1选择题
已知函数f(x)=ln x - ax在区间(1, +∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
- A. a ≤ 1
- B. a < 1
- C. a ≥ 1
- D. a > 1
答案：C
解析：函数在区间上单调递减，等价于导数在该区间上恒小于等于0。求导得f'(x)=(1)/(x)-a，由题意得(1)/(x)-a ≤ 0在(1, +∞)上恒成立，即a ≥ (1)/(x)。由于(1)/(x)在(1, +∞)上单调递减，且当x → 1^+时(1)/(x) → 1，故a ≥ 1。易错点：误认为单调递减等价于导数小于0，忽略了等号；或未正确处理恒成立问题中的最值。
2选择题
若sin(α+(π)/(3))=(3)/(5)，且α ∈ ((π)/(2), π)，则cosα的值为（ ）
- A. (-4√(3)-3)/(10)
- B. (-4√(3)+3)/(10)
- C. (4√(3)-3)/(10)
- D. (4√(3)+3)/(10)
答案：A
解析：由α ∈ ((π)/(2), π)，得α+(π)/(3) ∈ ((5π)/(6), (4π)/(3))，结合sin(α+(π)/(3))=(3)/(5)>0，可知α+(π)/(3) ∈ ((5π)/(6), π)，故cos(α+(π)/(3))=-(4)/(5)。利用cosα=cos[(α+(π)/(3))-(π)/(3)]展开计算。易错点：忽略角α+(π)/(3)的范围，导致cos(α+(π)/(3))符号判断错误。
3选择题
已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=7，S₆=63，则公比q=（ ）
答案：A
解析：当q=1时，S₃=3a₁=7，S₆=6a₁=14 ≠ 63，舍去。当q ≠ 1时，由S₃=(a₁(1-q³))/(1-q)=7，S₆=(a₁(1-q⁶))/(1-q)=63，两式相除得(1-q⁶)/(1-q³)=9，即1+q³=9，解得q³=8，故q=2。易错点：忽略q=1的讨论；或由q³=8错误得出q=2或q=-2。
4填空题
函数f(x)=x³-3x²+1的单调递减区间为________。
答案：(0, 2)
解析：求导得f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)<0，解得0<x<2。故单调递减区间为(0, 2)。易错点：将单调递减区间写成[0, 2]，忽略了端点处导数为0，函数不单调。
5填空题
在△ ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若a=2，b=3，C=60°，则c=________。
答案：√(7)
解析：由余弦定理c²=a²+b²-2abcos C=2²+3²-2×2×3×cos 60°=4+9-6=7，故c=√(7)。易错点：余弦定理公式记忆错误，或计算cos 60°时出错。
6填空题
已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，则数列{a_n}的通项公式为a_n=________。
答案：2ⁿ-1
解析：由a_n+1=2a_n+1，可构造a_n+1+1=2(a_n+1)，故{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。所以a_n+1=2×2ⁿ-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1。易错点：构造新数列时出错，或求等比数列通项时下标错。
7解答题
已知函数f(x)=e^x-ax²-1，其中a ∈ ℝ。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；
（2）若f(x) ≥ 0对x ∈ [0, +∞)恒成立，求a的取值范围。
答案：（1）当a=1时，f(x)=e^x-x²-1，f'(x)=e^x-2x。
f(1)=e-2，f'(1)=e-2。
切线方程为y-(e-2)=(e-2)(x-1)，即y=(e-2)x。
（2）由f(x) ≥ 0对x ∈ [0, +∞)恒成立，得e^x-1 ≥ ax²。
当x=0时，不等式恒成立。
当x>0时，分离参数得a ≤ (e^x-1)/(x²)。
设g(x)=(e^x-1)/(x²)，x>0，求导分析单调性得g(x)在(0, +∞)上单调递减，且lim_x → 0^+ g(x)=(1)/(2)，lim_x → +∞ g(x)=+∞。
故g(x)的值域为((1)/(2), +∞)，所以a ≤ (1)/(2)。
综上，a的取值范围是(-∞, (1)/(2)]。
解析：（1）考查导数的几何意义，注意切点坐标和导数值的计算。（2）考查恒成立问题，采用分离参数法。易错点：①分离参数时未讨论x=0的情况；②求导g'(x)时计算错误；③未正确求出g(x)的最小值或值域，导致范围错误。
8解答题
已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-2。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=(n)/(a_n)，求数列{b_n}的前n项和T_n。
答案：（1）当n=1时，S₁=a₁=2a₁-2，解得a₁=2。
当n ≥ 2时，S_n-1=2a_n-1-2，与S_n=2a_n-2相减得a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1。
所以{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，故a_n=2ⁿ。
（2）由（1）得b_n=(n)/(2ⁿ)。
T_n=(1)/(2)+(2)/(2²)+(3)/(2³)+⋯+(n)/(2ⁿ)，
(1)/(2)T_n=(1)/(2²)+(2)/(2³)+⋯+(n-1)/(2ⁿ)+(n)/(2ⁿ+1)，
两式相减得(1)/(2)T_n=(1)/(2)+(1)/(2²)+⋯+(1)/(2ⁿ)-(n)/(2ⁿ+1)=((1)/(2)(1-(1)/(2ⁿ)))/(1-(1)/(2))-(n)/(2ⁿ+1)=1-(1)/(2ⁿ)-(n)/(2ⁿ+1)，
所以T_n=2-(n+2)/(2ⁿ)。
解析：（1）考查由S_n与a_n的关系求通项公式，注意n=1的验证。（2）考查错位相减法求和。易错点：①在由S_n求a_n时，未验证n=1是否成立；②错位相减时，项数错位或系数计算出错；③最后化简T_n时出现错误。