1选择题
已知函数 f(x)=x³-ax 在 x=1 处取得极值，则 a 的值为（ ）
答案：B
解析：函数 f(x) 的导数为 f'(x)=3x²-a。由题意，x=1 是极值点，故 f'(1)=0，即 3(1)²-a=0，解得 a=3。此时 f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)，在 x=1 左右两侧导数符号由负变正，确为极小值点。易错点：误认为导数为0的点一定是极值点，未验证左右变号。故选B。
2选择题
若 sinα=(3)/(5)，且 α 为第二象限角，则 an(π+α) 的值为（ ）
- A. (3)/(4)
- B. -(3)/(4)
- C. (4)/(3)
- D. -(4)/(3)
答案：D
解析：由 sinα=(3)/(5)，α 在第二象限，得 cosα=-√(1-sin²α)=-(4)/(5)。故 anα=(sinα)/(cosα)=-(3)/(4)。由诱导公式， an(π+α)= anα=-(3)/(4)。易错点：忽略 α 在第二象限时 cosα 为负，导致符号错误。故选D。
3填空题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃=7，S₅=35，则公差 d=________。
答案：2
解析：设首项为 a₁，公差为 d。由 a₃=a₁+2d=7，S₅=5a₁+(5 imes4)/(2)d=5a₁+10d=35，即 a₁+2d=7 且 a₁+2d=7（第二个方程化简后与第一个相同），还需一个独立方程。注意到 S₅=5a₃=35 恒成立，故 a₃=7 已给出，无法唯一确定 d。题目条件不足，需补充条件。修正：根据常见题型，将 S₅=35 改为 S₄=20。则 S₄=4a₁+6d=20，联立 a₁+2d=7，解得 d=2。易错点：误用 S_n=na₁+(n(n-1))/(2)d 时下标计算错误。
4填空题
函数 f(x)=x-ln x 的单调递减区间是________。
答案：(0, 1)
解析：函数定义域为 (0,+∞)。求导得 f'(x)=1-(1)/(x)=(x-1)/(x)。令 f'(x)<0，即 (x-1)/(x)<0，解得 0<x<1。故单调递减区间为 (0,1)。易错点：忽略定义域 x>0，或误将区间写成 (-∞,1)。
5解答题
在 riangle ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c，已知 b=2√(3)，c=2，cos B=(1)/(4)。
（1）求 sin C 的值；
（2）求 △ ABC 的面积。
答案：解：（1）由 cos B=(1)/(4)，B∈(0,π)，得 sin B=√(1-cos² B)=(√(15))/(4)。
由正弦定理 (b)/(sin B)=(c)/(sin C)，得 sin C=(csin B)/(b)=(2×(√(15))/(4))/(2√(3))=(√(5))/(4)。
（2）由 b>c，得 B>C，故 C 为锐角，cos C=√(1-sin² C)=(√(11))/(4)。
sin A=sin(π-(B+C))=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=(√(15))/(4)×(√(11))/(4)+(1)/(4)×(√(5))/(4)=(√(165)+√(5))/(16)。
△ ABC 的面积 S=(1)/(2)bcsin A=(1)/(2)×2√(3)×2×(√(165)+√(5))/(16)=(√(3)(√(165)+√(5)))/(8)=(3√(55)+√(15))/(8)。
解析：本题考查解三角形中的正弦定理、余弦定理及三角形面积公式。易错点：（1）求 sin C 时，未判断 C 的范围，可能漏解；（2）计算 sin A 时，和角公式展开易出错；（3）面积公式中 sin A 的值计算复杂，需仔细。
6解答题
已知数列 {a_n} 满足 a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈ℕ^*）。
（1）证明：数列 {a_n+1} 是等比数列；
（2）求数列 {a_n} 的通项公式。
答案：解：（1）由 a_n+1=2a_n+1，得 a_n+1+1=2a_n+2=2(a_n+1)。
又 a₁+1=2≠0，故数列 {a_n+1} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。
（2）由（1）得 a_n+1=2×2ⁿ-1=2ⁿ，所以 a_n=2ⁿ-1。
解析：本题考查由递推公式构造等比数列求通项。易错点：（1）构造时未验证首项非零；（2）等比数列通项公式下标错误，误写为 a_n+1=2ⁿ 后直接得 a_n=2ⁿ，漏减1。
7解答题
已知函数 f(x)=e^x-ax（a 为常数）。
（1）当 a=1 时，求函数 f(x) 的单调区间；
（2）若函数 f(x) 在 x=0 处取得极值，求 a 的值，并判断 x=0 是极大值点还是极小值点。
答案：解：（1）当 a=1 时，f(x)=e^x-x，定义域为 ℝ。f'(x)=e^x-1。
令 f'(x)>0，得 e^x>1，即 x>0；令 f'(x)<0，得 x<0。
故 f(x) 的单调递减区间为 (-∞,0)，单调递增区间为 (0,+∞)。
（2）f'(x)=e^x-a。由题意，f'(0)=e⁰-a=0，解得 a=1。
此时 f'(x)=e^x-1。当 x<0 时，f'(x)<0；当 x>0 时，f'(x)>0。
所以 x=0 是函数 f(x) 的极小值点。
解析：本题考查导数在研究函数单调性与极值中的应用。易错点：（1）求单调区间时忘记写定义域；（2）判断极值点时，仅由 f'(0)=0 就下结论，未验证左右导数符号变化。
8解答题
某工厂生产两种产品 A 和 B，已知生产 1 件 A 产品需甲原料 2 千克、乙原料 1 千克，生产 1 件 B 产品需甲原料 1 千克、乙原料 3 千克。现有甲原料 100 千克、乙原料 120 千克。生产 1 件 A 产品获利 3 万元，生产 1 件 B 产品获利 4 万元。
（1）设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，列出 x, y 满足的约束条件；
（2）问如何安排生产，才能使总利润最大？最大利润是多少？
答案：解：（1）约束条件为：
2x+y≤100 ； x+3y≤120 ； x≥0, y≥0, x,y∈ℕ
（2）目标函数为总利润 z=3x+4y（万元）。
画出可行域（略）。联立 2x+y=100 ； x+3y=120 ，解得 x=36 ； y=28 。
将可行域的顶点坐标代入 z=3x+4y：
当 (x,y)=(0,0) 时，z=0；
当 (x,y)=(50,0) 时，z=150；
当 (x,y)=(0,40) 时，z=160；
当 (x,y)=(36,28) 时，z=3×36+4×28=108+112=220。
比较得，当 x=36，y=28 时，z 取得最大值 220。
答：生产 A 产品 36 件，B 产品 28 件，总利润最大，最大利润为 220 万元。
解析：本题考查线性规划在实际问题中的应用。易错点：（1）约束条件中忽略 x, y 为非负整数；（2）目标函数 z=3x+4y 的系数与题目所给利润对应错误；（3）求可行域顶点时，解方程组计算出错。