1选择题
已知函数f(x)=x³-3x+1，则下列关于f(x)的说法正确的是
- A. f(x)在(-∞, -1)上单调递减
- B. f(x)在(-1, 1)上单调递增
- C. f(x)的极大值点为x=-1
- D. f(x)的极小值点为x=1
答案：C
解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值。f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。当x<-1时，f'(x)>0；当-1<x<1时，f'(x)<0；当x>1时，f'(x)>0。因此f(x)在(-∞, -1)和(1, +∞)上递增，在(-1, 1)上递减。x=-1是极大值点，x=1是极小值点。易错点：混淆单调区间与极值点的对应关系，或误判导数为0的点一定是极值点（需结合单调性判断）。
2选择题
将函数y=sin(2x+π/6)的图像向右平移π/4个单位，所得函数图像的一条对称轴方程为
- A. x=π/6
- B. x=π/3
- C. x=π/12
- D. x=5π/12
答案：D
解析：本题考查三角函数图像的平移变换与对称轴。平移后的函数解析式为y=sin[2(x-π/4)+π/6]=sin(2x-π/3)。令2x-π/3=kπ+π/2 (k∈Z)，解得x=kπ/2+5π/12。当k=0时，x=5π/12。易错点：平移方向判断错误（向右平移应为减），或解对称轴方程时k的取值遗漏。
3填空题
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a7=10，则S9=________。
答案：45
解析：本题考查等差数列的性质与求和。由等差数列性质，a3+a7=a1+a9=10。S9=9(a1+a9)/2=9×10/2=45。易错点：直接计算a1和d，未利用性质简化计算；或求和公式记忆错误。
4填空题
已知正项等比数列{bn}满足b2b4=16，b1+b2+b3=7，则b5=________。
答案：16
解析：本题考查等比数列的基本运算。由b2b4=b3²=16，且bn>0，得b3=4。设公比为q，则b1+b1q+4=7，且b3=b1q²=4，联立解得q=2（q=1/2舍去，因b1+b2+b3=7不满足），故b5=b3q²=4×4=16。易错点：未考虑正项条件舍去负公比；或由b3=4直接求b5时，误用b5=b3+2d（等差思维）。
5解答题
已知函数f(x)=lnx-ax (a∈R)。
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 若f(x)≤0对x>0恒成立，求a的取值范围。
答案：(1) f(x)的定义域为(0, +∞)。f'(x)=1/x - a = (1-ax)/x。
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0, +∞)上单调递增。
当a>0时，令f'(x)=0得x=1/a。当0<x<1/a时，f'(x)>0；当x>1/a时，f'(x)<0。故f(x)在(0, 1/a)上单调递增，在(1/a, +∞)上单调递减。
(2) 由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增，且f(1)=-a>0，不满足f(x)≤0恒成立。
当a>0时，f(x)在x=1/a处取得最大值f(1/a)=ln(1/a)-a*(1/a)=-ln a -1。
要使f(x)≤0恒成立，只需最大值f(1/a)≤0，即-ln a -1 ≤ 0，解得a ≥ 1/e。
综上，a的取值范围是[1/e, +∞)。
解析：本题综合考查利用导数研究函数单调性、求最值以及恒成立问题。(1)问需对参数a进行分类讨论，注意定义域；(2)问将恒成立问题转化为函数最大值≤0，关键步骤是求出最大值并解不等式。易错点：分类讨论不完整（如忽略a≤0）；求最值时代入x=1/a计算ln(1/a)出错；或未注意定义域x>0。
6解答题
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2a cos C = 2b - c。
(1) 求角A的大小；
(2) 若a=√7，b=2，求△ABC的面积。
答案：(1) 由正弦定理，a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，代入条件得：
2(2R sinA) cosC = 2(2R sinB) - 2R sinC，即2 sinA cosC = 2 sinB - sinC。
又sinB = sin(A+C) = sinA cosC + cosA sinC，代入得：
2 sinA cosC = 2(sinA cosC + cosA sinC) - sinC
化简得：2 sinA cosC = 2 sinA cosC + 2 cosA sinC - sinC
即0 = 2 cosA sinC - sinC。
因为sinC ≠ 0，所以2 cosA - 1 = 0，cosA = 1/2。
又A∈(0, π)，故A = π/3。
(2) 由余弦定理 a² = b² + c² - 2bc cosA，得：
(√7)² = 2² + c² - 2*2*c*(1/2)
7 = 4 + c² - 2c，即c² - 2c - 3 = 0，解得c=3或c=-1（舍去）。
故△ABC的面积S = (1/2)bc sinA = (1/2)*2*3*sin(π/3) = 3*(√3/2) = (3√3)/2。
解析：本题考查解三角形中的正弦定理、余弦定理及三角形面积公式。(1)问利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换求角，注意sinB=sin(A+C)的展开；(2)问先用余弦定理求边c，再求面积。易错点：正弦定理边角互化时出错；解三角方程时符号错误；面积公式记错。
7解答题
已知数列{an}满足a1=1，an+1 = 2an + 1 (n∈N*)。
(1) 证明：数列{an+1}是等比数列；
(2) 求数列{an}的前n项和Sn。
答案：(1) 证明：由an+1 = 2an + 1，得an+1 + 1 = 2an + 2 = 2(an + 1)。
又a1 + 1 = 2 ≠ 0，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列。
(2) 由(1)得 an + 1 = 2 * 2^(n-1) = 2ⁿ，所以an = 2ⁿ - 1。
Sn = (2¹ + 2² + ... + 2ⁿ) - (1+1+...+1) = (2(2ⁿ - 1)/(2-1)) - n = 2^(n+1) - 2 - n。
解析：本题考查递推数列的构造法求通项及数列求和。(1)问的关键是通过递推式构造新数列，需验证首项不为0；(2)问将通项拆分为等比数列与常数列之差，再分别求和。易错点：构造新数列时等式变形错误；求和时忘记减去常数项的和n；或等比数列求和公式记错。
8解答题
某工厂生产两种产品A和B，生产一件A产品需甲原料2kg，乙原料1kg，获利300元；生产一件B产品需甲原料1kg，乙原料2kg，获利200元。现有甲原料100kg，乙原料80kg。
(1) 若生产A产品x件，B产品y件，列出x，y满足的约束条件；
(2) 如何安排生产，可使总利润最大？最大利润是多少？
答案：(1) 约束条件为：
2x + y ≤ 100 (甲原料限制)
x + 2y ≤ 80 (乙原料限制)
x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∈ N (非负整数)
(2) 目标函数为总利润Z = 300x + 200y。
画出可行域（由四条直线围成的四边形区域，顶点为O(0,0), A(50,0), B(40,20), C(0,40)）。
将目标函数变形为y = -1.5x + Z/200，其斜率为-1.5。
联立2x+y=100与x+2y=80，解得交点B(40,20)。
将各顶点坐标代入Z：
Z(0,0)=0；Z(50,0)=15000；Z(40,20)=300×40+200×20=12000+4000=16000；Z(0,40)=8000。
比较得，当x=40，y=20时，Z最大，最大利润为16000元。
故生产A产品40件，B产品20件，可获得最大利润16000元。
解析：本题考查线性规划问题在实际中的应用。(1)问根据题意列出不等式组，注意x,y为非负整数；(2)问用图解法或顶点法求最优解，关键步骤是求可行域顶点坐标并比较目标函数值。易错点：约束条件列错（如原料限制不等号方向）；目标函数斜率与可行域边界斜率比较错误；或未考虑x,y为整数（本题最优解恰为整数，无需调整）。