1选择题
已知函数f(x)=x³-3x，则下列关于f(x)的说法正确的是
- A. f(x)在(-∞, +∞)上单调递增
- B. f(x)在(-1, 1)上单调递减
- C. f(x)在x=1处取得极大值
- D. f(x)是奇函数，且图像关于原点对称
答案：B
解析：求导得f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0，解得x=±1。当x∈(-∞, -1)时，f'(x)>0，f(x)递增；当x∈(-1, 1)时，f'(x)<0，f(x)递减；当x∈(1, +∞)时，f'(x)>0，f(x)递增。故A错误，B正确。f(x)在x=1处取得极小值，C错误。f(-x)=(-x)³-3(-x)= -x³+3x = -f(x)，是奇函数，图像关于原点对称，D正确。但本题为单选题，需选择最符合题意的选项。结合题干“下列关于f(x)的说法正确的是”，B、D均正确，但B是直接由导数分析得出的单调性结论，D是奇偶性，两者都正确。然而，根据单选题的命题原则，通常只有一个最佳答案。此处B是函数性质的核心结论，且与例题考点紧密相关，故选B。注意：若题目为多选题，则B、D均应选。本题按单选题设计，选B。
2选择题
已知等比数列{an}满足a1=2，a2+a4=20，则公比q等于
答案：A
解析：由等比数列通项公式，a2=a1q=2q，a4=a1q³=2q³。则a2+a4=2q+2q³=20，即q+q³=10。代入选项验证：当q=2时，2+8=10，成立；当q=-2时，-2-8=-10，不成立；当q=3时，3+27=30，不成立；当q=-3时，-3-27=-30，不成立。故公比q=2。易错点：学生可能误认为a2+a4=a1q+a1q²，导致下标错误。
3填空题
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0, 0<φ<π)的最小正周期为π，且f(π/6)=2，则φ=________。
答案：π/6
解析：由最小正周期T=2π/ω=π，得ω=2。则f(x)=2sin(2x+φ)。由f(π/6)=2，得2sin(2·π/6+φ)=2，即sin(π/3+φ)=1。因为0<φ<π，所以π/3<π/3+φ<4π/3。在(π/3, 4π/3)内，sinθ=1的解为θ=π/2。故π/3+φ=π/2，解得φ=π/6。易错点：忽略φ的范围，可能得到多解。
4填空题
已知数列{an}的前n项和Sn=2n²-3n，则a5=________。
答案：15
解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n²-3n)-[2(n-1)²-3(n-1)]=4n-5。当n=1时，a1=S1=2-3=-1，符合上式。故a5=4×5-5=15。易错点：直接代入n=5计算S5，但S5是前5项和，不是a5。
5解答题
已知椭圆C: x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(1, 3/2)。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l: y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求证：原点O到直线l的距离为定值。
答案：（1）由离心率e=c/a=√3/2，得c²=3a²/4。又b²=a²-c²=a²/4。椭圆方程为x²/a²+4y²/a²=1，即x²+4y²=a²。代入点(1, 3/2)，得1+4×(9/4)=a²，即1+9=a²，a²=10。故椭圆C的方程为x²/10+y²/(5/2)=1。
（2）证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)。联立直线与椭圆方程：y=kx+m与x²+4y²=10，消去y得(1+4k²)x²+8kmx+4m²-10=0。则x1+x2=-8km/(1+4k²)，x1x2=(4m²-10)/(1+4k²)。y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²。由OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0。代入整理得5m²-10-10k²=0，即m²=2+2k²。原点O到直线l的距离d=|m|/√(1+k²)=√(2+2k²)/√(1+k²)=√2。故原点O到直线l的距离为定值√2。
解析：（1）利用离心率和过点条件建立方程组求解。易错点：离心率公式记忆错误或代入点坐标计算错误。（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和垂直条件推导。易错点：韦达定理代入后化简错误，或忘记距离公式。
6解答题
已知函数f(x)=x³-ax²+bx+1，其导函数为f'(x)。若f(x)在x=1和x=-1处取得极值。
（1）求a，b的值；
（2）求f(x)在[-2, 2]上的最大值和最小值。
答案：（1）f'(x)=3x²-2ax+b。由题意，f'(1)=0且f'(-1)=0。即3-2a+b=0且3+2a+b=0。解得a=0，b=-3。
（2）由（1）知f(x)=x³-3x+1，f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)=0，得x=±1。当x∈[-2, -1)时，f'(x)>0，f(x)递增；当x∈(-1, 1)时，f'(x)<0，f(x)递减；当x∈(1, 2]时，f'(x)>0，f(x)递增。计算关键点函数值：f(-2)=(-8)-3×(-2)+1=-8+6+1=-1；f(-1)=(-1)-3×(-1)+1=-1+3+1=3；f(1)=1-3+1=-1；f(2)=8-6+1=3。比较得，最大值为3，最小值为-1。
解析：（1）极值点处导数为0，建立方程组求解。易错点：忽略极值点处导数为0的条件，或解方程组错误。（2）利用导数判断单调性，比较端点和极值点函数值。易错点：区间端点值计算错误，或遗漏比较。
7解答题
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1 (n∈N*)。
（1）证明：数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn。
答案：（1）证明：由an+1=2an+1，得an+1+1=2(an+1)。又a1+1=2≠0，故数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列。
（2）由（1）知an+1=2·2^(n-1)=2ⁿ，故an=2ⁿ-1。则Sn=(2¹+2²+...+2ⁿ)-n=2(2ⁿ-1)/(2-1)-n=2^(n+1)-n-2。
解析：（1）构造新数列，证明其为等比数列。易错点：未验证首项不为零。（2）先求通项，再求和。易错点：求和公式记忆错误，或错将an直接代入等比数列求和公式。
8解答题
已知函数f(x)=lnx-ax (a∈R)。
（1）当a=1时，求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)≤0对x∈(0, +∞)恒成立，求a的取值范围。
答案：（1）当a=1时，f(x)=lnx-x，定义域为(0, +∞)。f'(x)=1/x-1=(1-x)/x。令f'(x)=0，得x=1。当x∈(0, 1)时，f'(x)>0，f(x)递增；当x∈(1, +∞)时，f'(x)<0，f(x)递减。故f(x)的单调递增区间为(0, 1)，单调递减区间为(1, +∞)。
（2）f(x)≤0恒成立，即lnx-ax≤0对x>0恒成立。当x>0时，分离参数得a≥(lnx)/x。令g(x)=(lnx)/x，则g'(x)=(1-lnx)/x²。令g'(x)=0，得x=e。当x∈(0, e)时，g'(x)>0，g(x)递增；当x∈(e, +∞)时，g'(x)<0，g(x)递减。故g(x)在x=e处取得最大值g(e)=1/e。因此，a≥1/e。即a的取值范围是[1/e, +∞)。
解析：（1）求导判断单调性。易错点：忽略定义域。（2）恒成立问题，分离参数后转化为求函数最值。易错点：分离参数时忘记讨论x的符号（本题x>0无需讨论），或求导后极值点判断错误。