1选择题
已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 ≤ 0}，B = {x | log₂ x > 1}，则 A ∩ B 等于
- A. {x | 1 ≤ x ≤ 2}
- B. {x | 2 < x ≤ 4}
- C. {x | 2 ≤ x ≤ 4}
- D. {x | 1 < x < 2}
答案：C
解析：本题考查集合的交集运算与不等式求解。易错点在于对数不等式 log₂ x > 1 的解集是 x > 2，而非 x > 1。集合 A 的解集为 [1, 2]，B 的解集为 (2, +∞)，取交集时注意端点值 2 是否取等。
2选择题
若复数 z = (1+2i)/(i)（i 为虚数单位），则 |z| 等于
答案：A
解析：本题考查复数的模运算。先化简 z = (1+2i)/(i) = ((1+2i)(-i))/(i(-i)) = (-i-2i²)/(1) = 2 - i，则 |z| = √(2² + (-1)²) = √(5)。易错点在于复数除法运算错误或模的计算公式记错。
3填空题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ + a₈ = 10，则 S₁₀ = ________。
答案：50
解析：本题考查等差数列的性质与求和公式。利用性质 a₃ + a₈ = a₁ + a₁₀ = 10，则 S₁₀ = (10(a₁ + a₁₀))/(2) = 5 × 10 = 50。易错点在于未能灵活运用等差数列下标和性质，而尝试求首项和公差。
4填空题
已知 sin α = (3)/(5)，α ∈ ((π)/(2), π)，则 tan(α - (π)/(4)) = ________。
答案：-7
解析：本题考查三角函数基本关系式与两角差的正切公式。由 sin α = (3)/(5)，α 在第二象限，得 cos α = -(4)/(5)，tan α = -(3)/(4)。则 tan(α - (π)/(4)) = (tan α - 1)/(1 + tan α) = (-(3)/(4) - 1)/(1 - (3)/(4)) = (-(7)/(4))/((1)/(4)) = -7。易错点在于第二象限余弦值符号判断错误。
5填空题
一个几何体的三视图如下图所示（单位：cm），则该几何体的体积为________cm³。
（注：此处省略三视图，假设主视图与左视图为等腰直角三角形，俯视图为正方形，且几何体为正四棱锥，底面边长为2，高为2）
答案：(8)/(3)
解析：本题考查三视图还原几何体与体积计算。根据描述，该几何体为底面边长为2的正方形，高为2的正四棱锥。体积 V = (1)/(3) × (2 × 2) × 2 = (8)/(3)。易错点在于将三视图误判为其他几何体（如三棱柱）或高计算错误。
6解答题
在 △ ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，已知 2c - b = 2a cos B。
(1) 求角 A 的大小；
(2) 若 a = √(7)，b = 2，求 △ ABC 的面积。
答案：(1) A = (π)/(3)；(2) S_△ ABC = (3√(3))/(2)。
解析：本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式。(1) 利用正弦定理将边化角：2sin C - sin B = 2sin A cos B，结合 sin C = sin(A+B) 展开化简，可得 cos A = (1)/(2)，故 A = (π)/(3)。(2) 由余弦定理 a² = b² + c² - 2bc cos A 代入已知值求出 c，再用面积公式 S = (1)/(2)bc sin A 计算。易错点在于第(1)问边角转化时符号或公式使用错误，第(2)问解关于 c 的方程时可能漏解或计算错误。
7解答题
已知椭圆 C: (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 (a > b > 0) 的离心率为 (√(3))/(2)，且过点 (1, (√(3))/(2))。
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，O 为坐标原点，若 OA ⊥ OB，证明：原点 O 到直线 l 的距离为定值。
答案：(1) (x²)/(4) + y² = 1；(2) 证明见解析。
解析：本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、韦达定理及点到直线距离公式。(1) 由离心率 e = (c)/(a) = (√(3))/(2) 得 c² = (3)/(4)a²，结合 b² = a² - c² = (1)/(4)a²，再将点 (1, (√(3))/(2)) 代入方程求解 a², b²。(2) 分直线 l 斜率存在与不存在讨论。斜率存在时，设 l: y = kx + m，与椭圆方程联立，利用 OA ⊥ OB 得 x_1x₂ + y_1y₂ = 0，代入韦达定理化简得到 k 与 m 的关系，再计算原点到直线距离 d = (|m|)/(√(k²+1))，化简后为常数。斜率不存在时验证也满足。易错点在于忽略斜率不存在的情况，或联立方程后韦达定理代入计算复杂导致错误。
8解答题
已知函数 f(x) = e^x - ax - 1 (a ∈ ℝ)。
(1) 讨论 f(x) 的单调性；
(2) 当 a = 1 时，证明：对任意 x ≥ 0，f(x) ≥ x² - x。
答案：(1) 当 a ≤ 0 时，f(x) 在 ℝ 上单调递增；当 a > 0 时，f(x) 在 (-∞, ln a) 上单调递减，在 (ln a, +∞) 上单调递增。(2) 证明见解析。
解析：本题考查导数在研究函数单调性与不等式证明中的应用。(1) 求导 f'(x) = e^x - a，对 a 分类讨论。易错点在于忽略 a ≤ 0 的情况。(2) 当 a=1 时，需证 e^x - x - 1 ≥ x² - x，即 e^x ≥ x² + 1。构造函数 g(x) = e^x - x² - 1，求导分析其单调性与最小值。g'(x) = e^x - 2x，g''(x) = e^x - 2，可分析出 g(x) 在 x ≥ 0 上的最小值为 g(0)=0，从而得证。易错点在于构造函数不当或求导后分析单调性不彻底。