1选择题
已知函数f(x)=x³-3x，则下列关于f(x)的说法正确的是（ ）。
- A. f(x)在(-∞, +∞)上单调递增
- B. f(x)在(-1, 1)上单调递减
- C. x=-1是f(x)的极小值点
- D. f(x)是偶函数
答案：B
解析：易错点：误认为导数为0的点一定是极值点。解题思路：求导得f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)，令f'(x)=0得x=± 1。当x<-1或x>1时，f'(x)>0，函数递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数递减。因此B正确。A、C、D均错误。
2选择题
已知sinα = (3)/(5)，且α为第二象限角，则tanα的值为（ ）。
- A. (3)/(4)
- B. -(3)/(4)
- C. (4)/(3)
- D. -(4)/(3)
答案：B
解析：易错点：忽略三角函数在各象限的符号。解题思路：由sinα = (3)/(5)，α为第二象限角，得cosα = -√(1-sin²α) = -(4)/(5)，故tanα = (sinα)/(cosα) = -(3)/(4)。
3选择题
已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃ + a₇ = 10，则S₉的值为（ ）。
答案：A
解析：易错点：对等差数列求和公式及性质不熟。解题思路：由等差数列性质，a₃ + a₇ = 2a₅ = 10，得a₅ = 5。则S₉ = (9)/(2)(a₁ + a₉) = (9)/(2) · 2a₅ = 9a₅ = 45。
4填空题
函数f(x) = ln x - x的单调递增区间为________。
答案：(0, 1)
解析：易错点：忽略函数定义域。解题思路：定义域为(0, +∞)。求导得f'(x) = (1)/(x) - 1 = (1-x)/(x)。令f'(x) > 0，即(1-x)/(x) > 0，解得0 < x < 1。故单调递增区间为(0, 1)。
5填空题
在△ ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c。若a=2, b=3, C=60°，则c=________。
答案：√(7)
解析：易错点：余弦公式记忆错误或计算错误。解题思路：由余弦定理c² = a² + b² - 2abcos C = 4 + 9 - 2 × 2 × 3 × (1)/(2) = 13 - 6 = 7，故c = √(7)。
6填空题
已知等比数列{a_n}满足a₁ = 1, a₄ = 8，则该数列的前5项和S₅=________。
答案：31
解析：易错点：等比数列求和公式下标或公比计算错误。解题思路：设公比为q，则a₄ = a₁ q³ = q³ = 8，得q=2。故S₅ = (a₁(1-q⁵))/(1-q) = (1 × (1-2⁵))/(1-2) = (1-32)/(-1) = 31。
7解答题
已知函数f(x) = 2sin(ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)的最小正周期为π，且图象关于直线x = (π)/(3)对称。
(1) 求ω和φ的值；
(2) 求函数f(x)在区间[0, (π)/(2)]上的最大值和最小值。
答案：(1) 由最小正周期T = (2π)/(ω) = π，得ω = 2。
由图象关于直线x = (π)/(3)对称，得f((π)/(3)) = ± 2，即2sin(2 · (π)/(3) + φ) = ± 2，所以sin((2π)/(3) + φ) = ± 1。
故(2π)/(3) + φ = kπ + (π)/(2), k ∈ ℤ，即φ = kπ - (π)/(6)。
由0 < φ < π，取k=1，得φ = (5π)/(6)。
(2) 由(1)知f(x) = 2sin(2x + (5π)/(6))。
当x ∈ [0, (π)/(2)]时，2x + (5π)/(6) ∈ [(5π)/(6), (11π)/(6)]。
结合正弦函数图象，当2x + (5π)/(6) = (3π)/(2)，即x = (π)/(3)时，f(x)取得最小值-2；
当2x + (5π)/(6) = (5π)/(6)，即x=0时，f(x)取得最大值2 × (1)/(2) = 1。
故最大值为1，最小值为-2。
解析：易错点：三角函数对称轴与周期公式的应用；求值域时忽略自变量范围。解题思路：(1)利用周期公式求ω，利用对称轴条件建立关于φ的方程，并结合φ范围确定值。(2)先确定x的范围，再利用正弦函数图象求最值。
8解答题
已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n = 2a_n - 2 (n ∈ ℕ^*)。
(1) 求数列{a_n}的通项公式；
(2) 设b_n = log₂ a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n。
答案：(1) 当n=1时，S₁ = a₁ = 2a₁ - 2，解得a₁ = 2。
当n ≥ 2时，S_n-1 = 2a_n-1 - 2，
两式相减得a_n = S_n - S_n-1 = (2a_n - 2) - (2a_n-1 - 2) = 2a_n - 2a_n-1，
整理得a_n = 2a_n-1。
所以数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
故通项公式为a_n = 2 · 2ⁿ-1 = 2ⁿ。
(2) 由(1)得b_n = log₂ a_n = log₂ 2ⁿ = n。
所以T_n = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = (n(n+1))/(2)。
解析：易错点：利用a_n与S_n关系求通项时，忽略验证n=1的情况；等比数列定义理解不透。解题思路：(1)利用a_n = S_n - S_n-1 (n ≥ 2)构造递推关系，并验证首项。(2)根据对数运算化简b_n，再求和。