1选择题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则下列关于 f(x) 的单调区间描述正确的是（ ）
- A. 在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递增，在 (-1, 1) 上单调递减
- B. 在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递减，在 (-1, 1) 上单调递增
- C. 在 (-∞, 0) 上单调递增，在 (0, +∞) 上单调递减
- D. 在 (-∞, +∞) 上单调递增
答案：A
解析：求导得 f'(x) = 3x² - 3 = 3(x+1)(x-1)。令 f'(x) > 0，解得 x < -1 或 x > 1，此时函数单调递增；令 f'(x) < 0，解得 -1 < x < 1，此时函数单调递减。易错点：导数为0的点（x=±1）是单调区间的分界点，但函数在该点处不改变单调性，需结合导数符号判断。
2选择题
已知等比数列 {a_n} 满足 a₁ = 2，且 a₃ = 8，则该数列的公比 q 等于（ ）
答案：C
解析：由 a₃ = a₁q² 得 8 = 2q²，解得 q² = 4，所以 q = 2 或 q = -2。易错点：等比数列的公比可以为负数，容易漏解。
3填空题
函数 f(x) = sin(2x + π/6) 的最小正周期是________。
答案：π
解析：对于函数 y = sin(ωx + φ)，其最小正周期 T = 2π/|ω|。本题中 ω = 2，所以 T = 2π/2 = π。易错点：容易误用公式 T = 2π/ω 而忽略绝对值，或与振幅、相位等概念混淆。
4填空题
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 a = 2，b = 3，C = 60°，则 c =________。
答案：√7
解析：由余弦定理 c² = a² + b² - 2ab cosC，代入数据得 c² = 2² + 3² - 2×2×3×cos60° = 4 + 9 - 12×(1/2) = 13 - 6 = 7，所以 c = √7。易错点：余弦定理公式记忆错误，或 cos60° 的值记错。
5解答题
已知数列 {a_n} 是等差数列，且 a₂ = 5，a₅ = 14。
(1) 求数列 {a_n} 的通项公式；
(2) 求数列 {a_n} 的前 n 项和 S_n。
答案：(1) 设首项为 a₁，公差为 d。由 a₂ = a₁ + d = 5，a₅ = a₁ + 4d = 14，解得 a₁ = 2，d = 3。所以 a_n = a₁ + (n-1)d = 2 + 3(n-1) = 3n - 1。
(2) S_n = n(a₁ + a_n)/2 = n(2 + 3n - 1)/2 = n(3n + 1)/2。
解析：本题考查等差数列的基本量计算和求和公式。易错点：①解方程组时计算错误；②求和公式 S_n = n(a₁ + a_n)/2 或 S_n = na₁ + n(n-1)d/2 使用不当。
6解答题
已知函数 f(x) = 2sin(ωx + φ) (ω > 0, |φ| < π/2) 的图象过点 (0, 1)，且相邻两条对称轴之间的距离为 π。
(1) 求 ω 和 φ 的值；
(2) 求 f(x) 在区间 [0, π/2] 上的最大值和最小值。
答案：(1) 由相邻对称轴距离为 π，得周期 T = 2π，所以 ω = 2π/T = 1。由 f(0) = 2sinφ = 1，得 sinφ = 1/2。因为 |φ| < π/2，所以 φ = π/6。故 ω = 1，φ = π/6。
(2) f(x) = 2sin(x + π/6)。当 x ∈ [0, π/2] 时，x + π/6 ∈ [π/6, 2π/3]。在区间 [π/6, 2π/3] 上，sin(x + π/6) 在 x + π/6 = π/2 即 x = π/3 时取得最大值 1，所以 f(x) 最大值为 2；在 x + π/6 = π/6 即 x = 0 时取得最小值 1/2，所以 f(x) 最小值为 2×(1/2) = 1。
解析：本题考查三角函数的图象与性质。易错点：①对称轴距离与周期的关系理解错误（对称轴距离是半周期）；②求最值时，未正确确定内层函数 x + π/6 的取值范围，导致最值点判断错误。
7解答题
已知函数 f(x) = x³ - 3x² + 4。
(1) 求 f(x) 的单调区间；
(2) 求 f(x) 在区间 [-1, 3] 上的最大值和最小值。
答案：(1) f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x-2)。令 f'(x) = 0，得 x = 0 或 x = 2。当 x < 0 或 x > 2 时，f'(x) > 0，函数单调递增；当 0 < x < 2 时，f'(x) < 0，函数单调递减。所以单调递增区间为 (-∞, 0) 和 (2, +∞)，单调递减区间为 (0, 2)。
(2) 由 (1) 知，在 [-1, 0] 上递增，在 [0, 2] 上递减，在 [2, 3] 上递增。计算关键点函数值：f(-1) = (-1)³ - 3×(-1)² + 4 = -1 - 3 + 4 = 0；f(0) = 0 - 0 + 4 = 4；f(2) = 8 - 12 + 4 = 0；f(3) = 27 - 27 + 4 = 4。所以最大值为 4，最小值为 0。
解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、最值。易错点：①求导后因式分解错误；②在闭区间求最值时，忘记比较端点值与极值点的函数值；③单调区间书写时用“和”连接，而非“并集”符号。
8解答题
已知数列 {a_n} 满足 a₁ = 1，a_n+1 = 2a_n + 1 (n ∈ N*)。
(1) 证明：数列 {a_n + 1} 是等比数列；
(2) 求数列 {a_n} 的前 n 项和 S_n。
答案：(1) 由 a_n+1 = 2a_n + 1，得 a_n+1 + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)。又 a₁ + 1 = 2 ≠ 0，所以数列 {a_n + 1} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。
(2) 由 (1) 知 a_n + 1 = 2 × 2ⁿ-1 = 2ⁿ，所以 a_n = 2ⁿ - 1。S_n = (2¹ - 1) + (2² - 1) + ... + (2ⁿ - 1) = (2¹ + 2² + ... + 2ⁿ) - n = (2(2ⁿ - 1))/(2-1) - n = 2ⁿ+1 - 2 - n。
解析：本题考查递推数列的构造法求通项及求和。易错点：①证明等比数列时，必须验证首项不为零；②求和时，将通项拆分为等比数列部分与常数部分后，分别求和，常数部分易漏乘 n。