1选择题
已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | x² - 2x = 0}，则 A ∩ B 等于
- A. {0}
- B. {1}
- C. {2}
- D. {0, 2}
答案：C
解析：本题考查集合的交集运算。解一元二次方程求出集合A和B的元素。易错点：解方程出错或混淆交集与并集。A={1,2}，B={0,2}，故A∩B={2}。
2选择题
函数 f(x) = (ln(x+1))/(√(2-x)) 的定义域为
- A. (-1, 2)
- B. (-1, 2]
- C. [ -1, 2 )
- D. (-1, +∞)
答案：A
解析：本题考查函数定义域的求解。需同时满足真数大于0且分母不为0（偶次根号下非负）。由 x+1>0 得 x>-1，由 2-x>0 得 x<2，取交集得 (-1, 2)。易错点：忽略分母不为0或根号下非负的要求。
3选择题
下列函数中，既是奇函数又在区间 (0, +∞) 上单调递增的是
- A. y = x²
- B. y = sin x
- C. y = x³
- D. y = 2^x
答案：C
解析：本题考查函数的奇偶性与单调性。A是偶函数；B是奇函数但在(0,+∞)上不单调；C是奇函数且在R上单调递增；D是非奇非偶函数。易错点：对三角函数单调区间不熟悉。
4填空题
已知等差数列 {a_n} 中，a₃ = 5，a₇ = 13，则其公差 d = ________。
答案：2
解析：本题考查等差数列的基本运算。利用等差数列通项公式 a_n = a₁ + (n-1)d，由 a₃ = a₁ + 2d = 5 和 a₇ = a₁ + 6d = 13，两式相减得 4d = 8，故 d=2。易错点：下标运算错误或公式记忆不清。
5填空题
已知 sin α = (3)/(5)，α ∈ ((π)/(2), π)，则 tan α = ________。
答案：-(3)/(4)
解析：本题考查同角三角函数基本关系。由 sin α 和象限求 cos α，再求 tan α。α 在第二象限，cos α = -√(1 - sin² α) = -(4)/(5)，故 tan α = (sin α)/(cos α) = -(3)/(4)。易错点：忽略角的象限导致符号错误。
6计算题
已知函数 f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1。
(1) 求 f(x) 的单调递减区间；
(2) 求 f(x) 在区间 [0, 4] 上的最大值与最小值。
答案：(1) 单调递减区间为 (1, 3)。
(2) 最大值为 5，最小值为 1。
解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、最值。
(1) f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)。令 f'(x) < 0，解得 1 < x < 3。
(2) 在 [0,4] 上，计算端点值及极值点处的函数值：f(0)=1, f(1)=5, f(3)=1, f(4)=5。故最大值为 5，最小值为 1。
易错点：求导错误；解不等式出错；比较最值时遗漏端点值。
7解答题
已知等比数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，且 S₂ = 6，S₄ = 30。
(1) 求数列 {a_n} 的通项公式；
(2) 设 b_n = a_n + 2n，求数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：(1) 设公比为 q。由 S₂ = a₁(1+q) = 6，S₄ = a₁(1+q+q²+q³) = 30。
两式相除得 (1+q+q²+q³)/(1+q) = 5，即 1+q² = 5，解得 q² = 4，故 q = 2 或 q = -2。
若 q = 2，代入 S₂ 得 a₁ = 2，则 a_n = 2 · 2ⁿ-1 = 2ⁿ。
若 q = -2，代入 S₂ 得 a₁ = -6，则 a_n = -6 · (-2)ⁿ-1。
(2) 当 a_n = 2ⁿ 时，b_n = 2ⁿ + 2n，T_n = (2 + 2² + ⋯ + 2ⁿ) + 2(1+2+⋯+n) = (2(1-2ⁿ))/(1-2) + n(n+1) = 2ⁿ+1 + n² + n - 2。
当 a_n = -6 · (-2)ⁿ-1 时，b_n = -6 · (-2)ⁿ-1 + 2n，T_n = -6 · (1-(-2)ⁿ)/(1-(-2)) + n(n+1) = -2[1-(-2)ⁿ] + n² + n = 2(-2)ⁿ + n² + n - 2。
解析：本题考查等比数列的通项公式与求和，以及分组求和法。
(1) 关键是利用 S₂ 和 S₄ 建立方程组求 a₁ 和 q。注意 q 可能为负值。
(2) 将数列拆分为等比数列与等差数列分别求和。易错点：等比数列求和公式使用错误（特别是公比为-2时）；分组求和后合并出错。
8解答题
在 △ ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c，已知 2a cos C = 2b - c。
(1) 求角 A 的大小；
(2) 若 a = √(7)，b = 2，求 △ ABC 的面积。
答案：(1) 由正弦定理 (a)/(sin A) = (b)/(sin B) = (c)/(sin C)，将条件 2a cos C = 2b - c 转化为：
2 sin A cos C = 2 sin B - sin C。
又 B = π - (A+C)，所以 sin B = sin(A+C) = sin A cos C + cos A sin C。
代入得 2 sin A cos C = 2(sin A cos C + cos A sin C) - sin C，
化简得 2 cos A sin C = sin C。
因为 C ∈ (0, π)，sin C ≠ 0，所以 cos A = (1)/(2)，故 A = (π)/(3)。
(2) 由余弦定理 a² = b² + c² - 2bc cos A，代入 a=√(7), b=2, A=(π)/(3) 得：
7 = 4 + c² - 2 · 2 · c · (1)/(2)，即 c² - 2c - 3 = 0，解得 c = 3 (舍去负值)。
所以 △ ABC 的面积 S = (1)/(2) bc sin A = (1)/(2) × 2 × 3 × (√(3))/(2) = (3√(3))/(2)。
解析：本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式。
(1) 关键是利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换求角。易错点：三角变换公式记错或化简错误。
(2) 利用余弦定理求边长 c，再求面积。易错点：解一元二次方程时漏解或未舍去不合理解。