1选择题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则下列关于 f(x) 的说法正确的是（ ）
- A. f(x) 在 (-∞, +∞) 上单调递增
- B. f(x) 在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递增，在 (-1, 1) 上单调递减
- C. f(x) 在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递减，在 (-1, 1) 上单调递增
- D. f(x) 在 (-∞, -1) 上单调递减，在 (-1, +∞) 上单调递增
答案：B
解析：求导得 f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1)。令 f'(x) > 0，解得 x < -1 或 x > 1，此时函数单调递增；令 f'(x) < 0，解得 -1 < x < 1，此时函数单调递减。故选B。易错点：忽略导数为零的点（x=± 1）是单调区间的分界点，而非单调性改变的唯一条件，需结合导数符号判断。
2选择题
在等差数列 {a_n} 中，若 a₃ + a₅ + a₇ = 21，则 S₉ 等于（ ）
答案：A
解析：由等差数列性质，a₃ + a₇ = 2a₅，所以 a₃ + a₅ + a₇ = 3a₅ = 21，解得 a₅ = 7。则 S₉ = (9)/(2)(a₁ + a₉) = (9)/(2) × 2a₅ = 9a₅ = 63。故选A。易错点：误用求和公式 S_n = na₁ + (n(n-1))/(2)d 导致计算复杂，应优先利用等差中项性质简化计算。
3填空题
已知 sin α = (3)/(5)，且 α 是第二象限角，则 tan 2α = ________。
答案：(24)/(7)
解析：由 sin α = (3)/(5)，α 在第二象限，得 cos α = -√(1 - sin² α) = -(4)/(5)。则 tan α = (sin α)/(cos α) = -(3)/(4)。由二倍角公式 tan 2α = (2tan α)/(1 - tan² α) = (2 × (-(3)/(4)))/(1 - (-(3)/(4))²) = (-(3)/(2))/(1 - (9)/(16)) = (-(3)/(2))/((7)/(16)) = -(3)/(2) × (16)/(7) = -(24)/(7)。易错点：1. 忽略角所在象限导致 cos α 符号错误；2. 二倍角公式记忆错误或计算失误。注意：题目问的是 tan 2α，计算过程应仔细。
4填空题
已知数列 {a_n} 满足 a₁ = 1，a_n+1 = 2a_n + 1，则数列 {a_n} 的通项公式 a_n = ________。
答案：2ⁿ - 1
解析：由 a_n+1 = 2a_n + 1，得 a_n+1 + 1 = 2(a_n + 1)。所以 {a_n + 1} 是以 a₁ + 1 = 2 为首项，2 为公比的等比数列。因此 a_n + 1 = 2 × 2ⁿ-1 = 2ⁿ，即 a_n = 2ⁿ - 1。易错点：未能识别递推关系可构造等比数列，或构造后求通项时下标出错。
5解答题
已知函数 f(x) = (1)/(3)x³ - (1)/(2)ax² + (a-1)x，其中 a ∈ ℝ。
（1）当 a=2 时，求函数 f(x) 的单调区间；
（2）若函数 f(x) 在区间 (1, 2) 上单调递减，求实数 a 的取值范围。
答案：（1）当 a=2 时，f(x) = (1)/(3)x³ - x² + x，f'(x) = x² - 2x + 1 = (x-1)² ≥ 0，且 f'(x)=0 仅在 x=1 时成立，故 f(x) 在 (-∞, +∞) 上单调递增。
（2）f'(x) = x² - ax + (a-1) = (x-1)(x - (a-1))。
令 f'(x) < 0，则 (x-1)(x - (a-1)) < 0。
要使 f(x) 在 (1, 2) 上单调递减，则需在区间 (1, 2) 上 f'(x) < 0 恒成立。
当 a-1 ≤ 1，即 a ≤ 2 时，f'(x) = (x-1)(x - (a-1)) ≥ 0 在 (1,2) 上恒成立（因为 x-1>0，x-(a-1) ≥ 0），不满足。
当 a-1 > 1，即 a > 2 时，f'(x) < 0 的解集为 (1, a-1)。要使 (1,2) ⊆ (1, a-1)，则需 a-1 ≥ 2，即 a ≥ 3。
综上，实数 a 的取值范围是 [3, +∞)。
解析：（1）求导后，注意 f'(x)=(x-1)² ≥ 0，且等号仅在孤立点 x=1 成立，因此函数在整个定义域上单调递增，不能说在 x=1 处不单调。
（2）关键在于理解“在区间 (1,2) 上单调递减”意味着在该区间内 f'(x) ≤ 0 恒成立，且 f'(x) 不恒为零。通过解二次不等式并讨论参数 a 的范围。易错点：1. 对 f'(x) ≤ 0 恒成立的理解不准确；2. 讨论 a-1 与区间端点 1 和 2 的大小关系时遗漏情况或边界条件处理不当。
6解答题
在 △ ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c。已知 2bcos A = acos C + ccos A。
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a = √(7)，b = 2，求 △ ABC 的面积。
答案：（1）由正弦定理及 2bcos A = acos C + ccos A，得 2sin Bcos A = sin Acos C + sin Ccos A = sin(A+C)。
在 △ ABC 中，sin(A+C) = sin(π - B) = sin B。
所以 2sin Bcos A = sin B。因为 sin B ≠ 0，故 cos A = (1)/(2)。
又 A ∈ (0, π)，所以 A = (π)/(3)。
（2）由余弦定理 a² = b² + c² - 2bccos A，得 7 = 4 + c² - 2 × 2 × c × (1)/(2)，即 c² - 2c - 3 = 0，解得 c = 3 或 c = -1（舍去）。
所以 △ ABC 的面积 S = (1)/(2)bcsin A = (1)/(2) × 2 × 3 × (√(3))/(2) = (3√(3))/(2)。
解析：（1）利用正弦定理将边化为角，再结合三角形内角和及诱导公式化简。易错点：在得到 2sin Bcos A = sin B 后，直接约去 sin B，需说明 sin B ≠ 0。
（2）利用余弦定理求第三边 c，注意解一元二次方程后要舍去负根。求面积时，注意选用正确的公式 S = (1)/(2)bcsin A。
7解答题
已知数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，且 S_n = 2a_n - 2。
（1）求数列 {a_n} 的通项公式；
（2）设 b_n = log₂ a_n，求数列 {a_n b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：（1）当 n=1 时，S₁ = a₁ = 2a₁ - 2，解得 a₁ = 2。
当 n ≥ 2 时，S_n-1 = 2a_n-1 - 2。
由 S_n = 2a_n - 2 减去 S_n-1 = 2a_n-1 - 2，得 a_n = 2a_n - 2a_n-1，即 a_n = 2a_n-1。
所以数列 {a_n} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 a_n = 2 × 2ⁿ-1 = 2ⁿ。
（2）由（1）得 a_n = 2ⁿ，则 b_n = log₂ 2ⁿ = n。
所以 a_n b_n = n · 2ⁿ。
T_n = 1 × 2¹ + 2 × 2² + 3 × 2³ + … + n × 2ⁿ。
采用错位相减法：
2T_n = 1 × 2² + 2 × 2³ + … + (n-1) × 2ⁿ + n × 2ⁿ+1。
两式相减得：-T_n = 2¹ + 2² + 2³ + … + 2ⁿ - n × 2ⁿ+1 = (2(1-2ⁿ))/(1-2) - n × 2ⁿ+1 = 2ⁿ+1 - 2 - n × 2ⁿ+1 = (1-n)2ⁿ+1 - 2。
所以 T_n = (n-1)2ⁿ+1 + 2。
解析：（1）利用 a_n 与 S_n 的关系 a_n = S_n - S_n-1 (n ≥ 2) 求通项时，必须验证 n=1 的情况是否满足。易错点：忽略 n=1 的验证，或由 S_n 与 a_n 的关系式推导 a_n 与 a_n-1 的关系时出错。
（2）识别出 {a_n b_n} 是等差数列与等比数列对应项的乘积，采用错位相减法求和。易错点：错位相减时，2T_n 的表达式写错，或求和公式 (a₁(1-qⁿ))/(1-q) 的应用出错，以及最后整理结果时符号错误。
8解答题
已知椭圆 C: (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 (a > b > 0) 的离心率为 (√(3))/(2)，且过点 (1, (√(3))/(2))。
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l 不经过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，若线段 AB 的中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。
答案：（1）由离心率 e = (c)/(a) = (√(3))/(2)，得 c² = (3)/(4)a²。又 a² = b² + c²，所以 b² = a² - (3)/(4)a² = (1)/(4)a²。
椭圆方程为 (x²)/(a²) + (y²)/((1)/(4)a²) = 1，即 (x²)/(a²) + (4y²)/(a²) = 1，或 x² + 4y² = a²。
代入点 (1, (√(3))/(2))，得 1² + 4 × ((√(3))/(2))² = a²，即 1 + 4 × (3)/(4) = a²，解得 a² = 4。
所以 b² = 1。椭圆 C 的方程为 (x²)/(4) + y² = 1。
（2）证明：设 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，中点 M(x₀, y₀)，则 x₀ = (x₁ + x₂)/(2)，y₀ = (y₁ + y₂)/(2)。
设直线 l 的斜率为 k，则 k = (y₁ - y₂)/(x₁ - x₂)。
因为 A, B 在椭圆上，所以 (x₁²)/(4) + y₁² = 1，(x₂²)/(4) + y₂² = 1。
两式相减得：(x₁² - x₂²)/(4) + (y₁² - y₂²) = 0，即 ((x₁ - x₂)(x₁ + x₂))/(4) + (y₁ - y₂)(y₁ + y₂) = 0。
因为 x₁ ≠ x₂，所以 (x₁ + x₂)/(4) + (y₁ - y₂)/(x₁ - x₂) · (y₁ + y₂) = 0，即 (2x₀)/(4) + k · 2y₀ = 0，整理得 (x₀)/(2) + 2k y₀ = 0。
所以 k_OM = (y₀)/(x₀) = -(1)/(4k)，即 k_OM · k = -(1)/(4)（定值）。
故直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 -(1)/(4)。
解析：（1）利用离心率和椭圆上一点坐标建立方程组求解 a², b²。易错点：混淆 a, b, c 的关系。
（2）证明定值问题常用“点差法”。设而不求，利用中点坐标和斜率公式进行整体代换。易错点：1. 点差法变形后，忘记除以 (x₁ - x₂) 或处理斜率时出错；2. 未说明 x₁ ≠ x₂（即直线 l 不与 x 轴垂直）的条件，但题目已限定直线不平行于坐标轴，故无需额外讨论。