1选择题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则下列说法正确的是（ ）。
- A. f(x) 在 (-∞, -1) 上单调递增
- B. f(x) 在 (-1, 1) 上单调递增
- C. f(x) 在 (1, +∞) 上单调递减
- D. x = -1 是 f(x) 的极小值点
答案：A
解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值。f'(x) = 3x² - 3 = 3(x+1)(x-1)。令 f'(x) > 0，解得 x < -1 或 x > 1，即 f(x) 在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递增；令 f'(x) < 0，解得 -1 < x < 1，即 f(x) 在 (-1, 1) 上单调递减。因此 x = -1 是极大值点，x = 1 是极小值点。易错点：混淆单调区间与极值点，或误判极值类型。
2选择题
在等比数列 {aₙ} 中，若 a₂ = 2，a₅ = 16，则公比 q 等于（ ）。
答案：A
解析：本题考查等比数列的基本性质。由 a₅ = a₂·q³，得 16 = 2·q³，解得 q³ = 8，所以 q = 2。易错点：误用公式 aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ 导致计算复杂，或忽略公比可能为负数（但本题计算结果为正）。
3填空题
已知 sin α = 3/5，且 α 是第二象限角，则 tan α = ________。
答案：-3/4
解析：本题考查同角三角函数的基本关系及象限角符号。由 sin²α + cos²α = 1，得 cos²α = 1 - (3/5)² = 16/25。因为 α 是第二象限角，所以 cos α < 0，故 cos α = -4/5。则 tan α = sin α / cos α = (3/5) / (-4/5) = -3/4。易错点：忽略象限对三角函数符号的影响，误取 cos α = 4/5。
4填空题
已知数列 {aₙ} 的前 n 项和 Sₙ = n² + 2n，则 a₁₀ = ________。
答案：21
解析：本题考查由前 n 项和求通项公式。当 n ≥ 2 时，aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = (n² + 2n) - [(n-1)² + 2(n-1)] = 2n + 1。当 n = 1 时，a₁ = S₁ = 3，也满足上式。所以 aₙ = 2n + 1，则 a₁₀ = 2×10 + 1 = 21。易错点：忘记验证 n = 1 的情况，或误认为 aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ 对 n = 1 也成立。
5解答题
已知函数 f(x) = 2sin(ωx + φ) (ω > 0, 0 < φ < π) 的最小正周期为 π，且 f(π/6) = 2。
（1）求 ω 和 φ 的值；
（2）求函数 f(x) 在区间 [0, π/2] 上的最大值和最小值。
答案：（1）由最小正周期 T = π，得 ω = 2π/T = 2。所以 f(x) = 2sin(2x + φ)。由 f(π/6) = 2，得 2sin(2×π/6 + φ) = 2，即 sin(π/3 + φ) = 1。因为 0 < φ < π，所以 π/3 + φ = π/2，解得 φ = π/6。
（2）由（1）知 f(x) = 2sin(2x + π/6)。当 x ∈ [0, π/2] 时，2x + π/6 ∈ [π/6, 7π/6]。因为 sin(2x + π/6) 在 [π/6, π/2] 上单调递增，在 [π/2, 7π/6] 上单调递减。当 2x + π/6 = π/2，即 x = π/6 时，f(x) 取得最大值 2；当 2x + π/6 = 7π/6，即 x = π/2 时，sin(7π/6) = -1/2，f(x) 取得最小值 -1。所以最大值为 2，最小值为 -1。
解析：本题考查三角函数的图象与性质，包括周期、初相、最值。易错点：①由 f(π/6)=2 得 sin(π/3+φ)=1 后，求解 φ 时忽略 φ 的范围限制；②求区间最值时，未正确确定 2x+π/6 的整体范围，或误判正弦函数在该区间上的单调性。
6解答题
已知等差数列 {aₙ} 满足 a₃ = 7，a₅ + a₇ = 26。
（1）求数列 {aₙ} 的通项公式；
（2）求数列 {aₙ} 的前 n 项和 Sₙ。
答案：（1）设等差数列 {aₙ} 的首项为 a₁，公差为 d。由题意得：
a₃ = a₁ + 2d = 7 ①
a₅ + a₇ = (a₁ + 4d) + (a₁ + 6d) = 2a₁ + 10d = 26 ②
联立①②解得 a₁ = 3，d = 2。所以 aₙ = 3 + (n-1)×2 = 2n + 1。
（2）Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n(3 + 2n + 1)/2 = n(n + 2)。
解析：本题考查等差数列的基本运算。易错点：①列方程组时计算错误，如 a₅ + a₇ 写成 a₁ + 4d + a₁ + 6d 时合并同类项出错；②求和公式 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 与 Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2 混用导致计算繁琐。
7解答题
已知函数 f(x) = x³ - 3ax + 2 (a ∈ R)。
（1）当 a = 1 时，求 f(x) 的极值；
（2）若 f(x) 在区间 (0, 2) 上不单调，求 a 的取值范围。
答案：（1）当 a = 1 时，f(x) = x³ - 3x + 2，f'(x) = 3x² - 3 = 3(x+1)(x-1)。令 f'(x) = 0，得 x = -1 或 x = 1。当 x < -1 时，f'(x) > 0；当 -1 < x < 1 时，f'(x) < 0；当 x > 1 时，f'(x) > 0。所以 f(x) 在 x = -1 处取得极大值 f(-1) = (-1)³ - 3×(-1) + 2 = 4；在 x = 1 处取得极小值 f(1) = 1³ - 3×1 + 2 = 0。
（2）f'(x) = 3x² - 3a。因为 f(x) 在 (0, 2) 上不单调，所以 f'(x) = 0 在 (0, 2) 内有实数解，且该解不为重根（即 f'(x) 在该点两侧变号）。即方程 3x² - 3a = 0，即 x² = a 在 (0, 2) 内有解。所以 a > 0，且解 x = √a ∈ (0, 2)，即 0 < a < 4。故 a 的取值范围是 (0, 4)。
解析：本题综合考查导数的应用，包括求极值和研究函数单调性。易错点：①第（1）问求极值时，未列表或描述单调性，直接得出结论；②第（2）问中，误认为“不单调”等价于“f'(x)=0 有解”，忽略了需在区间内变号，但本题 f'(x)=0 的解 x=±√a，当 a>0 时，在 x=√a 处左右导数符号相反，故只需保证解在区间内即可。
8解答题
已知数列 {aₙ} 满足 a₁ = 1，aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 (n ∈ N*)。
（1）证明：数列 {aₙ + 1} 是等比数列；
（2）求数列 {aₙ} 的通项公式；
（3）求数列 {n·aₙ} 的前 n 项和 Tₙ。
答案：（1）由 aₙ₊₁ = 2aₙ + 1，得 aₙ₊₁ + 1 = 2aₙ + 2 = 2(aₙ + 1)。又 a₁ + 1 = 2 ≠ 0，所以数列 {aₙ + 1} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。
（2）由（1）得 aₙ + 1 = 2·2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ，所以 aₙ = 2ⁿ - 1。
（3）Tₙ = 1·a₁ + 2·a₂ + ... + n·aₙ = 1×(2¹-1) + 2×(2²-1) + ... + n×(2ⁿ-1) = (1×2¹ + 2×2² + ... + n×2ⁿ) - (1 + 2 + ... + n)。记 S = 1×2¹ + 2×2² + ... + n×2ⁿ，则 2S = 1×2² + 2×2³ + ... + n×2ⁿ⁺¹。两式相减得 -S = 2¹ + 2² + ... + 2ⁿ - n·2ⁿ⁺¹ = 2(2ⁿ - 1)/(2-1) - n·2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺¹ - 2 - n·2ⁿ⁺¹ = (1-n)·2ⁿ⁺¹ - 2。所以 S = (n-1)·2ⁿ⁺¹ + 2。又 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2。故 Tₙ = (n-1)·2ⁿ⁺¹ + 2 - n(n+1)/2。
解析：本题考查数列的递推关系、等比数列的证明、通项公式及错位相减法求和。易错点：①第（1）问证明等比数列时，未说明首项不为零；②第（3）问求和时，错位相减法步骤出错，如指数运算、合并同类项错误；③最后结果未化简。