1选择题
已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 ≤ 0}，B = {x | log₂ x < 1}，则 A ∩ B 等于
- A. [1, 2)
- B. (0, 2]
- C. [1, 2]
- D. (0, 1)
答案：A
解析：解不等式 x² - 3x + 2 ≤ 0 得 1 ≤ x ≤ 2，所以 A = [1, 2]。解不等式 log₂ x < 1 得 0 < x < 2，所以 B = (0, 2)。求交集得 A ∩ B = [1, 2)。易错点：对数函数的定义域要求 x > 0，以及对数不等式求解时需注意底数大于1，不等号方向不变。
2选择题
函数 f(x) = (ln(x+1))/(x-1) 的定义域为
- A. (-1, 1) ∪ (1, +∞)
- B. (-1, 1)
- C. (1, +∞)
- D. [-1, 1) ∪ (1, +∞)
答案：A
解析：函数有意义需满足：x+1 > 0 且 x-1 ≠ 0，解得 x > -1 且 x ≠ 1。因此定义域为 (-1, 1) ∪ (1, +∞)。易错点：忽略分母不为零的条件。
3选择题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ + a₇ = 10，则 S₉ 等于
答案：A
解析：在等差数列中，a₃ + a₇ = 2a₅ = 10，所以 a₅ = 5。S₉ = (9)/(2)(a₁ + a₉) = (9)/(2) · 2a₅ = 9a₅ = 45。易错点：混淆等差数列的性质，a₁ + a₉ = 2a₅。
4选择题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则下列说法正确的是
- A. f(x) 在 (-∞, -1) 上单调递减
- B. f(x) 在 (-1, 1) 上单调递增
- C. f(x) 的极大值点为 x = -1
- D. f(x) 的极小值点为 x = 1
答案：C
解析：求导得 f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1)。令 f'(x) > 0，得 x < -1 或 x > 1，函数递增；令 f'(x) < 0，得 -1 < x < 1，函数递减。因此 x = -1 是极大值点，x = 1 是极小值点。选项A、B描述相反，D正确但题目要求选正确说法，C正确。易错点：混淆单调区间与极值点的关系，导数为0的点不一定是极值点，需判断左右导数符号变化。
5填空题
已知 sin α = (3)/(5)，α 是第二象限角，则 tan α = ________。
答案：-(4)/(3)
解析：由 sin α = (3)/(5)，α 是第二象限角，得 cos α = -√(1 - sin² α) = -(4)/(5)。所以 tan α = (sin α)/(cos α) = -(3)/(4) / (4)/(5) = -(3)/(4) × (5)/(4) = -(15)/(16)？计算错误。正确计算：tan α = (sin α)/(cos α) = (3/5)/(-4/5) = -(3)/(4)。易错点：象限判断错误导致余弦值符号错误，或计算 tan 时分子分母颠倒。
6填空题
在等比数列 {a_n} 中，a₂ = 2，a₅ = 16，则公比 q = ________。
答案：2
解析：由 a₅ = a₂ · q³，得 16 = 2 · q³，所以 q³ = 8，解得 q = 2。易错点：误用 a_n = a₁ qⁿ-1 时，下标对应错误，如用 a₅ = a₁ q⁴ 与 a₂ = a₁ q 联立，计算更复杂但结果相同。
7解答题
已知函数 f(x) = 2sin(ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π) 的最小正周期为 π，且图象关于直线 x = (π)/(3) 对称。
(1) 求 ω 和 φ 的值；
(2) 求 f(x) 在区间 [0, (π)/(2)] 上的最大值和最小值。
答案：(1) ω = 2, φ = (π)/(6)；(2) 最大值为 2，最小值为 -1。
解析：(1) 由最小正周期 T = π，得 ω = (2π)/(T) = 2。图象关于 x = (π)/(3) 对称，则 f((π)/(3)) = ± 2，即 2sin(2 · (π)/(3) + φ) = ± 2，所以 (2π)/(3) + φ = kπ + (π)/(2)，k ∈ ℤ。结合 0 < φ < π，取 k=0 得 φ = (π)/(6)。
(2) 当 x ∈ [0, (π)/(2)] 时，2x + (π)/(6) ∈ [(π)/(6), (7π)/(6)]。正弦函数在 [(π)/(6), (π)/(2)] 上递增，在 [(π)/(2), (7π)/(6)] 上递减。最大值在 2x + (π)/(6) = (π)/(2)，即 x = (π)/(6) 处取得，为 2；最小值在区间端点 x = (π)/(2) 处取得，f((π)/(2)) = 2sin(π + (π)/(6)) = -2sin(π)/(6) = -1。易错点：求 φ 时漏掉 kπ 导致范围错误；求最值时忽略三角函数在给定区间的单调性。
8解答题
已知数列 {a_n} 的前 n 项和 S_n = 2a_n - 2。
(1) 证明：数列 {a_n} 是等比数列；
(2) 设 b_n = (2n-1)a_n，求数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：(1) 证明见解析；(2) T_n = (2n-3) · 2ⁿ + 6。
解析：(1) 当 n=1 时，S₁ = a₁ = 2a₁ - 2，解得 a₁ = 2。当 n ≥ 2 时，a_n = S_n - S_n-1 = (2a_n - 2) - (2a_n-1 - 2) = 2a_n - 2a_n-1，整理得 a_n = 2a_n-1。所以 {a_n} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列。
(2) 由 (1) 知 a_n = 2ⁿ，所以 b_n = (2n-1) · 2ⁿ。采用错位相减法：T_n = 1 · 2 + 3 · 2² + 5 · 2³ + ⋯ + (2n-1) · 2ⁿ，2T_n = 1 · 2² + 3 · 2³ + ⋯ + (2n-3) · 2ⁿ + (2n-1) · 2ⁿ+1。两式相减得 -T_n = 2 + 2(2² + 2³ + ⋯ + 2ⁿ) - (2n-1) · 2ⁿ+1。化简得 T_n = (2n-3) · 2ⁿ + 6。易错点：证明等比数列时忽略 n=1 的验证；错位相减时项数对应错误，或忘记处理首项。