1选择题
已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-2x+a=0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（ ）
答案：C
解析：解：A={1,2}。B⊆A，则B可能是∅、{1}、{2}或{1,2}。
1. 当B=∅时，方程x²-2x+a=0无实根，Δ=4-4a<0，解得a>1。
2. 当B={1}时，方程有两个相等实根1，需满足Δ=0且x=1是根，即4-4a=0且1-2+a=0，解得a=1。
3. 当B={2}时，方程有两个相等实根2，需满足Δ=0且x=2是根，即4-4a=0且4-4+a=0，解得a=1，但代入验证，当a=1时，方程x²-2x+1=0的根为1，不是2，矛盾，故B不可能为{2}。
4. 当B={1,2}时，由韦达定理，1+2=2，1×2=a，解得a=2，但此时方程两根和为2，积为2，符合，但需验证B={1,2}是否成立，即方程x²-2x+2=0的判别式Δ=4-8=-4<0，无实根，矛盾，故B不可能为{1,2}。
综上，a的取值为a>1或a=1，即a≤1。
易错点：易忽略B=∅的情况；验证B={2}时未代入原方程检验；误以为B={1,2}时韦达定理直接成立，未验证判别式。故选C。
2选择题
函数f(x)=ln(x+√(x²+1))的奇偶性为（ ）
- A. 奇函数
- B. 偶函数
- C. 非奇非偶函数
- D. 既是奇函数又是偶函数
答案：A
解析：解：函数定义域为R，关于原点对称。
f(-x)=ln(-x+√((-x)²+1))=ln(-x+√(x²+1))。
计算f(x)+f(-x)=ln(x+√(x²+1))+ln(-x+√(x²+1))=ln[(x+√(x²+1))(-x+√(x²+1))]=ln[(√(x²+1))²-x²]=ln(x²+1-x²)=ln1=0。
所以f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数。
易错点：直接代入f(-x)后未进行对数运算化简，或误判定义域不关于原点对称。故选A。
3选择题
已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃+a₇=10，则S₉=（ ）
答案：B
解析：解：在等差数列中，由性质a₃+a₇=2a₅=10，得a₅=5。
S₉=9a₅=9×5=45。
易错点：误用公式S_n=na₁+n(n-1)d/2，计算繁琐易错；或混淆下标，误认为a₃+a₇=a₅。故选B。
4填空题
已知函数f(x)=x³-3x，则f(x)的单调递减区间为________。
答案：(-1, 1)
解析：解：f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。
令f'(x)<0，解得-1<x<1。
所以f(x)的单调递减区间为(-1, 1)。
易错点：求导后解不等式时符号出错，或误将递增区间当作递减区间；区间端点是否包含不影响单调性，通常写开区间。
5填空题
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，B=60°，c=3，则b=________。
答案：√7
解析：解：由余弦定理b²=a²+c²-2accosB=2²+3²-2×2×3×cos60°=4+9-12×(1/2)=13-6=7。
所以b=√7。
易错点：余弦定理公式记忆错误，或cos60°的值记错；计算b²时符号出错。
6解答题
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0, 0<φ<π)的最小正周期为π，且其图象过点(π/6, 1)。
（1）求ω和φ的值；
（2）求函数f(x)在区间[0, π/2]上的最大值和最小值。
答案：解：（1）由最小正周期T=π，得2π/ω=π，解得ω=2。
所以f(x)=2sin(2x+φ)。
因为图象过点(π/6, 1)，所以f(π/6)=2sin(2×π/6+φ)=2sin(π/3+φ)=1，即sin(π/3+φ)=1/2。
因为0<φ<π，所以π/3<π/3+φ<4π/3。
由sin(π/3+φ)=1/2，得π/3+φ=5π/6 或 π/3+φ=π/6（舍去，因为π/3+φ>π/3>π/6）。
所以φ=5π/6-π/3=π/2。
综上，ω=2，φ=π/2。
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+π/2)=2cos2x。
因为x∈[0, π/2]，所以2x∈[0, π]。
当2x=0，即x=0时，cos2x取得最大值1，f(x)取得最大值2。
当2x=π，即x=π/2时，cos2x取得最小值-1，f(x)取得最小值-2。
所以f(x)在[0, π/2]上的最大值为2，最小值为-2。
解析：解题思路：（1）利用周期公式求ω，再代入点坐标求φ，注意φ的范围限制；（2）利用诱导公式化简函数，结合余弦函数在给定区间上的单调性求最值。
易错点：（1）解三角方程时忽略φ的范围，得到多解；（2）未将f(x)化简为cos2x，直接分析2sin(2x+π/2)的单调性易错；（3）区间端点值计算错误。
7解答题
已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-2 (n∈N*)。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n·a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n。
答案：解：（1）当n=1时，S₁=2a₁-2，即a₁=2a₁-2，解得a₁=2。
当n≥2时，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2。
两式相减得：S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-2a_n-1，整理得a_n=2a_n-1。
所以数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列。
故a_n=2·2ⁿ-1=2ⁿ。
（2）由（1）知b_n=n·2ⁿ。
T_n=1·2¹+2·2²+3·2³+...+n·2ⁿ。
2T_n=1·2²+2·2³+...+(n-1)·2ⁿ+n·2ⁿ+1。
两式相减得：-T_n=2¹+2²+2³+...+2ⁿ-n·2ⁿ+1=(2(1-2ⁿ))/(1-2)-n·2ⁿ+1=2ⁿ+1-2-n·2ⁿ+1。
所以T_n=(n-1)·2ⁿ+1+2。
解析：解题思路：（1）利用a_n与S_n的关系，通过作差法求通项，注意验证n=1；（2）数列{b_n}是“等差×等比”型，采用错位相减法求和。
易错点：（1）作差时下标范围写错，如写成S_n-S_n-1=a_n (n≥1)；（2）错位相减时，对齐项出错，或相减后等比数列求和公式用错；（3）最后整理T_n时符号或系数错误。
8解答题
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E是PC的中点。
（1）证明：BE⊥平面PAC；
（2）求三棱锥E-ABC的体积。
答案：解：（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接EO。
因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，且O是BD的中点。
在△PBD中，E、O分别是PC、BD的中点，所以EO是△PBD的中位线，EO//PB。
因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD。
又AC⊥BD，PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC。
因为EO//PB，所以EO⊥平面PAC。
又BE⊂平面BEO，所以BE⊥平面PAC。
（2）解：由（1）知EO⊥平面PAC，且EO//PB。
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB。
在Rt△PAB中，PA=2，AB=2，所以PB=√(PA²+AB²)=2√2。
所以EO=1/2 PB=√2。
因为E是PC的中点，所以点E到平面ABC的距离等于点P到平面ABC距离的一半。
因为PA⊥平面ABC，所以点P到平面ABC的距离为PA=2。
所以点E到平面ABC的距离为1。
S_△ABC=1/2 AB·BC=1/2×2×2=2。
所以V_E-ABC=1/3 S_△ABC·h=1/3×2×1=2/3。
故三棱锥E-ABC的体积为2/3。
解析：解题思路：（1）利用线面垂直的判定定理，通过证明线线垂直（BD⊥AC，BD⊥PA）得到BD⊥平面PAC，再利用中位线性质传递垂直关系；（2）利用等体积法或直接求高，注意E是PC中点，其到平面ABC的距离是P到该平面距离的一半。
易错点：（1）证明线面垂直时，漏证一条线线垂直条件；（2）求体积时，误认为E到平面ABC的距离就是EO的长度，实际上EO是斜高；（3）计算PB长度或S_△ABC面积时出错。