1选择题
已知函数 f(x)=x³-3x，则下列说法正确的是（ ）
- A. f(x) 是奇函数且在 (-∞, 0) 上单调递减
- B. f(x) 的极大值点为 x=-1，极小值点为 x=1
- C. f(x) 在 (-1,1) 上单调递增
- D. f(x) 的图象关于点 (0,0) 对称，且在 x=0 处取得极小值
答案：B
解析：本题综合考查函数的奇偶性、单调性与极值。由 f(-x)=(-x)³-3(-x)=-x³+3x=-f(x)，知 f(x) 为奇函数，图象关于原点对称，故 D 项错误。求导得 f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)，令 f'(x)=0 得 x=±1。当 x<-1 或 x>1 时，f'(x)>0，函数递增；当 -1<x<1 时，f'(x)<0，函数递减。因此 x=-1 是极大值点，x=1 是极小值点。A 项错误，因为 f(x) 在 (-∞, -1) 递增，在 (-1,0) 递减；C 项错误，f(x) 在 (-1,1) 递减。易错点：忽略导数为零的点需要左右变号才是极值点，或对单调区间判断错误。
2选择题
在 △ ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c。若 acos B = bcos A，则 △ ABC 的形状为（ ）
- A. 等腰三角形
- B. 直角三角形
- C. 等腰直角三角形
- D. 等腰三角形或直角三角形
答案：A
解析：本题考查利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状。由正弦定理，a=2Rsin A, b=2Rsin B，代入条件得 sin Acos B = sin Bcos A，即 sin Acos B - sin Bcos A = 0，sin(A-B)=0。因为 A, B ∈ (0, π)，所以 A-B=0，即 A=B，故 △ ABC 为等腰三角形。若用余弦定理，将 cos B = (a²+c²-b²)/(2ac), cos A = (b²+c²-a²)/(2bc) 代入化简，可得 a²=b²，同样得到 a=b。易错点：由 sin(A-B)=0 误认为 A-B=0 或 A-B=π（不可能），或由 acos B = bcos A 直接误用射影定理 acos B + bcos A = c，导致错误。
3选择题
已知数列 {a_n} 是等差数列，S_n 为其前 n 项和。若 a₃ + a₇ = 10，则 S₉ 等于（ ）
答案：B
解析：本题考查等差数列的性质与求和公式。由等差数列性质，a₃ + a₇ = a₁ + a₉ = 2a₅ = 10，所以 a₅ = 5。则 S₉ = (9(a₁+a₉))/(2) = (9 × 10)/(2) = 45。或者直接利用 S₉ = 9a₅ = 9 × 5 = 45。易错点：误用公式 S_n = na₁ + (n(n-1)d)/(2) 而不利用性质简化计算，或下标计算错误。
4填空题
函数 f(x) = ln x - x 的单调递增区间为__________。
答案：(0,1)
解析：本题考查利用导数求函数的单调区间。函数定义域为 (0,+∞)。求导得 f'(x) = (1)/(x) - 1 = (1-x)/(x)。令 f'(x) > 0，即 (1-x)/(x) > 0，解得 0 < x < 1。因此单调递增区间为 (0,1)。易错点：忽略函数的定义域 x>0，导致区间写错；或将不等式 (1-x)/(x)>0 解错。
5填空题
已知 sinα = (√(5))/(5)，且 α ∈ ((π)/(2), π)，则 tanα = __________。
答案：-(1)/(2)
解析：本题考查同角三角函数的基本关系及符号判断。由 sin²α + cos²α = 1 得 cos²α = 1 - ((√(5))/(5))² = (4)/(5)。因为 α ∈ ((π)/(2), π)，所以 cosα < 0，故 cosα = -(2√(5))/(5)。则 tanα = (sinα)/(cosα) = (√(5)/5)/(-2√(5)/5) = -(1)/(2)。易错点：忽略角 α 的象限，导致 cosα 取正，从而 tanα 符号错误。
6填空题
在等比数列 {a_n} 中，若 a₁ = 1，a₄ = 8，则公比 q = __________；前 n 项和 S_n = __________。
答案：2；2ⁿ - 1
解析：本题考查等比数列的基本量计算与求和公式。由 a₄ = a₁ q³ = 1 · q³ = 8，得 q³ = 8，故 q = 2。则 S_n = (a₁(1-qⁿ))/(1-q) = (1 · (1-2ⁿ))/(1-2) = 2ⁿ - 1。易错点：求和公式中分母 1-q 与分子 1-qⁿ 的顺序或符号错误，特别是当 q>1 时，常误写为 (a₁(qⁿ-1))/(q-1)，虽然结果相同，但书写习惯需注意。
7解答题
已知函数 f(x) = 2sin(x + (π)/(6))cos x - (1)/(2)。
（1）求 f(x) 的最小正周期及单调递减区间；
（2）在 △ ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c，若 f(A) = 1，b = 1，c = √(3)，求 a 的值。
答案：（1）f(x) = 2sin(x+(π)/(6))cos x - (1)/(2) = 2(sin x cos(π)/(6) + cos x sin(π)/(6))cos x - (1)/(2) = 2((√(3))/(2)sin x cos x + (1)/(2)cos² x) - (1)/(2) = √(3)sin x cos x + cos² x - (1)/(2) = (√(3))/(2)sin 2x + (1+cos 2x)/(2) - (1)/(2) = (√(3))/(2)sin 2x + (1)/(2)cos 2x = sin(2x + (π)/(6))。
所以最小正周期 T = (2π)/(2) = π。
由 (π)/(2) + 2kπ ≤ 2x + (π)/(6) ≤ (3π)/(2) + 2kπ, k ∈ ℤ，得 (π)/(6) + kπ ≤ x ≤ (2π)/(3) + kπ, k ∈ ℤ。
故单调递减区间为 [(π)/(6) + kπ, (2π)/(3) + kπ], k ∈ ℤ。
（2）由 f(A) = sin(2A + (π)/(6)) = 1，且 A 为三角形内角，0 < A < π，所以 2A + (π)/(6) = (π)/(2)，解得 A = (π)/(6)。
在 △ ABC 中，由余弦定理 a² = b² + c² - 2bccos A = 1² + (√(3))² - 2 × 1 × √(3) × cos(π)/(6) = 1 + 3 - 2√(3) × (√(3))/(2) = 4 - 3 = 1。
所以 a = 1。
解析：本题综合考查三角恒等变换、三角函数图象性质及解三角形。（1）化简 f(x) 是关键，需熟练运用和角公式、二倍角公式及辅助角公式。求单调区间时，注意 2x+(π)/(6) 的系数为正，直接解不等式即可。（2）由 f(A)=1 求角 A 时，需结合 A 的范围确定唯一解。再用余弦定理求边 a。易错点：三角恒等变换过程中符号错误或公式记忆不牢；解 2A+(π)/(6)=(π)/(2) 时漏解或多解；余弦定理公式代入错误。
8解答题
已知数列 {a_n} 满足 a₁ = 1，a_n+1 = 2a_n + 1，n ∈ ℕ^*。
（1）证明：数列 {a_n + 1} 是等比数列；
（2）求数列 {a_n} 的通项公式；
（3）设 b_n = n(a_n + 1)，求数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：（1）证明：由 a_n+1 = 2a_n + 1，得 a_n+1 + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)。
又 a₁ + 1 = 1 + 1 = 2 ≠ 0，所以数列 {a_n + 1} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。
（2）由（1）知 a_n + 1 = 2 · 2ⁿ-1 = 2ⁿ，所以 a_n = 2ⁿ - 1。
（3）由（2）知 b_n = n(a_n + 1) = n · 2ⁿ。
所以 T_n = 1 · 2¹ + 2 · 2² + 3 · 2³ + ⋯ + n · 2ⁿ。
2T_n = 1 · 2² + 2 · 2³ + ⋯ + (n-1) · 2ⁿ + n · 2ⁿ+1。
两式相减得 -T_n = 2¹ + 2² + 2³ + ⋯ + 2ⁿ - n · 2ⁿ+1 = (2(1-2ⁿ))/(1-2) - n · 2ⁿ+1 = 2ⁿ+1 - 2 - n · 2ⁿ+1 = (1-n)2ⁿ+1 - 2。
所以 T_n = (n-1)2ⁿ+1 + 2。
解析：本题考查数列的递推关系、等比数列的证明、通项公式求解及错位相减法求和。（1）构造等比数列是关键，需验证首项不为零。（2）直接由等比数列通项公式得 a_n+1，进而得 a_n。（3）识别 b_n 为等差数列与等比数列对应项的乘积，采用错位相减法。易错点：证明等比数列时忽略验证首项非零；错位相减时，项数对应错误，特别是最后减去的 n · 2ⁿ+1 的系数；求和公式 (a₁(1-qⁿ))/(1-q) 的代入错误。