1选择题
已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 ≤ 0}，B = {x | 2^x > 1}，则 A ∩ B = ( )
- A. {x | 1 ≤ x ≤ 2}
- B. {x | 0 < x ≤ 2}
- C. {x | 1 < x ≤ 2}
- D. {x | 0 < x < 1}
答案：A
解析：集合 A 是一元二次不等式的解集，求解得 A = {x | 1 ≤ x ≤ 2}。集合 B 是指数不等式，求解得 B = {x | x > 0}。求交集时需注意端点值的取舍，A 中包含 1，B 中不包含 0，故交集为 {x | 1 ≤ x ≤ 2}。易错点：解一元二次不等式时符号错误，或忽略端点值。
2选择题
函数 f(x) = (x² - 1) / (|x| - 1) 的图象大致为 ( )
- A. (图略)
- B. (图略)
- C. (图略)
- D. (图略)
答案：C
解析：函数定义域为 x ≠ ±1。当 x > 1 时，f(x) = x + 1；当 0 < x < 1 时，f(x) = -(x + 1)；当 -1 < x < 0 时，f(x) = x + 1；当 x < -1 时，f(x) = -(x + 1)。函数在 x = 1 处有间断点，在 x = -1 处有定义且连续。图象特征：在 (-1, 0) 和 (1, +∞) 上为直线 y = x + 1，在 (-∞, -1) 和 (0, 1) 上为直线 y = -x - 1，且在 x = -1 处有交点。易错点：忽略绝对值对定义域和分段表达式的影响，导致图象判断错误。
3选择题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则下列说法正确的是 ( )
- A. f(x) 是奇函数且在 (-1, 1) 上单调递增
- B. f(x) 是偶函数且在 (-∞, -1) 上单调递减
- C. f(x) 是奇函数且在 (1, +∞) 上单调递增
- D. f(x) 是偶函数且在 (0, 1) 上单调递减
答案：C
解析：f(-x) = -x³ + 3x = -f(x)，故 f(x) 是奇函数。f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1)。当 f'(x) > 0 时，解得 x < -1 或 x > 1，函数单调递增；当 f'(x) < 0 时，解得 -1 < x < 1，函数单调递减。因此，在 (1, +∞) 上单调递增。易错点：误将导数为零的点直接当作极值点，未验证左右导数符号是否变号；或混淆奇偶性与单调性区间。
4选择题
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 a = 2, b = 2√3, A = 30°，则角 B = ( )
- A. 30°
- B. 60°
- C. 120°
- D. 60° 或 120°
答案：D
解析：由正弦定理 a/sinA = b/sinB，得 2/sin30° = 2√3/sinB，即 2/(1/2) = 2√3/sinB，解得 sinB = √3/2。因为 b > a，所以 B > A，B 可能是锐角或钝角，故 B = 60° 或 120°。易错点：忽略三角形中“大边对大角”的原则，或未考虑 sinB = √3/2 对应两个可能角（在 0° 到 180° 范围内），导致漏解。
5填空题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ = 5，S₇ = 49，则 a₈ = ________。
答案：13
解析：设首项为 a₁，公差为 d。由 a₃ = a₁ + 2d = 5，S₇ = 7a₁ + 21d = 49。联立方程组解得 a₁ = 1，d = 2。则 a₈ = a₁ + 7d = 1 + 14 = 13。易错点：等差数列求和公式 S_n = na₁ + n(n-1)d/2 中 n 的取值错误，或解方程组时计算失误。
6填空题
已知函数 f(x) = sin(2x + φ) (0 < φ < π) 的图象关于直线 x = π/6 对称，则 φ = ________。
答案：π/6
解析：函数图象关于直线 x = π/6 对称，则 f(π/6) = sin(2 * π/6 + φ) = sin(π/3 + φ) = ±1。即 π/3 + φ = kπ + π/2 (k ∈ Z)。解得 φ = kπ + π/6。因为 0 < φ < π，所以取 k = 0，得 φ = π/6。易错点：三角函数对称轴对应的是函数取得最值（±1）的点，而非零点；或解方程时忽略 φ 的取值范围。
7解答题
已知函数 f(x) = e^x - ax (a ∈ R)。
(1) 当 a = 1 时，求曲线 y = f(x) 在点 (0, f(0)) 处的切线方程；
(2) 讨论 f(x) 的单调性。
答案：(1) 当 a = 1 时，f(x) = e^x - x。f'(x) = e^x - 1。f(0) = 1，f'(0) = 0。切线方程为 y = 1。
(2) f'(x) = e^x - a。
当 a ≤ 0 时，f'(x) > 0 恒成立，f(x) 在 R 上单调递增。
当 a > 0 时，令 f'(x) = 0，得 x = ln a。
当 x < ln a 时，f'(x) < 0，f(x) 单调递减；
当 x > ln a 时，f'(x) > 0，f(x) 单调递增。
综上，当 a ≤ 0 时，f(x) 在 R 上单调递增；当 a > 0 时，f(x) 在 (-∞, ln a) 上单调递减，在 (ln a, +∞) 上单调递增。
解析：第(1)问是导数几何意义的直接应用，注意切点坐标和导数值。第(2)问是含参函数单调性的讨论，关键在于对参数 a 的分类讨论。易错点：① 对 a ≤ 0 的情况忽略，或讨论不完整；② 在 a > 0 时，对 f'(x) 符号的分析不准确；③ 单调区间与单调性的表述不规范。
8解答题
已知数列 {a_n} 满足 a₁ = 1，a_n+1 = 2a_n + 1 (n ∈ N^*)。
(1) 证明：数列 {a_n + 1} 是等比数列；
(2) 求数列 {a_n} 的前 n 项和 S_n。
答案：(1) 证明：由 a_n+1 = 2a_n + 1，得 a_n+1 + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)。
又 a₁ + 1 = 2 ≠ 0，所以 {a_n + 1} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。
(2) 由 (1) 知 a_n + 1 = 2 * 2ⁿ-1 = 2ⁿ，所以 a_n = 2ⁿ - 1。
S_n = (2¹ + 2² + ... + 2ⁿ) - n = (2(2ⁿ - 1))/(2 - 1) - n = 2ⁿ+1 - n - 2。
解析：第(1)问是构造等比数列的典型方法，关键在于通过递推关系得到 a_n+1 + 1 与 a_n + 1 的倍数关系，并验证首项不为零。第(2)问是求和，需要将 a_n 拆分为等比数列和常数数列分别求和。易错点：① 构造等比数列时，忘记验证首项是否为零；② 求和时，等比数列求和公式记错，或常数项 n 的求和遗漏；③ 最终结果未化简。