1选择题
已知集合 A = {x | x² - 2x - 3 < 0}，B = {x | y = ln(1 - x)}，则 A ∩ B =
- A. (-1, 1)
- B. (-1, 3)
- C. (-∞, 1)
- D. (-3, 1)
答案：A
解析：解不等式 x² - 2x - 3 < 0 得 A = (-1, 3)。函数 y = ln(1 - x) 的定义域为 1 - x > 0，即 B = (-∞, 1)。求交集 A ∩ B = (-1, 1)。易错点：忽略对数函数的定义域限制。
2选择题
函数 f(x) = x³ - 3x 的单调递减区间是
- A. (-∞, -1)
- B. (-1, 1)
- C. (1, +∞)
- D. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)
答案：B
解析：求导得 f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1)。令 f'(x) < 0，解得 -1 < x < 1，即单调递减区间为 (-1, 1)。易错点：混淆递增与递减区间，或忽略导数为零的点需要检验左右符号。
3选择题
已知 sinα = (3)/(5)，α ∈ ((π)/(2), π)，则 tan(α - (π)/(4)) =
- A. (1)/(7)
- B. -(1)/(7)
- C. 7
- D. -7
答案：D
解析：由 sinα = (3)/(5)，α 在第二象限，得 cosα = -(4)/(5)，tanα = -(3)/(4)。利用两角差正切公式：tan(α - (π)/(4)) = (tanα - 1)/(1 + tanα) = (-(3)/(4) - 1)/(1 + (-(3)/(4))) = (-(7)/(4))/((1)/(4)) = -7。计算有误？重新计算：(-(3)/(4) - 1)/(1 - (3)/(4)) = (-(7)/(4))/((1)/(4)) = -7。但选项A为1/7，B为-1/7，C为7，D为-7。计算结果为-7，对应选项D。检查：tan(α - (π)/(4)) = (tanα - 1)/(1 + tanα · 1) = (-(3)/(4) - 1)/(1 + (-(3)/(4)) · 1) = (-(7)/(4))/((1)/(4)) = -7。正确答案应为D。修正：原题设计意图是考察符号，但计算无误，答案应为D。为符合原题选项分布，修改题干为求 tan((π)/(4) - α)，则 tan((π)/(4) - α) = (1 - tanα)/(1 + tanα) = (1 - (-(3)/(4)))/(1 + (-(3)/(4))) = ((7)/(4))/((1)/(4)) = 7。对应C。但原题是 tan(α - (π)/(4))，结果为-7。为避免争议，重新设计一道三角函数题。
4选择题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ + a₈ = 10，则 S₁₀ =
答案：B
解析：由等差数列性质，a₃ + a₈ = a₁ + a₁₀ = 10。则 S₁₀ = (10(a₁ + a₁₀))/(2) = 5 × 10 = 50。易错点：误用公式或下标错误，如误认为 S₁₀ = 10(a₃ + a₈)。
5填空题
函数 f(x) = √(4 - x²) 的定义域为 ______。
答案：[-2, 2]
解析：由根号下非负得 4 - x² ≥ 0，解得 -2 ≤ x ≤ 2。易错点：忽略等号或写成开区间。
6填空题
已知 f(x) 是定义在 ℝ 上的奇函数，当 x > 0 时，f(x) = x² - 2x，则当 x < 0 时，f(x) = ______。
答案：-x² - 2x
解析：设 x < 0，则 -x > 0，f(-x) = (-x)² - 2(-x) = x² + 2x。由奇函数性质 f(x) = -f(-x) = -(x² + 2x) = -x² - 2x。易错点：符号处理错误，或忘记奇函数定义 f(-x) = -f(x)。
7解答题
已知函数 f(x) = 2sin(2x + (π)/(6))。
(1) 求 f(x) 的最小正周期及单调递增区间；
(2) 若 x ∈ [0, (π)/(2)]，求 f(x) 的最大值和最小值。
答案：(1) 最小正周期 T = (2π)/(2) = π。由 -(π)/(2) + 2kπ ≤ 2x + (π)/(6) ≤ (π)/(2) + 2kπ，k ∈ ℤ，解得 -(π)/(3) + kπ ≤ x ≤ (π)/(6) + kπ，k ∈ ℤ。单调递增区间为 [-(π)/(3) + kπ, (π)/(6) + kπ]，k ∈ ℤ。
(2) 当 x ∈ [0, (π)/(2)] 时，2x + (π)/(6) ∈ [(π)/(6), (7π)/(6)]。由正弦函数图像，当 2x + (π)/(6) = (π)/(2)，即 x = (π)/(6) 时，f(x)_max = 2；当 2x + (π)/(6) = (7π)/(6)，即 x = (π)/(2) 时，f(x)_min = 2 × (-(1)/(2)) = -1。
解析：第(1)问考查三角函数的周期与单调区间，需注意解不等式时 k ∈ ℤ。第(2)问考查在给定区间上的最值，关键是由 x 的范围确定 2x + (π)/(6) 的范围，并结合正弦曲线判断最值点。易错点：单调区间端点写错，或最值点取错（如误认为在端点取得最值）。
8解答题
已知数列 {a_n} 满足 a₁ = 1，a_n+1 = 2a_n + 1。
(1) 求证：数列 {a_n + 1} 是等比数列；
(2) 求数列 {a_n} 的通项公式。
答案：(1) 证明：由 a_n+1 = 2a_n + 1，得 a_n+1 + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)。又 a₁ + 1 = 2 ≠ 0，所以数列 {a_n + 1} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。
(2) 由 (1) 知 a_n + 1 = 2 · 2ⁿ-1 = 2ⁿ，所以 a_n = 2ⁿ - 1。
解析：本题考查由递推公式构造等比数列求通项。关键是将递推式变形为 a_n+1 + k = 2(a_n + k) 的形式，解出 k = 1。易错点：构造错误，或忘记验证首项不为零。