1选择题
已知函数 f(x)=x³-3x，则下列关于 f(x) 的说法正确的是（ ）
- A. f(x) 在 (-∞, -1) 上单调递减
- B. f(x) 的极大值为 -2
- C. f(x) 在 (-1, 1) 上单调递增
- D. f(x) 的极小值为 -2
答案：D
解析：求导得 f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)。令 f'(x)>0，解得 x<-1 或 x>1，故 f(x) 在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递增；令 f'(x)<0，解得 -1<x<1，故 f(x) 在 (-1, 1) 上单调递减。因此 x=-1 是极大值点，极大值为 f(-1)=2；x=1 是极小值点，极小值为 f(1)=-2。选项A、C错误，B错误（极大值为2），D正确。故选D。易错点：导数为0的点不一定是极值点，需左右变号判断。此处 x=±1 处导数变号，确为极值点。
2选择题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ + a₇ = 10，则 S₉ = （ ）
答案：A
解析：在等差数列中，由性质 a₃ + a₇ = 2a₅ = 10，得 a₅ = 5。又 S₉ = (9)/(2)(a₁ + a₉) = (9)/(2) · 2a₅ = 9a₅ = 45。故选A。易错点：数列求和下标错误，误用 S_n = na₁ + (n(n-1))/(2)d 直接计算，但利用性质 a_m + a_n = 2a_(m+n)/(2)（当 m+n 为偶数时）更简便。
3选择题
若 sinα = (3)/(5)，且 α 是第二象限角，则 tanα = （ ）
- A. (3)/(4)
- B. -(3)/(4)
- C. (4)/(3)
- D. -(4)/(3)
答案：B
解析：由 sinα = (3)/(5)，α 是第二象限角，得 cosα = -√(1-sin²α) = -(4)/(5)，故 tanα = (sinα)/(cosα) = -(3)/(4)。故选B。易错点：三角函数符号（象限）错误，第二象限角余弦为负，正切为负。
4填空题
已知等比数列 {a_n} 满足 a₁ = 1，a₄ = 8，则公比 q = ________。
答案：2
解析：由等比数列通项公式 a_n = a₁ qⁿ-1，得 a₄ = q³ = 8，解得 q = 2。易错点：误认为 q⁴ = 8，下标错误。
5填空题
函数 f(x) = x³ - 3x² + 1 的单调递减区间是________。
答案：(0, 2)
解析：求导得 f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x-2)。令 f'(x) < 0，解得 0 < x < 2，故单调递减区间为 (0, 2)。易错点：导数为0的点 x=0 和 x=2 是单调区间的分界点，需写成开区间。
6解答题
已知函数 f(x) = 2sin(ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π) 的最小正周期为 π，且 f((π)/(6)) = 2。
（1）求 ω 和 φ 的值；
（2）求 f(x) 在区间 [0, (π)/(2)] 上的最大值和最小值。
答案：（1）由最小正周期 T = (2π)/(ω) = π，得 ω = 2。
由 f((π)/(6)) = 2sin(2 · (π)/(6) + φ) = 2sin((π)/(3) + φ) = 2，得 sin((π)/(3) + φ) = 1。
因为 0 < φ < π，所以 (π)/(3) < (π)/(3) + φ < (4π)/(3)，故 (π)/(3) + φ = (π)/(2)，解得 φ = (π)/(6)。
（2）由（1）知 f(x) = 2sin(2x + (π)/(6))。
当 x ∈ [0, (π)/(2)] 时，2x + (π)/(6) ∈ [(π)/(6), (7π)/(6)]。
因为正弦函数在 [(π)/(6), (π)/(2)] 上单调递增，在 [(π)/(2), (7π)/(6)] 上单调递减，
所以当 2x + (π)/(6) = (π)/(2)，即 x = (π)/(6) 时，f(x) 取最大值 2；
当 2x + (π)/(6) = (7π)/(6)，即 x = (π)/(2) 时，f(x) 取最小值 2sin(7π)/(6) = -1。
解析：（1）利用周期公式求 ω，再根据函数值求 φ，注意 φ 的范围。（2）利用整体代换法，将 2x+(π)/(6) 视为整体，结合正弦函数的单调性求最值。易错点：三角函数符号（象限）错误，sin((7π)/(6)) = -(1)/(2)，易误算为正；区间端点值易漏。
7解答题
已知数列 {a_n} 满足 a₁ = 1，a_n+1 = 2a_n + 1 (n ∈ ℕ^*)。
（1）证明：数列 {a_n + 1} 是等比数列；
（2）求数列 {a_n} 的通项公式。
答案：（1）由 a_n+1 = 2a_n + 1，得 a_n+1 + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)。
又 a₁ + 1 = 2 ≠ 0，所以数列 {a_n + 1} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。
（2）由（1）得 a_n + 1 = 2 · 2ⁿ-1 = 2ⁿ，所以 a_n = 2ⁿ - 1。
解析：（1）通过递推关系构造等比数列。（2）利用等比数列通项公式求解。易错点：构造时忽略首项验证，或通项公式下标错误。
8解答题
已知函数 f(x) = x³ - ax² + 1 在 x = 1 处取得极值。
（1）求实数 a 的值；
（2）求 f(x) 在区间 [-1, 2] 上的最大值和最小值。
答案：（1）f'(x) = 3x² - 2ax。因为 f(x) 在 x=1 处取得极值，所以 f'(1) = 3 - 2a = 0，解得 a = (3)/(2)。
此时 f'(x) = 3x² - 3x = 3x(x-1)，在 x=1 左右两侧符号由负变正，确为极小值点，符合题意。
（2）由（1）得 f(x) = x³ - (3)/(2)x² + 1，f'(x) = 3x(x-1)。
令 f'(x) = 0，得 x=0 或 x=1。
列表分析：
x ∈ [-1, 0)，f'(x) > 0，f(x) 单调递增；
x ∈ (0, 1)，f'(x) < 0，f(x) 单调递减；
x ∈ (1, 2]，f'(x) > 0，f(x) 单调递增。
计算函数值：f(-1) = (-1)³ - (3)/(2) · (-1)² + 1 = -1 - (3)/(2) + 1 = -(3)/(2)；
f(0) = 1；
f(1) = 1 - (3)/(2) + 1 = (1)/(2)；
f(2) = 8 - (3)/(2) · 4 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3。
比较得，最大值为 3，最小值为 -(3)/(2)。
解析：（1）利用极值点处导数为0求参数，需验证左右变号。（2）求闭区间最值，需比较极值点和端点函数值。易错点：导数为0不一定是极值（需左右变号），本题已验证；端点值易漏算或算错。