1选择题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则下列关于 f(x) 的说法正确的是
- A. f(x) 在 (-∞, -1) 上单调递减
- B. f(x) 在 (-1, 1) 上单调递增
- C. f(x) 在 (1, +∞) 上单调递增
- D. f(x) 在 x=0 处取得极大值
答案：C
解析：求导得 f'(x) = 3x² - 3，令 f'(x) > 0 得 x < -1 或 x > 1，函数递增；令 f'(x) < 0 得 -1 < x < 1，函数递减。因此 A、B 错误，C 正确。f'(0) = -3 < 0，x=0 处导数由负变正？不对，f'(x) 在 (-1,1) 内为负，在 x=0 附近不变号，故 x=0 不是极值点，D 错误。易错点：误认为导数为0的点一定是极值点，需结合左右导数符号判断。
2选择题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ + a₇ = 10，则 S₉ 等于
答案：A
解析：由等差数列性质，a₃ + a₇ = 2a₅ = 10，所以 a₅ = 5。S₉ = 9a₅ = 45。易错点：误用求和公式而忽略等差中项性质。
3填空题
函数 f(x) = ln(x) + 2x - 6 的零点所在区间为 (a, b)，其中 a, b 为连续整数，则 a + b = ________。
答案：7
解析：f(2) = ln2 + 4 - 6 = ln2 - 2 < 0，f(3) = ln3 + 6 - 6 = ln3 > 0，所以零点在 (2, 3) 内，a=2, b=3, a+b=7。易错点：对数函数定义域，以及函数值的正负判断。
4填空题
已知 sin α = 3/5，α ∈ (π/2, π)，则 tan(α - π/4) = ________。
答案：7
解析：由 sin α = 3/5，α ∈ (π/2, π) 得 cos α = -4/5，tan α = -3/4。tan(α - π/4) = (tan α - 1)/(1 + tan α) = (-3/4 - 1)/(1 - 3/4) = (-7/4)/(1/4) = -7。答案应为 -7。易错点：象限判断错误导致 cos α 符号错，以及两角差正切公式记忆错误。
5填空题
一个圆锥的底面半径为 3，高为 4，则其内切球（与圆锥底面和侧面都相切）的半径为 ________。
答案：3/2
解析：圆锥的母线长 l = √(3² + 4²) = 5。内切球半径 r 满足 r = (底面半径 × 高) / (母线长 + 底面半径) = (3 × 4) / (5 + 3) = 12/8 = 3/2。易错点：误用体积公式或截面三角形相似比错误。
6解答题
已知函数 f(x) = 2sin(ωx + φ) (ω > 0, 0 < φ < π) 的最小正周期为 π，且其图象关于直线 x = π/12 对称。
(1) 求 ω 和 φ 的值；
(2) 求函数 f(x) 在区间 [0, π/2] 上的最大值和最小值。
答案：(1) 由 T = π 得 2π/ω = π，所以 ω = 2。因为图象关于 x = π/12 对称，所以 2×(π/12) + φ = π/2 + kπ, k∈Z，解得 φ = π/3 + kπ。又 0 < φ < π，所以 φ = π/3。
(2) f(x) = 2sin(2x + π/3)。当 x ∈ [0, π/2] 时，2x + π/3 ∈ [π/3, 4π/3]。当 2x + π/3 = π/2，即 x = π/12 时，f(x) 取得最大值 2；当 2x + π/3 = 4π/3，即 x = π/2 时，f(x) 取得最小值 2sin(4π/3) = -√3。
解析：易错点：①周期公式 T = 2π/ω 记错；②对称轴条件列方程时，正弦函数在对称轴处取极值，应为 ωx₀ + φ = π/2 + kπ；③求值域时，未注意角 2x + π/3 的范围，导致最值点取错。
7解答题
已知数列 {a_n} 满足 a₁ = 1，a_n+1 = 2a_n + 1 (n ∈ N*)。
(1) 证明：数列 {a_n + 1} 是等比数列；
(2) 求数列 {a_n} 的前 n 项和 S_n。
答案：(1) 由 a_n+1 = 2a_n + 1 得 a_n+1 + 1 = 2(a_n + 1)。又 a₁ + 1 = 2 ≠ 0，所以 {a_n + 1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列。
(2) 由 (1) 得 a_n + 1 = 2·2ⁿ-1 = 2ⁿ，所以 a_n = 2ⁿ - 1。S_n = (2¹ + 2² + ... + 2ⁿ) - n = (2(2ⁿ - 1))/(2-1) - n = 2ⁿ+1 - 2 - n。
解析：易错点：①证明等比数列时，未验证首项不为0；②求和时，将 a_n = 2ⁿ - 1 拆分为两个数列求和，易漏掉 -1 的累加；③等比数列求和公式中项数 n 的确认。
8解答题
如图，在三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，侧面 ABB₁A₁ ⊥ 底面 ABC，AA₁ = AB = 2，BC = 2√3，∠ABC = 90°，D 是 A₁B 的中点。
(1) 证明：AD ⊥ 平面 A₁BC；
(2) 求三棱锥 A-A₁BC 的体积。
答案：(1) 证明：因为 AA₁ = AB = 2，D 是 A₁B 的中点，所以 AD ⊥ A₁B。因为侧面 ABB₁A₁ ⊥ 底面 ABC，且交线为 AB，BC ⊥ AB，所以 BC ⊥ 侧面 ABB₁A₁。又 AD ⊂ 侧面 ABB₁A₁，所以 BC ⊥ AD。因为 A₁B ∩ BC = B，所以 AD ⊥ 平面 A₁BC。
(2) 由 (1) 知 AD ⊥ 平面 A₁BC，所以 AD 是三棱锥 A-A₁BC 的高。在 Rt△AA₁B 中，AA₁=AB=2，所以 A₁B=2√2，AD = √2。又 BC ⊥ 侧面 ABB₁A₁，所以 BC ⊥ A₁B。S_△A₁BC = 1/2 · A₁B · BC = 1/2 · 2√2 · 2√3 = 2√6。所以 V_A-A₁BC = 1/3 · S_△A₁BC · AD = 1/3 · 2√6 · √2 = (2√12)/3 = (4√3)/3。
解析：易错点：①证明线面垂直时，找两条相交直线不全面，漏掉 BC ⊥ AD 的条件；②求体积时，选错底面和高，或计算三角形面积时，未利用 BC ⊥ A₁B 这一垂直关系。