1选择题
已知函数f(x) = x³ - 3x，则下列关于f(x)的说法正确的是（ ）
- A. f(x)在(-∞, -1)上单调递减
- B. f(x)在(-1, 1)上单调递增
- C. f(x)在(1, +∞)上单调递增
- D. f(x)在x=0处取得极大值
答案：C
解析：求导得f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。当x<-1或x>1时，f'(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减。因此，f(x)在(1, +∞)上单调递增，选项C正确。选项A、B的单调性描述错误。f'(x)在x=0处由负变正，故x=0是极小值点，选项D错误。易错点：误将导数为0的点直接当作极值点，未分析左右导数符号变化。故选C。
2选择题
在△ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若a=2, b=2√3, A=30°，则角B等于（ ）
- A. 30°
- B. 60°
- C. 60°或120°
- D. 120°
答案：C
解析：由正弦定理a/sinA = b/sinB，得2/sin30° = 2√3/sinB，即2/(1/2)=2√3/sinB，解得sinB = √3/2。因为b > a，所以B > A，故B可能为60°或120°。易错点：未考虑“大边对大角”或三角形内角和限制，误选单一值。故选C。
3填空题
已知等比数列{an}满足a1=1，a4=8，则其公比q=________。
答案：2
解析：由等比数列通项公式an=a1·q^(n-1)，得a4=1·q³=8，解得q³=8，故q=2。易错点：下标计算错误，误认为a4=a1·q⁴。
4填空题
函数f(x) = sin(2x + π/6)在区间[0, π/2]上的单调递减区间是________。
答案：[π/6, π/2]
解析：函数y=sinu的单调递减区间为[2kπ+π/2, 2kπ+3π/2]，k∈Z。令u=2x+π/6，由2kπ+π/2 ≤ 2x+π/6 ≤ 2kπ+3π/2，解得kπ+π/6 ≤ x ≤ kπ+2π/3。取k=0，得[π/6, 2π/3]。再与区间[0, π/2]取交集，得[π/6, π/2]。易错点：未与给定区间取交集，或解三角不等式时符号出错。
5解答题
已知函数f(x) = x³ - ax² + 1，若x=1是f(x)的极值点。
(1) 求a的值；
(2) 求f(x)在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
答案：(1) f'(x)=3x²-2ax。由题意f'(1)=0，即3-2a=0，解得a=3/2。
(2) 由(1)知f(x)=x³ - (3/2)x² + 1，f'(x)=3x²-3x=3x(x-1)。令f'(x)=0得x=0或x=1。当x∈[-1,0)时，f'(x)>0；当x∈(0,1)时，f'(x)<0；当x∈(1,2]时，f'(x)>0。故f(x)在x=0处取得极大值f(0)=1，在x=1处取得极小值f(1)=1/2。计算端点值：f(-1)=-3/2，f(2)=1。比较得，最大值为1，最小值为-3/2。
解析：本题考查导数与极值、最值。关键步骤：(1) 利用极值点处导数为0求参数；(2) 求闭区间最值需比较极值点与端点函数值。易错点：① 忘记验证极值点两侧导数是否变号（虽然本题直接由条件得出，但一般需验证）；② 求最值时漏算端点值。
6解答题
在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，已知a=√7，b=2，cosB = -1/7。
(1) 求sinA的值；
(2) 求△ABC的面积。
答案：(1) 由cosB = -1/7，且B∈(0,π)，得sinB = √(1-cos²B) = √(1-1/49) = 4√3/7。由正弦定理a/sinA = b/sinB，得√7/sinA = 2/(4√3/7)，解得sinA = √21/7。
(2) 由余弦定理b² = a² + c² - 2ac·cosB，得4 = 7 + c² - 2·√7·c·(-1/7)，即c² + (2√7/7)c - 3 = 0。解得c=√7（舍去负根）。故△ABC的面积S = (1/2)ac·sinB = (1/2)·√7·√7·(4√3/7) = 2√3。
解析：本题考查解三角形综合。关键：(1) 同角关系求sinB，正弦定理求sinA；(2) 余弦定理求边c，再用面积公式。易错点：① 已知余弦为负，判断角B为钝角，但sinB仍为正；② 解一元二次方程时，需根据三角形边长取舍根。
7解答题
已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a3=5，S6=36。
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn = 2^(an) + n，求数列{bn}的前n项和Tn。
答案：(1) 设等差数列{an}的公差为d。由a3=a1+2d=5，S6=6a1+15d=36。联立解得a1=1，d=2。故an = 1 + (n-1)·2 = 2n-1。
(2) 由(1)知bn = 2^(2n-1) + n = (1/2)·4ⁿ + n。则Tn = (1/2)(4+4²+...+4ⁿ) + (1+2+...+n) = (1/2)·[4(4ⁿ-1)/(4-1)] + n(n+1)/2 = (2/3)(4ⁿ-1) + n(n+1)/2。
解析：本题考查等差数列通项、求和及分组求和法。关键：(1) 列方程组求首项和公差；(2) 识别bn结构，分为等比数列和等差数列求和。易错点：① 等比数列求和公式记忆错误；② 分组求和时，等比部分公比q=4，项数n。
8解答题
某公司为了解员工对某项新政策的支持率，随机调查了100名员工，得到如下2×2列联表：
支持 不支持 合计
-------- ---- ------ ----
男性员工 40 10 50
女性员工 30 20 50
合计 70 30 100
(1) 根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为员工对新政策的支持率与性别有关？
(2) 现从支持该政策的员工中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行深度访谈，记抽取的3人中男性员工人数为X，求X的分布列和数学期望。
附：χ² = n(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
-- ----- ----- ----- ----- ------
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
答案：(1) 零假设H0：员工对新政策的支持率与性别无关。
计算χ² = 100×(40×20-10×30)²/(50×50×70×30) = 100×(800-300)²/(50×50×70×30) = 100×250000/(5250000) ≈ 4.762。
因为4.762 < 6.635，所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据认为员工对新政策的支持率与性别有关。
(2) 支持的员工中，男性40人，女性30人，比例为4:3。抽取7人，则男性抽取4人，女性抽取3人。
X的所有可能取值为0, 1, 2, 3。
P(X=0) = C(4,0)C(3,3)/C(7,3) = 1/35；
P(X=1) = C(4,1)C(3,2)/C(7,3) = 12/35；
P(X=2) = C(4,2)C(3,1)/C(7,3) = 18/35；
P(X=3) = C(4,3)C(3,0)/C(7,3) = 4/35。
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
- ---- ----- ----- ----
P 1/35 12/35 18/35 4/35
数学期望E(X) = 0×1/35 + 1×12/35 + 2×18/35 + 3×4/35 = 12/35 + 36/35 + 12/35 = 60/35 = 12/7。
解析：本题考查独立性检验与超几何分布。(1) 关键：正确计算χ²值并与临界值比较，注意假设检验的表述。(2) 关键：分层抽样确定各层人数，再求超几何分布的概率和期望。易错点：① χ²计算错误；② 分层抽样比例算错；③ 超几何分布概率公式中组合数计算错误。