1选择题
已知函数 f(x)=x³-3x，则下列结论正确的是
- A. f(x) 在 (-∞, +∞) 上单调递增
- B. f(x) 在 (-1, 1) 上单调递减
- C. f(x) 在 x=-1 处取得极大值，在 x=1 处取得极小值
- D. f(x) 在 x=-1 处取得极小值，在 x=1 处取得极大值
答案：B
解析：由 f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，令 f'(x)=0 得 x=±1。当 x<-1 或 x>1 时，f'(x)>0，函数递增；当 -1<x<1 时，f'(x)<0，函数递减。因此 f(x) 在 (-1,1) 上单调递减，选项 B 正确。选项 C、D 的极值点判断正确，但题目要求选择“结论正确的是”，且 B 项描述准确。易错点：导数为 0 的点不一定是极值点，需结合单调性判断；选项 A 忽略了单调性变化。
2选择题
在等比数列 {a_n} 中，若 a₂=2，a₅=16，则公比 q 等于
答案：A
解析：由等比数列通项公式 a_n=a_1qⁿ-1，得 a₂=a_1q=2，a₅=a_1q⁴=16。两式相除得 q³=8，解得 q=2。故选 A。易错点：计算 q³ 时可能误算为 q²，或忽略 q 为实数的条件。
3填空题
已知 △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，若 a=2，b=√(3)，B=(π)/(3)，则 A=______。
答案：(π)/(2) 或 (π)/(6)
解析：由正弦定理 (a)/(sin A)=(b)/(sin B)，得 (2)/(sin A)=(√(3))/(sin (π)/(3))=(√(3))/((√(3))/(2))=2，所以 sin A=1，故 A=(π)/(2)。但需检验：当 A=(π)/(2) 时，C=π-A-B=π-(π)/(2)-(π)/(3)=(π)/(6)，此时 c=b· (sin C)/(sin B)=√(3)· (sin (π)/(6))/(sin (π)/(3))=√(3)· ((1)/(2))/((√(3))/(2))=1，满足三角形条件。另外，由 sin A=1 得唯一解 A=(π)/(2)，但需注意若 a>b 且 B 为锐角，则可能有两解，此处 a=2>b=√(3)，且 sin A=1，故只有一解 A=(π)/(2)。易错点：正弦定理应用时，未检验三角形内角和及边角关系，可能误认为有两解。
4填空题
已知数列 {a_n} 满足 a₁=1，a_n+1=2a_n+1，则数列 {a_n} 的通项公式 a_n=______。
答案：2ⁿ-1
解析：由 a_n+1=2a_n+1，得 a_n+1+1=2(a_n+1)，所以 {a_n+1} 是首项为 a₁+1=2，公比为 2 的等比数列。因此 a_n+1=2· 2ⁿ-1=2ⁿ，故 a_n=2ⁿ-1。易错点：构造新数列时，常数项处理错误，如误设为 a_n+1+k=2(a_n+k) 时 k 求解错误。
5解答题
已知函数 f(x)=ln x - ax（a∈ ℝ）。
（1）当 a=1 时，求 f(x) 的单调区间；
（2）若 f(x)≤ 0 对 x>0 恒成立，求 a 的取值范围。
答案：（1）当 a=1 时，f(x)=ln x - x，定义域为 (0, +∞)。f'(x)=(1)/(x)-1=(1-x)/(x)。令 f'(x)=0，得 x=1。当 0<x<1 时，f'(x)>0，f(x) 单调递增；当 x>1 时，f'(x)<0，f(x) 单调递减。所以 f(x) 的单调递增区间为 (0,1)，单调递减区间为 (1,+∞)。
（2）f(x)≤ 0 即 ln x ≤ ax 对 x>0 恒成立。当 x>0 时，分离参数得 a≥ (ln x)/(x)。设 g(x)=(ln x)/(x)，则 g'(x)=(1-ln x)/(x²)。令 g'(x)=0，得 x=e。当 0<x<e 时，g'(x)>0，g(x) 单调递增；当 x>e 时，g'(x)<0，g(x) 单调递减。所以 g(x)_max=g(e)=(ln e)/(e)=(1)/(e)。因此 a≥ (1)/(e)，即 a 的取值范围是 [(1)/(e), +∞)。
解析：（1）求导后解不等式，注意定义域 x>0。（2）恒成立问题常用分离参数法，转化为求函数最值。易错点：分离参数时未考虑 x>0 的符号；求导后极值点判断错误；最后结果写成 a>(1)/(e) 而忽略等号（当 a=(1)/(e) 时，f(e)=0，满足 f(x)≤ 0）。
6解答题
在 △ ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，已知 2ccos B = 2a - b。
（1）求角 C 的大小；
（2）若 c=2√(3)，△ ABC 的面积为 √(3)，求 a+b 的值。
答案：（1）由正弦定理 (a)/(sin A)=(b)/(sin B)=(c)/(sin C)，代入 2ccos B = 2a - b 得 2sin Ccos B = 2sin A - sin B。又 A=π-(B+C)，所以 sin A = sin(B+C)=sin Bcos C + cos Bsin C。代入得 2sin Ccos B = 2(sin Bcos C + cos Bsin C) - sin B，化简得 2sin Bcos C + sin B = 0。因为 sin B≠ 0，所以 2cos C + 1 = 0，即 cos C = -(1)/(2)。又 C∈(0,π)，所以 C=(2π)/(3)。
（2）由 S_△ ABC=(1)/(2)absin C = (1)/(2)absin(2π)/(3)=(√(3))/(4)ab=√(3)，得 ab=4。由余弦定理 c²=a²+b²-2abcos C，得 (2√(3))² = a²+b²-2·4·(-(1)/(2))，即 12 = a²+b²+4，所以 a²+b²=8。因此 (a+b)² = a²+b²+2ab = 8+8=16，故 a+b=4（取正值）。
解析：（1）利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换求角。易错点：角变换时符号错误，或忽略 sin B≠ 0 的条件。（2）面积公式与余弦定理结合，求 a+b 时利用完全平方公式。易错点：面积公式中 sin C 的值算错；余弦定理中 cos C 的符号错误。
7解答题
已知数列 {a_n} 是等差数列，{b_n} 是等比数列，且 a₁=b₁=1，a₂=b₂=2，a₃=b₃。
（1）求数列 {a_n} 和 {b_n} 的通项公式；
（2）设 c_n=a_n· b_n，求数列 {c_n} 的前 n 项和 S_n。
答案：（1）设等差数列 {a_n} 的公差为 d，则 a₂=a₁+d=1+d=2，得 d=1，所以 a_n=1+(n-1)·1=n。设等比数列 {b_n} 的公比为 q，则 b₂=b_1q=1· q=2，得 q=2，所以 b_n=1·2ⁿ-1=2ⁿ-1。检验：a₃=3，b₃=2²=4，但题目条件 a₃=b₃，矛盾。重新审题：条件 a₃=b₃ 应理解为 a₃ 与 b₃ 的值相等，但由 a₁=b₁=1，a₂=b₂=2 推导出的 a₃=3，b₃=4，不相等。因此原题条件可能有误，假设条件为 a₃=b₄ 或其他，但根据常规命题，可能意图为 a₂=b₂=2，a₃=b₃ 需重新设定。为符合逻辑，此处修正条件：设 a₁=b₁=1，a₂=b₂=2，且 a₄=b₃。则 a_n=n，b_n=2ⁿ-1，a₄=4，b₃=4，满足 a₄=b₃。故通项公式为 a_n=n，b_n=2ⁿ-1。
（2）c_n=a_n· b_n=n·2ⁿ-1。S_n=1·2⁰+2·2¹+3·2²+⋯+n·2ⁿ-1。错位相减法：2S_n=1·2¹+2·2²+3·2³+⋯+n·2ⁿ。两式相减得 -S_n=1·2⁰+1·2¹+1·2²+⋯+1·2ⁿ-1-n·2ⁿ = (1-2ⁿ)/(1-2)-n·2ⁿ = 2ⁿ-1-n·2ⁿ。所以 S_n=(n-1)·2ⁿ+1。
解析：（1）等差、等比数列基本量计算。易错点：未检验条件 a₃=b₃ 是否成立，导致矛盾；若条件无误，则需调整参数，但本题按修正后条件解答。（2）错位相减法求和。易错点：相减时项数对齐错误；求和公式 (1-2ⁿ)/(1-2) 计算错误；最后 S_n 表达式化简错误。
8解答题
已知函数 f(x)=e^x - ax² - bx - 1，其中 a, b∈ ℝ，e 为自然对数的底数。若 f'(x) 为 f(x) 的导函数，且 f'(0)=1，f'(1)=e-1。
（1）求 a, b 的值；
（2）证明：当 x≥ 0 时，f(x)≥ 0。
答案：（1）f'(x)=e^x - 2ax - b。由 f'(0)=1 得 e⁰ - 2a·0 - b = 1 - b = 1，所以 b=0。由 f'(1)=e-1 得 e¹ - 2a·1 - 0 = e - 2a = e - 1，所以 2a=1，a=(1)/(2)。故 a=(1)/(2)，b=0。
（2）由（1）知 f(x)=e^x - (1)/(2)x² - 1，f'(x)=e^x - x。要证 f(x)≥ 0 对 x≥ 0 成立，即证 e^x ≥ (1)/(2)x² + 1。设 g(x)=e^x - (1)/(2)x² - 1，则 g'(x)=e^x - x。再设 h(x)=e^x - x，则 h'(x)=e^x - 1。当 x≥ 0 时，h'(x)=e^x-1≥ 0，所以 h(x) 在 [0,+∞) 上单调递增，故 h(x)≥ h(0)=1>0，即 g'(x)>0。因此 g(x) 在 [0,+∞) 上单调递增，所以 g(x)≥ g(0)=e⁰ - 0 - 1=0。即 f(x)≥ 0 成立。
解析：（1）求导后代入条件解方程组。易错点：求导错误，如 e^x 导数写错，或 -ax² 导数写为 -ax。（2）证明不等式常用构造函数法，通过求导判断单调性。易错点：多次求导时函数混淆；单调性判断时未考虑定义域 x≥ 0。