x≤ 3，即A=[1,3]。解不等式2^x>1=2⁰得x>0，即B=(0,+∞)。所以A∩ B={x|1<x≤ 3}。易错点：忽略端点值，将A写成[1,3]，B写成(0,+∞)，交集端点需注意开闭。
2选择题
函数f(x)=ln(x+√(x²+1))的奇偶性为（ ）
- A. 奇函数
- B. 偶函数
- C. 非奇非偶函数
- D. 既是奇函数又是偶函数
答案：A
解析：函数定义域为ℝ。计算f(-x)=ln(-x+√((-x)²+1))=ln(√(x²+1)-x)。利用分子有理化：ln(((√(x²+1)-x)(√(x²+1)+x))/(√(x²+1)+x))=ln((1)/(√(x²+1)+x))=-ln(√(x²+1)+x)=-f(x)。所以f(x)是奇函数。易错点：直接代入-x后形式复杂，不会通过分子有理化或观察f(x)+f(-x)来判断。
3选择题
已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃+a₇=10，则S₉=（ ）
答案：B
解析：在等差数列中，a₃+a₇=2a₅=10，所以a₅=5。则S₉=(9)/(2)(a₁+a₉)=(9)/(2)× 2a₅=9a₅=45。易错点：误用S_n公式，或忘记等差数列的性质a₁+a₉=2a₅。
4选择题
将函数y=sin(2x+(π)/(3))的图像向右平移(π)/(6)个单位，所得图像对应的函数是（ ）
- A. y=sin(2x+(π)/(6))
- B. y=sin(2x-(π)/(6))
- C. y=cos2x
- D. y=sin2x
答案：D
解析：向右平移(π)/(6)个单位，即用x-(π)/(6)替换原函数中的x。得到y=sin[2(x-(π)/(6))+(π)/(3)]=sin(2x-(π)/(3)+(π)/(3))=sin2x。易错点：平移方向搞反（左加右减），或平移量与x的系数处理错误。
5填空题
函数f(x)=x³-3x²+1的单调递减区间是________。
答案：(0,2)（或[0,2]）
解析：求导得f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)<0，解得0<x<2。所以单调递减区间为(0,2)。易错点：忽略导数为0的点，将区间写成(0,2)或[0,2]均可，但需注意定义域为ℝ。
6填空题
在△ ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a=2，B=60°，c=3，则b=________。
答案：√(7)
解析：由余弦定理b²=a²+c²-2accos B=2²+3²-2×2×3×cos60°=4+9-6=7，所以b=√(7)。易错点：余弦定理公式记忆错误，或cos60°的值代错。
7解答题
已知函数f(x)=e^x-ax（a为常数）在x=1处取得极值。
（1）求a的值；
（2）求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值。
答案：（1）f'(x)=e^x-a。由题意f'(1)=0，即e¹-a=0，解得a=e。
（2）由（1）知f(x)=e^x-ex，f'(x)=e^x-e。令f'(x)=0，得x=1。
当x∈(0,1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1,2)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。
所以f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，f(1)=e-e=0。
比较端点值：f(0)=e⁰-e×0=1，f(2)=e²-2e=e(e-2)≈7.389-5.436=1.953>1。
所以最大值为f(2)=e²-2e，最小值为f(1)=0。
解析：（1）利用极值点处导数为0的条件求参数。（2）求最值需比较极值点和端点处的函数值。易错点：①误认为极值点一定是极值，需验证左右导数变号；②比较大小时，e的近似值计算可能出错，或忘记比较端点值。
8解答题
已知数列{a_n}是公比为q的等比数列，且a₁, a₃, a₂成等差数列。
（1）求q的值；
（2）若a₁=1，求数列{na_n}的前n项和T_n。
答案：（1）由a₁, a₃, a₂成等差数列，得2a₃=a₁+a₂。即2a_1q²=a₁+a_1q。因为a₁≠0，所以2q²=1+q，即2q²-q-1=0，解得q=1或q=-(1)/(2)。
（2）当q=1时，a_n=1，则na_n=n，T_n=1+2+3+⋯+n=(n(n+1))/(2)。
当q=-(1)/(2)时，a_n=(-(1)/(2))ⁿ-1，则na_n=n(-(1)/(2))ⁿ-1。
T_n=1·(-(1)/(2))⁰+2·(-(1)/(2))¹+3·(-(1)/(2))²+⋯+n·(-(1)/(2))ⁿ-1。
-(1)/(2)T_n=1·(-(1)/(2))¹+2·(-(1)/(2))²+⋯+(n-1)·(-(1)/(2))ⁿ-1+n·(-(1)/(2))ⁿ。
两式相减得(3)/(2)T_n=1+(-(1)/(2))¹+(-(1)/(2))²+⋯+(-(1)/(2))ⁿ-1-n·(-(1)/(2))ⁿ=(1-(-(1)/(2))ⁿ)/(1-(-(1)/(2)))-n·(-(1)/(2))ⁿ=(2)/(3)[1-(-(1)/(2))ⁿ]-n·(-(1)/(2))ⁿ。
所以T_n=(4)/(9)[1-(-(1)/(2))ⁿ]-(2n)/(3)(-(1)/(2))ⁿ=(4)/(9)-(4)/(9)(-(1)/(2))ⁿ-(2n)/(3)(-(1)/(2))ⁿ=(4)/(9)+(-(1)/(2))ⁿ((2n)/(3)-(4)/(9))。
综上，T_n=(n(n+1))/(2), q=1 ； (4)/(9)+(-(1)/(2))ⁿ((2n)/(3)-(4)/(9)), q=-(1)/(2) 。
解析：（1）利用等差中项性质列方程求公比。（2）对q分类讨论。当q=1时，求和简单；当q=-(1)/(2)时，用错位相减法求和。易错点：①忽略q=1的情况；②错位相减时，项数对齐错误，或最后化简出错。