1选择题
2023年甘肃省某市常住人口约为262883000000人，将该数用科学记数法表示为（ ）
- A. 2.62883×10¹⁰
- B. 2.62883×10¹¹
- C. 26.2883×10¹⁰
- D. 0.262883×10¹²
答案：B
解析：科学记数法的表示形式为 a×10ⁿ，其中1≤|a|<10，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。原数262883000000为正数，小数点向左移动了11位，故n=11。易错点：选项C和D的a值不在1到10范围内，不符合科学记数法要求。
2选择题
计算 |1-√3| 的结果是（ ）
- A. 1-√3
- B. √3-1
- C. 1+√3
- D. -1-√3
答案：B
解析：先判断绝对值符号内代数式的正负。因为√3≈1.732，所以1-√3<0。根据绝对值的性质，一个负数的绝对值是它的相反数，故|1-√3| = -(1-√3) = √3-1。易错点：未判断1-√3的正负，直接去掉绝对值符号，错误地得到1-√3。
3填空题
一元二次方程 x² - 4x = 0 的根是 ______。
答案：x₁=0，x₂=4
解析：方程可化为 x(x-4)=0。根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”，可得 x=0 或 x-4=0，解得 x₁=0，x₂=4。易错点：解方程时漏掉一个根，或未将方程化为一般形式直接开方。
4填空题
若二次根式 √(2x-1) 有意义，则 x 的取值范围是 ______。
答案：x ≥ 1/2
解析：二次根式有意义的条件是被开方数（根号下的式子）为非负数。因此，2x-1 ≥ 0，解得 x ≥ 1/2。易错点：忽略被开方数非负的条件，或解不等式时出错。
5解答题
解分式方程： (2)/(x-3) = (1)/(x-1)。
答案：解：方程两边同乘以最简公分母 (x-3)(x-1)，得
2(x-1) = 1(x-3)
2x - 2 = x - 3
2x - x = -3 + 2
x = -1
检验：当 x = -1 时，(x-3)(x-1) = (-4)(-2) = 8 ≠ 0，
所以 x = -1 是原分式方程的解。
解析：解分式方程的关键步骤是去分母化为整式方程，但必须进行检验，将求得的整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为0，则是原方程的解；若为0，则是增根，舍去。易错点：① 去分母时漏乘常数项；② 解出整式方程的解后忘记检验，或将增根当作原方程的解。
6解答题
已知关于 x 的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0 有两个实数根。
（1）求 k 的取值范围；
（2）若方程的一个根为 0，求 k 的值及另一个根。
答案：解：（1）∵ 关于 x 的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0 有两个实数根，
∴ 判别式 Δ ≥ 0。
Δ = [-(2k+1)]² - 4×1×(k² + k) = (4k² + 4k + 1) - (4k² + 4k) = 1 > 0。
∴ 对于任意实数 k，方程都有两个不相等的实数根。
∴ k 的取值范围是全体实数。
（2）将 x=0 代入原方程，得：
0² - (2k+1)×0 + k² + k = 0
k² + k = 0
k(k+1) = 0
解得 k=0 或 k=-1。
当 k=0 时，原方程为 x² - x = 0，解得 x₁=0，x₂=1，另一个根为 1。
当 k=-1 时，原方程为 x² + x = 0，解得 x₁=0，x₂=-1，另一个根为 -1。
解析：本题考查一元二次方程根的判别式及根的定义。
（1）易错点：忽略“有两个实数根”包含“有两个相等的实数根”的情况，错误地要求Δ>0。实际上Δ=1恒大于0，故k为全体实数。
（2）易错点：① 代入根求解k时计算错误；② 求出k值后，没有将k值代回原方程求出另一个根。
7解答题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax² + bx + c (a≠0) 经过 A(-1, 0)，B(3, 0)，C(0, -3) 三点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴。
答案：解：（1）∵ 抛物线经过 A(-1, 0)，B(3, 0)，
∴ 可设抛物线解析式为 y = a(x+1)(x-3)。
又∵ 抛物线经过 C(0, -3)，
∴ 将 (0, -3) 代入上式，得 -3 = a(0+1)(0-3) = -3a，
解得 a = 1。
∴ 抛物线的解析式为 y = (x+1)(x-3) = x² - 2x - 3。
（2）将 y = x² - 2x - 3 配方，得
y = (x² - 2x + 1) - 4 = (x - 1)² - 4。
∴ 抛物线的顶点坐标为 (1, -4)，对称轴为直线 x = 1。
解析：本题考查用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质。
（1）已知抛物线与x轴的两个交点，设交点式（两点式）最为简便。易错点：设一般式后解三元一次方程组计算量大且易出错。
（2）求顶点坐标和对称轴，通常用配方法将一般式化为顶点式。易错点：配方时出现计算错误，或混淆顶点坐标符号。
8解答题
如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连接 OC、OD。
（1）求证：△OCE ≌ △ODE；
（2）若 AB=10，CD=8，求 OE 的长。
答案：（1）证明：∵ AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，
∴ CE = DE = (1/2)CD（垂径定理）。
在 Rt△OCE 和 Rt△ODE 中，
{ OC = OD (同圆半径相等)，
{ CE = DE (已证)，
{ OE = OE (公共边)，
∴ Rt△OCE ≌ Rt△ODE (HL)。
（2）解：∵ AB=10，
∴ OC = OA = 5。
∵ CD=8，
∴ CE = 4。
在 Rt△OCE 中，由勾股定理得：
OE² = OC² - CE² = 5² - 4² = 25 - 16 = 9，
∴ OE = 3 (OE>0)。
解析：本题综合考查垂径定理、全等三角形的判定及勾股定理在圆中的应用。
（1）易错点：证明全等时，错误地使用“SSA”判定直角三角形全等，应使用“HL”。
（2）易错点：① 误将直径AB的长度当作半径OC的长度；② 在Rt△OCE中，误用OE² = OC² + CE²（勾股定理用错边）。