1选择题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则下列关于 f(x) 的说法正确的是（ ）
- A. f(x) 在 (-∞, -1) 上单调递减
- B. f(x) 在 (-1, 1) 上单调递增
- C. f(x) 在 x=1 处取得极大值
- D. f(x) 在 x=-1 处取得极小值
答案：C
解析：求导得 f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。令 f'(x)>0，解得 x<-1 或 x>1，函数递增；令 f'(x)<0，解得 -1<x<1，函数递减。因此 x=-1 是极大值点，x=1 是极小值点。易错点：误认为导数为0的点一定是极值点，或混淆极大值与极小值。
2选择题
已知 sinθ + cosθ = (1)/(5)，θ ∈ (0, π)，则 tanθ 的值为（ ）
- A. -(4)/(3)
- B. -(3)/(4)
- C. (4)/(3)
- D. (3)/(4)
答案：A
解析：由 sinθ + cosθ = (1)/(5) 平方得 1+2sinθcosθ = (1)/(25)，即 sinθcosθ = -(12)/(25)。又 θ ∈ (0, π)，sinθ > 0，故 cosθ < 0，θ 为第二象限角。由 sinθ + cosθ = (1)/(5) 和 sin²θ + cos²θ = 1 解得 sinθ = (4)/(5)，cosθ = -(3)/(5)，所以 tanθ = -(4)/(3)。易错点：忽略角的范围导致符号判断错误。
3填空题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ = 5，S₅ = 25，则 a₇ = ________。
答案：9
解析：设首项为 a₁，公差为 d。由 a₃ = a₁ + 2d = 5，S₅ = 5a₁ + 10d = 25，解得 a₁ = 1，d = 2。故 a₇ = a₁ + 6d = 1 + 12 = 13。易错点：下标计算错误，如误用 a₇ = a₁ + 7d。
4填空题
已知函数 f(x) = ln x - ax 在 x=1 处取得极值，则实数 a = ________。
答案：1
解析：f'(x) = (1)/(x) - a。由题意 f'(1) = 1 - a = 0，解得 a = 1。此时 f'(x) = (1)/(x) - 1，当 0<x<1 时 f'(x)>0，当 x>1 时 f'(x)<0，故 x=1 是极大值点，符合题意。易错点：仅由 f'(1)=0 得出结论，未验证是否为极值点。
5填空题
在 △ ABC 中，a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边，若 a = 2，B = (π)/(3)，△ ABC 的面积 S = √(3)，则 b = ________。
答案：2√(3)
解析：由面积公式 S = (1)/(2)acsin B = (1)/(2) · 2 · c · (√(3))/(2) = √(3)，解得 c = 2。再由余弦定理 b² = a² + c² - 2accos B = 4 + 4 - 2· 2· 2· (1)/(2) = 4，故 b = 2。易错点：面积公式或余弦定理应用错误。
6解答题
已知函数 f(x) = x³ - 3x² + 2。
（1）求 f(x) 的单调区间；
（2）求 f(x) 在区间 [-1, 3] 上的最大值和最小值。
答案：（1）f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x-2)。令 f'(x) > 0，解得 x < 0 或 x > 2；令 f'(x) < 0，解得 0 < x < 2。所以 f(x) 的单调递增区间为 (-∞, 0) 和 (2, +∞)，单调递减区间为 (0, 2)。
（2）由（1）知，f(x) 在 [-1, 0] 上递增，在 [0, 2] 上递减，在 [2, 3] 上递增。计算关键点函数值：f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 2 = -2，f(0) = 2，f(2) = 8 - 12 + 2 = -2，f(3) = 27 - 27 + 2 = 2。比较得，最大值为 2，最小值为 -2。
解析：（1）求导后解不等式确定单调区间，注意区间表示的规范性。（2）在闭区间上求最值，需比较极值点和端点处的函数值。易错点：漏掉端点值或极值点判断错误。
7解答题
已知 {a_n} 是等比数列，a₁ = 1，a₅ = 4a₃。
（1）求 {a_n} 的通项公式；
（2）设 b_n = a_n + 2n，求数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：（1）设公比为 q，则 a₅ = a₁ q⁴ = q⁴，a₃ = a₁ q² = q²。由 a₅ = 4a₃ 得 q⁴ = 4q²，即 q²(q² - 4) = 0。因为 q ≠ 0，所以 q² = 4，q = ± 2。故 a_n = 1 · (± 2)ⁿ-1 = (± 2)ⁿ-1。
（2）b_n = a_n + 2n。T_n = ∑_k=1ⁿ b_k = ∑_k=1ⁿ a_k + ∑_k=1ⁿ 2k。
当 q = 2 时，∑_k=1ⁿ a_k = (1-2ⁿ)/(1-2) = 2ⁿ - 1，∑_k=1ⁿ 2k = n(n+1)，所以 T_n = 2ⁿ - 1 + n(n+1)。
当 q = -2 时，∑_k=1ⁿ a_k = (1-(-2)ⁿ)/(1-(-2)) = (1-(-2)ⁿ)/(3)，∑_k=1ⁿ 2k = n(n+1)，所以 T_n = (1-(-2)ⁿ)/(3) + n(n+1)。
解析：（1）利用等比数列通项公式建立方程求解公比，注意 q 可能为负。（2）分组求和，等比数列求和需分 q=1 和 q ≠ 1 讨论，但本题 q ≠ 1。易错点：等比数列求和公式记错，或分组后求和计算错误。
8解答题
已知函数 f(x) = sin(ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < (π)/(2)) 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 (π)/(2)，且图象关于点 ((π)/(3), 0) 对称。
（1）求 ω 和 φ 的值；
（2）将 y = f(x) 的图象向右平移 (π)/(6) 个单位长度，得到 y = g(x) 的图象，求 g(x) 在区间 [0, (π)/(2)] 上的最大值和最小值。
答案：（1）由相邻两条对称轴之间的距离为 (π)/(2)，得周期 T = 2 × (π)/(2) = π，所以 ω = (2π)/(T) = 2。故 f(x) = sin(2x + φ)。因为图象关于点 ((π)/(3), 0) 对称，所以 f((π)/(3)) = sin((2π)/(3) + φ) = 0，即 (2π)/(3) + φ = kπ, k ∈ ℤ。解得 φ = kπ - (2π)/(3)。由 0 < φ < (π)/(2)，取 k=1，得 φ = π - (2π)/(3) = (π)/(3)。所以 ω = 2, φ = (π)/(3)。
（2）f(x) = sin(2x + (π)/(3))。向右平移 (π)/(6) 个单位得 g(x) = sin[2(x - (π)/(6)) + (π)/(3)] = sin(2x)。当 x ∈ [0, (π)/(2)] 时，2x ∈ [0, π]，sin(2x) ∈ [0, 1]。所以 g(x) 的最大值为 1，最小值为 0。
解析：（1）由对称轴间距求周期和 ω，由对称中心求 φ，注意 φ 的范围。（2）图象平移后求新函数解析式，再求给定区间上的最值。易错点：平移方向或平移量错误，区间上三角函数值的范围判断错误。