1选择题
已知函数f(x)=x³-3x，则下列结论正确的是（ ）
- A. f(x)在(-∞, -1)上单调递减
- B. f(x)在(-1, 1)上单调递增
- C. x=-1是f(x)的极大值点
- D. x=0是f(x)的极小值点
答案：C
解析：求导得f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=±1。当x<-1时，f'(x)>0，函数递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数递减；当x>1时，f'(x)>0，函数递增。因此，x=-1是极大值点，x=1是极小值点。选项A、B与单调区间矛盾，选项D错误，x=0不是极值点。故选C。易错点：误将导数为0的点直接当作极值点，而未检验左右导数符号是否变号。
2选择题
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。若a=2，b=3，C=60°，则c=（ ）
答案：A
解析：由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得c²=2²+3²-2×2×3×cos60°=4+9-12×(1/2)=13-6=7，所以c=√7。故选A。易错点：余弦定理公式记忆错误，或cos60°值记错。
3选择题
将函数y=sin(2x-π/6)的图像向左平移π/4个单位，所得图像对应的函数是（ ）
- A. y=sin(2x+π/12)
- B. y=sin(2x-π/3)
- C. y=sin(2x+π/3)
- D. y=sin(2x-π/12)
答案：C
解析：平移后的函数为y=sin[2(x+π/4)-π/6]=sin(2x+π/2-π/6)=sin(2x+π/3)。故选C。易错点：平移方向与符号关系搞错，或平移量未乘以系数ω。
4填空题
已知等差数列{an}满足a2+a4=10，a3+a7=18，则其公差d=________。
答案：2
解析：设等差数列首项为a1，公差为d。由a2+a4=10，得(a1+d)+(a1+3d)=2a1+4d=10。由a3+a7=18，得(a1+2d)+(a1+6d)=2a1+8d=18。两式相减得(2a1+8d)-(2a1+4d)=4d=8，解得d=2。易错点：下标运算错误，如将a7误算为a1+5d。
5填空题
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x²-2x。则当x<0时，f(x)=________。
答案：-x²-2x
解析：当x<0时，-x>0。由奇函数定义，f(x)=-f(-x)=-[(-x)²-2(-x)]=-(x²+2x)=-x²-2x。易错点：在代入-x时，对-x的范围判断错误，或忘记添加负号。
6解答题
已知函数f(x)=sin(2x+π/3)。(1) 求f(x)的最小正周期和对称中心；(2) 求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值和最小值。
答案：(1) 最小正周期T=2π/2=π。由2x+π/3=kπ，k∈Z，解得对称中心为(kπ/2 - π/6, 0)，k∈Z。(2) 因为x∈[0, π/2]，所以2x+π/3∈[π/3, 4π/3]。当2x+π/3=π/2，即x=π/12时，f(x)取得最大值1；当2x+π/3=4π/3，即x=π/2时，f(x)取得最小值-√3/2。
解析：(1) 利用正弦型函数周期公式T=2π/ω，对称中心由sin(2x+π/3)=0解出。(2) 关键是求出内层2x+π/3的范围，再根据正弦函数在相应区间上的单调性求最值。易错点：对称中心误写为(π/6, 0)；求最值时忽略端点值。
7解答题
已知数列{an}是等比数列，a1=1，且a2，a3+1，a4成等差数列。(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn。
答案：(1) 设等比数列{an}的公比为q。由a2，a3+1，a4成等差数列，得2(a3+1)=a2+a4。即2(a1q²+1)=a1q+a1q³。代入a1=1，得2(q²+1)=q+q³，整理得q³-2q²+q-2=0，即(q-2)(q²+1)=0。解得q=2。所以an=2^(n-1)。(2) bn=n·2^(n-1)。Sn=1·2⁰+2·2¹+3·2²+…+n·2^(n-1)。利用错位相减法：2Sn=1·2¹+2·2²+…+(n-1)·2^(n-1)+n·2ⁿ。两式相减得-Sn=2⁰+2¹+2²+…+2^(n-1)-n·2ⁿ=(1-2ⁿ)/(1-2)-n·2ⁿ=2ⁿ-1-n·2ⁿ。所以Sn=(n-1)·2ⁿ+1。
解析：(1) 利用等差中项条件列方程求公比q，注意a1=1。(2) 求和时，bn是等差数列{n}与等比数列{2^(n-1)}对应项的积，用错位相减法求和。易错点：错位相减时，两式相减后等比数列求和项数出错，或最后整理符号错误。
8解答题
已知函数f(x)=lnx-ax (a∈R)。(1) 当a=1时，求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在[1, +∞)上单调递减，求a的取值范围。
答案：(1) 当a=1时，f(x)=lnx-x，定义域为(0, +∞)。f'(x)=1/x -1。令f'(x)>0，解得0<x<1；令f'(x)<0，解得x>1。所以f(x)的单调递增区间是(0, 1)，单调递减区间是(1, +∞)。(2) f'(x)=1/x - a。由f(x)在[1, +∞)上单调递减，得f'(x)≤0在[1, +∞)上恒成立，即1/x - a ≤0，即a ≥ 1/x在[1, +∞)上恒成立。因为当x≥1时，1/x ≤1，所以a ≥1。故a的取值范围是[1, +∞)。
解析：(1) 求导后解不等式确定单调区间，注意定义域。(2) 将函数单调性问题转化为导函数非正恒成立问题，再分离参数求最值。易错点：在(2)中，误将不等式方向写反，或未注意函数定义域为(0, +∞)，但只需在[1, +∞)上成立。