1选择题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则下列结论正确的是（ ）
- A. f(x) 在 (-1, 1) 上单调递增
- B. f(x) 在 (-∞, -1) 上单调递减
- C. f(x) 的极大值为 f(-1)
- D. f(x) 的极小值为 f(1)
答案：C
解析：求导得 f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1)。令 f'(x) = 0，得 x = ± 1。当 x < -1 或 x > 1 时，f'(x) > 0，函数单调递增；当 -1 < x < 1 时，f'(x) < 0，函数单调递减。因此，x=-1 是极大值点，极大值为 f(-1) = 2；x=1 是极小值点，极小值为 f(1) = -2。易错点：误将导数为0的点直接等同于极值点，或混淆极大值与极小值。
2选择题
在 △ ABC 中，若 sin² A + sin² B < sin² C，则 △ ABC 的形状是（ ）
- A. 锐角三角形
- B. 直角三角形
- C. 钝角三角形
- D. 不能确定
答案：C
解析：由正弦定理，设 (a)/(sin A) = (b)/(sin B) = (c)/(sin C) = 2R，则 sin² A + sin² B < sin² C 等价于 a² + b² < c²。由余弦定理 cos C = (a²+b²-c²)/(2ab) < 0，所以 C 为钝角，三角形为钝角三角形。易错点：忘记正弦定理的边角互化，或由 a²+b²<c² 直接得出 C 为钝角时，未说明余弦值符号。
3填空题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ + a₈ = 10，则 S₁₀ = ________。
答案：50
解析：在等差数列中，由性质 a₃ + a₈ = a₁ + a₁₀，所以 S₁₀ = (10(a₁ + a₁₀))/(2) = (10 × 10)/(2) = 50。易错点：不会利用等差数列下标和性质，而是设首项和公差进行繁琐计算。
4填空题
已知函数 f(x) = (1)/(3)x³ + (1)/(2)ax² + 2bx + c 在 x=1 处取得极值，且 f(x) 在 x=2 处的切线斜率为 0，则 a+b = ________。
答案：-4
解析：f'(x) = x² + ax + 2b。由题意，f'(1) = 1 + a + 2b = 0，且 f'(2) = 4 + 2a + 2b = 0。联立方程组 a + 2b = -1 ； 2a + 2b = -4 ，解得 a = -3, b = 1，所以 a+b = -2。易错点：误将“在 x=1 处取得极值”理解为 f(1)=0，或解方程组时计算错误。
5解答题
已知等比数列 {a_n} 的公比 q > 0，且 a₁ = 1，a₂ + a₃ = 6。
（1）求数列 {a_n} 的通项公式；
（2）设 b_n = log₃ a_n+1，求数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：（1）由 a₂ + a₃ = a₁ q + a₁ q² = q + q² = 6，解得 q=2 或 q=-3（舍去），所以 a_n = 2ⁿ-1。
（2）由（1）得 a_n+1 = 2ⁿ，所以 b_n = log₃ 2ⁿ = n log₃ 2。因此 T_n = log₃ 2 · (1+2+⋯+n) = (n(n+1))/(2) log₃ 2。
解析：第一问考查等比数列基本量的计算，注意公比 q>0 的条件。第二问考查对数运算与等差数列求和。易错点：第一问解方程时忘记舍去负根；第二问对数运算法则不熟，或求和公式记错。
6解答题
已知函数 f(x) = e^x (ax² + bx + c)，且 f(0)=1，f'(0)=0，f''(0)=4。
（1）求 a, b, c 的值；
（2）求 f(x) 的单调区间。
答案：（1）f(0) = e⁰ · c = c = 1，所以 c=1。
f'(x) = e^x (ax² + bx + c) + e^x (2ax + b) = e^x [ax² + (2a+b)x + (b+c)]。
由 f'(0) = b + c = 0，结合 c=1，得 b = -1。
f''(x) = e^x [ax² + (2a+b)x + (b+c)] + e^x [2ax + (2a+b)] = e^x [ax² + (4a+b)x + (2a+2b+c)]。
由 f''(0) = 2a + 2b + c = 4，代入 b=-1, c=1，得 2a -2 + 1 = 4，解得 a = (5)/(2)。
（2）由（1）得 f(x) = e^x ((5)/(2)x² - x + 1)，f'(x) = e^x [(5)/(2)x² + 4x + 1]。
令 g(x) = (5)/(2)x² + 4x + 1，其判别式 Δ = 16 - 10 = 6 > 0，两根为 x₁ = (-4 - √(6))/(5), x₂ = (-4 + √(6))/(5)。
当 x < x₁ 或 x > x₂ 时，g(x) > 0，f'(x) > 0，f(x) 单调递增；
当 x₁ < x < x₂ 时，g(x) < 0，f'(x) < 0，f(x) 单调递减。
综上，f(x) 的单调递增区间为 (-∞, (-4-√(6))/(5)) 和 ((-4+√(6))/(5), +∞)，单调递减区间为 ((-4-√(6))/(5), (-4+√(6))/(5))。
解析：本题综合考查导数的运算、利用导数研究函数性质。第一问通过层层求导建立方程组求解参数。第二问需解一个二次不等式，注意 e^x > 0 恒成立。易错点：求导法则（乘法法则）不熟练；解二次不等式时，对含参数的根的大小关系讨论不清；单调区间表示不规范。
7解答题
已知数列 {a_n} 满足 a₁ = 1，a_n+1 = 2a_n + 1 (n ∈ ℕ^*)。
（1）证明：数列 {a_n + 1} 是等比数列；
（2）设 b_n = (n+1)(a_n + 1)，求数列 {b_n} 的前 n 项和 S_n。
答案：（1）证明：由 a_n+1 = 2a_n + 1，得 a_n+1 + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)。
又 a₁ + 1 = 2 ≠ 0，所以 (a_n+1+1)/(a_n+1) = 2。
故数列 {a_n + 1} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。
（2）由（1）知 a_n + 1 = 2 · 2ⁿ-1 = 2ⁿ，所以 b_n = (n+1) · 2ⁿ。
S_n = 2 · 2¹ + 3 · 2² + 4 · 2³ + ⋯ + (n+1) · 2ⁿ。
2S_n = 2 · 2² + 3 · 2³ + ⋯ + n · 2ⁿ + (n+1) · 2ⁿ+1。
两式相减得：-S_n = 2 · 2¹ + 1 · 2² + 1 · 2³ + ⋯ + 1 · 2ⁿ - (n+1) · 2ⁿ+1
= 4 + (4(2ⁿ-1-1))/(2-1) - (n+1) · 2ⁿ+1 = 4 + 2ⁿ+1 - 4 - (n+1) · 2ⁿ+1 = -n · 2ⁿ+1。
所以 S_n = n · 2ⁿ+1。
解析：本题考查递推数列求通项（构造法）及错位相减法求和。第一问关键是将递推式变形为 a_n+1+1=2(a_n+1)。第二问是典型的“等差×等比”型数列求和，使用错位相减法。易错点：构造新数列时，忘记验证首项非零；错位相减时，对齐项数出错，或最后求和公式化简错误。
8解答题
已知椭圆 C: (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 (a>b>0) 的离心率为 (√(3))/(2)，且过点 (1, (√(3))/(2))。
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l: y = kx + m 与椭圆 C 交于 A, B 两点，O 为坐标原点，若 △ AOB 的面积为 (√(3))/(2)，求 k 的取值范围。
答案：（1）由离心率 e = (c)/(a) = (√(3))/(2)，得 c² = (3)/(4)a²。又 a² = b² + c²，所以 b² = (1)/(4)a²。
椭圆过点 (1, (√(3))/(2))，代入方程得 (1)/(a²) + (3/4)/(b²) = 1。
将 b² = (1)/(4)a² 代入，得 (1)/(a²) + (3)/(a²) = 1，解得 a² = 4，b² = 1。
所以椭圆 C 的方程为 (x²)/(4) + y² = 1。
（2）设 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)。联立 y = kx + m ； (x²)/(4) + y² = 1 ，消去 y 得 (1+4k²)x² + 8kmx + 4m² - 4 = 0。
Δ = (8km)² - 4(1+4k²)(4m²-4) = 16(1+4k²-m²) > 0，即 m² < 1+4k²。
x₁ + x₂ = (-8km)/(1+4k²), x₁ x₂ = (4m²-4)/(1+4k²)。
|AB| = √(1+k²) · √((x₁+x₂)² - 4x_1x₂) = √(1+k²) · (4√(1+4k²-m²))/(1+4k²)。
原点 O 到直线 l 的距离 d = (|m|)/(√(1+k²))。
所以 S_△ AOB = (1)/(2) |AB| · d = (1)/(2) · √(1+k²) · (4√(1+4k²-m²))/(1+4k²) · (|m|)/(√(1+k²)) = (2|m|√(1+4k²-m²))/(1+4k²)。
由题意 (2|m|√(1+4k²-m²))/(1+4k²) = (√(3))/(2)，整理得 16m²(1+4k²-m²) = 3(1+4k²)²。
令 t = 1+4k² ≥ 1，则 16m²(t-m²) = 3t²，即 16m⁴ - 16tm² + 3t² = 0。
解得 m² = (16t ± √(256t² - 192t²))/(32) = (16t ± 8t)/(32)，即 m² = (3)/(4)t 或 m² = (1)/(4)t。
因为 m² < t，所以两个解均满足。
将 m² 代入 Δ > 0 的条件 m² < t，恒成立。
但 m² = (3)/(4)t 或 (1)/(4)t 必须使得原方程有解，即 t ≥ 1，这自然满足。
因此，k 的取值范围为全体实数 ℝ。
（注：此解法表明对于任意 k，总存在满足面积条件的 m，但需注意 k 使得直线与椭圆相交，而 Δ > 0 已由 m² < t 保证，故 k ∈ ℝ。）
解析：本题是圆锥曲线综合题，考查椭圆方程、直线与椭圆位置关系、弦长公式、点到直线距离、三角形面积及参数范围。第二问计算量大，易错点：联立方程后判别式、韦达定理使用错误；弦长公式或距离公式记忆不牢；面积表达式化简出错；最后求 k 范围时，未能从 m² 与 t 的关系中得出 k 无限制的结论。