1选择题
已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | x² - 2x = 0}，则 A ∩ B 等于
- A. {0}
- B. {1}
- C. {2}
- D. {0, 1, 2}
答案：C
解析：本题考查集合的交集运算。解方程 x²-3x+2=0 得 x=1 或 x=2，故 A={1,2}。解方程 x²-2x=0 得 x=0 或 x=2，故 B={0,2}。因此 A ∩ B = {2}。易错点：解方程时出现计算错误或混淆交集与并集。
2选择题
函数 f(x) = ln(x² - 4x + 3) 的单调递减区间是
- A. (-∞, 1)
- B. (1, 2)
- C. (2, 3)
- D. (3, +∞)
答案：A
解析：本题考查复合函数的单调性。令 u = x² - 4x + 3，则 f(x) = ln u。首先，u > 0，解得 x < 1 或 x > 3，即定义域为 (-∞, 1) ∪ (3, +∞)。u = (x-2)² - 1，在 (-∞, 1) 上 u 单调递减，且 u > 0，而 ln u 是增函数，所以复合函数 f(x) 在 (-∞, 1) 上单调递减。易错点：忽略定义域，或对复合函数单调性判断错误（同增异减原则）。
3选择题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ + a₇ = 10，则 S₉ 等于
答案：A
解析：本题考查等差数列的性质与求和公式。由等差数列性质，a₃ + a₇ = a₁ + a₉ = 2a₅ = 10，所以 a₅ = 5。则 S₉ = (9(a₁ + a₉))/(2) = (9 × 10)/(2) = 45。易错点：不熟悉下标和性质，或误用求和公式。
4填空题
函数 f(x) = (x)/(x+1) 在区间 [2, 4] 上的最小值为________。
答案：(2)/(3)
解析：本题考查函数在闭区间上的最值。f(x) = 1 - (1)/(x+1)，因为 x ∈ [2, 4]，所以 x+1 ∈ [3, 5]，(1)/(x+1) ∈ [(1)/(5), (1)/(3)]，故 f(x) ∈ [1-(1)/(3), 1-(1)/(5)] = [(2)/(3), (4)/(5)]。最小值为 (2)/(3)。易错点：未将函数变形，直接求导计算复杂，或端点值代入错误。
5填空题
已知 sin(π - α) = (1)/(3)，且 α ∈ ((π)/(2), π)，则 tan α = ________。
答案：-(√(2))/(4)
解析：本题考查三角函数诱导公式与同角关系。由 sin(π - α) = sin α = (1)/(3)，且 α 在第二象限，所以 cos α = -√(1 - sin² α) = -√(1 - (1)/(9)) = -(2√(2))/(3)。则 tan α = (sin α)/(cos α) = (1/3)/(-2√(2)/3) = -(1)/(2√(2)) = -(√(2))/(4)。易错点：象限符号判断错误，或计算 cos α 时忘记负号。
6填空题
一个正项等比数列 {a_n} 中，a₂ = 2，a₅ = 16，则其前6项和 S₆ = ________。
答案：126
解析：本题考查等比数列基本量计算。设公比为 q，则 a₅ = a₂ · q³，即 16 = 2 · q³，解得 q³ = 8，q = 2（正项数列，公比为正）。首项 a₁ = (a₂)/(q) = (2)/(2) = 1。所以 S₆ = (a₁(1 - q⁶))/(1 - q) = (1 × (1 - 2⁶))/(1 - 2) = (1 - 64)/(-1) = 63。易错点：计算 q 时开立方错误，或求和公式中项数 n 代入错误。
7解答题
已知函数 f(x) = x³ - 3x² - 9x + 1。
(1) 求 f(x) 的单调区间；
(2) 求 f(x) 在区间 [-2, 4] 上的最大值和最小值。
答案：(1) f'(x) = 3x² - 6x - 9 = 3(x² - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)。
令 f'(x) > 0，得 x < -1 或 x > 3；令 f'(x) < 0，得 -1 < x < 3。
所以 f(x) 的单调递增区间为 (-∞, -1) 和 (3, +∞)；单调递减区间为 (-1, 3)。
(2) 由(1)知，在 [-2, 4] 上，x=-1 时取得极大值，x=3 时取得极小值。
计算：f(-2) = (-2)³ - 3(-2)² - 9(-2) + 1 = -8 - 12 + 18 + 1 = -1；
f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² - 9(-1) + 1 = -1 - 3 + 9 + 1 = 6；
f(3) = 3³ - 3 · 3² - 9 · 3 + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = -26；
f(4) = 4³ - 3 · 4² - 9 · 4 + 1 = 64 - 48 - 36 + 1 = -19。
比较得，最大值为 6，最小值为 -26。
解析：本题考查利用导数研究函数单调性与最值，紧扣例题考点。(1) 求导后解不等式确定单调区间。(2) 在闭区间上求最值，需比较极值点与端点函数值。易错点：① 求导后因式分解错误；② 解 f'(x)>0 或 <0 时区间写错；③ 计算函数值时出现计算错误；④ 忘记比较端点值，直接取极值作为最值。
8解答题
在 △ ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，已知 b = 2√(3)，c = 2，C = 30°。
(1) 求角 B；
(2) 求 △ ABC 的面积。
答案：(1) 由正弦定理 (b)/(sin B) = (c)/(sin C)，得 (2√(3))/(sin B) = frac{2}{sin 30° = (2)/(1/2) = 4。
所以 sin B = (2√(3))/(4) = (√(3))/(2)。
因为 b > c，所以 B > C，又 C = 30°，故 B 可能为 60° 或 120°。
当 B = 60° 时，A = 180°- B - C = 90°，此时 △ ABC 存在。
当 B = 120° 时，A = 180°- 120°- 30°= 30°，此时 a = c = 2，b = 2√(3)，三角形也存在。
所以 B = 60° 或 120°。
(2) 当 B = 60° 时，A = 90°，面积 S = (1)/(2)bc sin A = (1)/(2) × 2√(3) × 2 × sin 90°= 2√(3)。
当 B = 120° 时，A = 30°，面积 S = (1)/(2)bc sin A = (1)/(2) × 2√(3) × 2 × sin 30°= (1)/(2) × 4√(3) × (1)/(2) = √(3)。
综上，△ ABC 的面积为 2√(3) 或 √(3)。
解析：本题考查正弦定理、三角形内角和及面积公式，结合解三角形考点。(1) 用正弦定理求 sin B，根据边角关系（大边对大角）判断 B 是否有两解。(2) 分情况计算面积。易错点：① 正弦定理公式记错；② 由 sin B = (√(3))/(2) 直接得出 B=60°，忽略 120° 的可能；③ 计算面积时，夹角 A 用错，或未分情况讨论。