1选择题
已知函数f(x)=x³-3x，则下列关于f(x)的叙述正确的是（ ）
- A. f(x)在(-∞, -1)上单调递减
- B. f(x)在(-1, 1)上单调递增
- C. x=1是f(x)的极小值点
- D. x=-1是f(x)的极大值点
答案：D
解析：求导得f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=± 1。当x<-1或x>1时，f'(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减。因此，x=-1是极大值点，x=1是极小值点。故A、B、C错误，D正确。易错点：混淆单调区间与极值点的对应关系。
2选择题
在等差数列{a_n}中，若a₃ + a₇ = 10，则S₉的值为（ ）
答案：A
解析：由等差数列性质，a₃ + a₇ = 2a₅ = 10，所以a₅=5。前n项和S₉=(9(a₁+a₉))/(2)=(9× 2a₅)/(2)=9a₅=45。故选A。易错点：误用公式S_n=na_n或下标计算错误。
3填空题
已知函数f(x)=sin(2x+φ) (0<φ<π)是偶函数，则φ=________。
答案：(π)/(2)
解析：函数f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)恒成立，即sin(-2x+φ)=sin(2x+φ)。利用诱导公式或直接展开，可得cosφ=0。又0<φ<π，故φ=(π)/(2)。易错点：忽略偶函数的定义或三角函数诱导公式使用错误。
4填空题
已知等比数列{a_n}的公比q>0，且a₂=2，a₄=8，则a₆=________。
答案：32
解析：由等比数列通项公式，a₄=a_2q²，即8=2q²，解得q²=4。因为q>0，所以q=2。则a₆=a_4q²=8× 4=32。易错点：忽略q>0的条件或错误计算q。
5解答题
已知函数f(x)=x³-ax²+1在x=1处取得极值。
（1）求实数a的值；
（2）求函数f(x)在[-1, 2]上的最大值和最小值。
答案：（1）f'(x)=3x²-2ax。由题意f'(1)=0，即3-2a=0，解得a=(3)/(2)。
（2）由（1）知f(x)=x³-(3)/(2)x²+1，f'(x)=3x²-3x=3x(x-1)。令f'(x)=0，得x=0或x=1。
列表分析：
x | -1 | (-1,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,2) | 2
f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | -(1)/(2) | ↗ | 1 | ↘ | (1)/(2) | ↗ | 3
比较端点及极值点函数值：f(-1)=-(1)/(2)，f(0)=1，f(1)=(1)/(2)，f(2)=3。
故最大值为3，最小值为-(1)/(2)。
解析：（1）利用极值点处导数为0的条件求解。（2）求闭区间上最值需比较端点值与极值点处的函数值。易错点：①误认为极值点处导数为0即可，不验证是否变号；②列表分析单调性时，区间划分或符号判断出错；③比较函数值时计算错误。
6解答题
在△ ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，已知2acos B = c。
（1）求角B的大小；
（2）若b=√(7)，a+c=4，求△ ABC的面积。
答案：（1）由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)=(c)/(sin C)，代入2acos B=c得2sin Acos B=sin C。
又C=π-(A+B)，所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B。
代入得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B，整理得sin Acos B=cos Asin B，即sin(A-B)=0。
因为A, B为三角形内角，所以A=B。
故2acos B=c即2acos A=a，所以cos A=(1)/(2)，A=(π)/(3)，从而B=(π)/(3)。
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accos B，得7=a²+c²-2ac·(1)/(2)=a²+c²-ac。
又a+c=4，所以(a+c)²=16，即a²+c²+2ac=16。
两式相减得3ac=9，即ac=3。
故△ ABC的面积S=(1)/(2)acsin B=(1)/(2)× 3× (√(3))/(2)=(3√(3))/(4)。
解析：（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角形内角和化简。（2）利用余弦定理和已知条件建立方程组求解ac。易错点：①正弦定理应用时边角关系对应错误；②三角恒等变换出错；③解方程组时计算失误。
7解答题
已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1 (n∈ ℕ^*)。
（1）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=n(a_n+1)，求数列{b_n}的前n项和T_n。
答案：（1）由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2a_n+2=2(a_n+1)。
又a₁+1=2≠ 0，所以数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列。
（2）由（1）知a_n+1=2· 2ⁿ-1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1。
（3）由（2）知b_n=n(a_n+1)=n· 2ⁿ。
所以T_n=1· 2¹+2· 2²+3· 2³+⋯+n· 2ⁿ。
则2T_n=1· 2²+2· 2³+⋯+(n-1)· 2ⁿ+n· 2ⁿ+1。
两式相减得-T_n=2¹+2²+⋯+2ⁿ-n· 2ⁿ+1=(2(1-2ⁿ))/(1-2)-n· 2ⁿ+1=2ⁿ+1-2-n· 2ⁿ+1。
所以T_n=(n-1)· 2ⁿ+1+2。
解析：（1）利用递推关系构造等比数列。（2）利用等比数列通项公式求解。（3）利用错位相减法求和。易错点：①构造等比数列时，未验证首项不为零；②错位相减时，项数对齐错误或符号处理不当；③最终化简结果未合并同类项。
8解答题
已知函数f(x)=e^x-ax (a∈ ℝ)。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；
（2）讨论函数f(x)的单调性。
答案：（1）当a=1时，f(x)=e^x-x，f'(x)=e^x-1。
f(0)=1，f'(0)=0。
故切线方程为y-1=0· (x-0)，即y=1。
（2）f'(x)=e^x-a。
①当a≤ 0时，f'(x)=e^x-a>0恒成立，f(x)在ℝ上单调递增。
②当a>0时，令f'(x)=0，得x=ln a。
当x<ln a时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x>ln a时，f'(x)>0，f(x)单调递增。
综上，当a≤ 0时，f(x)在ℝ上递增；当a>0时，f(x)在(-∞, ln a)上递减，在(ln a, +∞)上递增。
解析：（1）求导后代入x=0得切线斜率，利用点斜式写方程。（2）对参数a进行分类讨论，利用导数符号判断单调性。易错点：①求导公式记忆错误；②分类讨论时遗漏a≤ 0的情况；③单调区间表述不规范（用逗号或“和”连接）。