1选择题
已知集合A={x|x²-3x-4≤0}，B={x|x<2}，则A∩B=（ ）
- A. {x|-1≤x<2}
- B. {x|x≤4}
- C. {x|-1≤x≤4}
- D. {x|x<2}
答案：A
解析：解不等式x²-3x-4≤0，得(x-4)(x+1)≤0，解得-1≤x≤4，即A=[-1,4]。B=(-∞,2)。求交集得A∩B=[-1,2)。故选A。易错点：解二次不等式时，符号判断错误，或求交集时区间端点取舍出错。
2选择题
函数f(x)=x³-3x的单调递减区间是（ ）
- A. (-∞,-1)
- B. (-1,1)
- C. (1,+∞)
- D. (-∞,-1)∪(1,+∞)
答案：B
解析：求导得f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)<0，解得-1<x<1。因此单调递减区间为(-1,1)。故选B。易错点：误将f'(x)=0的点x=±1包含在单调区间内，或混淆单调递增与递减区间。
3选择题
若sinα>0且tanα<0，则角α是（ ）
- A. 第一象限角
- B. 第二象限角
- C. 第三象限角
- D. 第四象限角
答案：B
解析：sinα>0，角α的终边在第一或第二象限。tanα<0，角α的终边在第二或第四象限。同时满足sinα>0和tanα<0的角α的终边在第二象限。故选B。易错点：对三角函数在各象限的符号记忆不清，或未能正确取交集。
4填空题
在等差数列{a_n}中，已知a₃=5，a₇=13，则公差d=________。
答案：2
解析：由等差数列通项公式a_n=a₁+(n-1)d，得a₃=a₁+2d=5，a₇=a₁+6d=13。两式相减得4d=8，解得d=2。易错点：公式记忆错误，或下标计算出错。
5填空题
已知函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在区间为(n, n+1)（n∈Z），则n=________。
答案：2
解析：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增。计算f(2)=ln2+4-6=ln2-2<0，f(3)=ln3+6-6=ln3>0。由零点存在性定理，零点在(2,3)内，故n=2。易错点：对零点存在性定理的条件理解不准确，或函数值计算错误。
6解答题
已知函数f(x)=x³-3x²+1。
（1）求f(x)的单调区间；
（2）求f(x)在区间[-1, 4]上的最大值和最小值。
答案：（1）f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0<x<2。所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。
（2）由（1）知，在[-1,4]上，f(x)在[-1,0]递增，在[0,2]递减，在[2,4]递增。计算关键点函数值：f(-1)=(-1)³-3×(-1)²+1=-3，f(0)=1，f(2)=2³-3×2²+1=-3，f(4)=4³-3×4²+1=17。比较得，f(x)在[-1,4]上的最大值为17，最小值为-3。
解析：（1）求导后正确解不等式确定单调区间。易错点：导数为0的点（x=0, x=2）是单调区间的分界点，不属于任何单调区间。
（2）在闭区间上求最值，需比较极值点和端点函数值。易错点：遗漏端点函数值的比较，或极值点判断错误。
7解答题
已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S₃=7。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2a_n+n，求数列{b_n}的前n项和T_n。
答案：（1）设等比数列{a_n}的公比为q。由S₃=a₁+a₂+a₃=1+q+q²=7，整理得q²+q-6=0，解得q=2或q=-3。所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ-1或a_n=(-3)ⁿ-1。
（2）当q=2时，a_n=2ⁿ-1，则b_n=2·2ⁿ-1+n=2ⁿ+n。T_n=(2¹+2²+...+2ⁿ)+(1+2+...+n)=(2(1-2ⁿ))/(1-2)+(n(n+1))/(2)=2ⁿ+1-2+(n(n+1))/(2)。当q=-3时，a_n=(-3)ⁿ-1，则b_n=2·(-3)ⁿ-1+n。T_n=2×(1-(-3)ⁿ)/(1-(-3))+(n(n+1))/(2)=(1-(-3)ⁿ)/(2)+(n(n+1))/(2)。
解析：（1）利用等比数列求和公式列方程求公比。易错点：忽略公比可能为负数的情况，或求和公式使用错误。
（2）利用分组求和法。易错点：等比数列求和公式中项数n与指数n的对应关系出错，或等差数列求和公式记忆错误。
8解答题
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E是PB的中点。
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）求点A到平面PBC的距离。
答案：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC。又底面ABCD是正方形，∴AB⊥BC。∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB。又AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE。∵PA=AB=2，E是PB的中点，∴AE⊥PB。∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC。
（2）解：由（1）知AE⊥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离即为线段AE的长度。在Rt△PAB中，PA=AB=2，E是斜边PB的中点，所以AE=(1)/(2)PB=(1)/(2)√(PA²+AB²)=(1)/(2)√(2²+2²)=√(2)。故点A到平面PBC的距离为√2。
解析：（1）证明线面垂直，需证明直线与平面内两条相交直线垂直。易错点：未能正确利用已知的垂直关系（如PA⊥底面，AB⊥BC）进行转化。
（2）利用（1）的结论将点面距转化为线段长。易错点：未能发现AE即为所求距离，或计算AE长度时勾股定理应用错误。