1选择题
已知集合 A = {x | x² - 2x - 3 < 0}，B = {x | 1 < x < 4}，则 A ∩ B = ( )。
- A. {x | -1 < x < 3}
- B. {x | 1 < x < 3}
- C. {x | 3 < x < 4}
- D. {x | -1 < x < 4}
答案：B
解析：解不等式 x² - 2x - 3 < 0，得 (x-3)(x+1) < 0，解得 -1 < x < 3，即 A = (-1, 3)。又 B = (1, 4)，所以 A ∩ B = (1, 3)。易错点是解不等式时符号判断错误或与并集混淆。故选B。
2选择题
下列函数中，既是奇函数又在区间 (0, +∞) 上单调递增的是 ( )。
- A. f(x) = x²
- B. f(x) = sin x
- C. f(x) = x³
- D. f(x) = e^x
答案：C
解析：A. f(x)=x² 是偶函数，不符合。B. f(x)=sin x 是奇函数，但在 (0, +∞) 上不单调递增（有增有减）。C. f(x)=x³ 是奇函数，且 f'(x)=3x² ≥ 0，在 (0, +∞) 上单调递增，符合。D. f(x)=e^x 非奇非偶。易错点是对函数奇偶性与单调性综合判断不准确。故选C。
3填空题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ = 5，S₅ = 25，则公差 d = ________。
答案：1
解析：由等差数列通项公式 a_n = a₁ + (n-1)d 和求和公式 S_n = na₁ + (n(n-1))/(2)d，得 a₃ = a₁ + 2d = 5，S₅ = 5a₁ + 10d = 25。联立解得 a₁ = 1，d = 1。易错点是求和公式中项数或系数错误。
4填空题
函数 f(x) = ln x - x 的单调递增区间是 ________。
答案：(0, 1)
解析：函数定义域为 (0, +∞)。求导得 f'(x) = (1)/(x) - 1。令 f'(x) > 0，即 (1)/(x) - 1 > 0，解得 0 < x < 1。所以单调递增区间为 (0, 1)。易错点是忽略定义域或导数不等式解错。
5填空题
在 △ ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c。若 a = 2，B = 60°，c = 3，则 b = ________。
答案：√(7)
解析：由余弦定理 b² = a² + c² - 2accos B，代入数据得 b² = 2² + 3² - 2 × 2 × 3 × cos 60°= 4 + 9 - 12 × (1)/(2) = 7，所以 b = √(7)。易错点是余弦定理公式记忆错误或角度代入错误。
6解答题
已知函数 f(x) = x³ - 12x。
（1）求 f(x) 的单调区间；
（2）求 f(x) 在区间 [-3, 3] 上的最大值与最小值。
答案：（1）f'(x) = 3x² - 12 = 3(x-2)(x+2)。令 f'(x) > 0，得 x < -2 或 x > 2；令 f'(x) < 0，得 -2 < x < 2。所以 f(x) 的单调递增区间为 (-∞, -2) 和 (2, +∞)，单调递减区间为 (-2, 2)。
（2）由（1）知，f(x) 在 [-3, -2] 上递增，在 [-2, 2] 上递减，在 [2, 3] 上递增。计算关键点函数值：f(-3) = 9，f(-2) = 16，f(2) = -16，f(3) = -9。比较得，最大值为 f(-2)=16，最小值为 f(2)=-16。
解析：（1）求导后解不等式是关键，注意导数为零的点是单调区间的分界点，但需验证左右导数符号变化。（2）闭区间求最值，需比较极值点和端点函数值。易错点是漏掉端点值或单调区间写成并集形式不规范。
7解答题
已知数列 {a_n} 是等比数列，且 a₁ = 1，a₂ + a₃ = 6。
（1）求数列 {a_n} 的通项公式；
（2）设 b_n = a_n + 2n，求数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：（1）设等比数列公比为 q，则 a₂ = q，a₃ = q²。由 a₂ + a₃ = 6 得 q + q² = 6，解得 q = 2 或 q = -3。所以通项公式为 a_n = 2ⁿ-1 或 a_n = (-3)ⁿ-1。
（2）当 a_n = 2ⁿ-1 时，b_n = 2ⁿ-1 + 2n，则 T_n = (1+2+...+2ⁿ-1) + 2(1+2+...+n) = (1-2ⁿ)/(1-2) + 2 × (n(n+1))/(2) = 2ⁿ - 1 + n(n+1)。
当 a_n = (-3)ⁿ-1 时，b_n = (-3)ⁿ-1 + 2n，则 T_n = (1-(-3)ⁿ)/(1-(-3)) + n(n+1) = (1-(-3)ⁿ)/(4) + n(n+1)。
解析：（1）利用基本量法求公比，注意等比数列公比可能为负。（2）分组求和，等比数列求和需注意公比是否为1。易错点是等比数列求和公式记错，或分组求和时项数处理不当。
8解答题
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥ 底面 ABCD，PA = AB = 2，E 是 PB 的中点。
（1）求证：AE ⊥ PC；
（2）求三棱锥 E-PCD 的体积。
答案：（1）证明：因为 PA ⊥ 底面 ABCD，BC ⊂ 底面 ABCD，所以 PA ⊥ BC。又底面 ABCD 是正方形，所以 AB ⊥ BC。因为 PA ∩ AB = A，所以 BC ⊥ 平面 PAB。因为 AE ⊂ 平面 PAB，所以 BC ⊥ AE。因为 PA = AB，E 是 PB 中点，所以 AE ⊥ PB。因为 PB ∩ BC = B，所以 AE ⊥ 平面 PBC。因为 PC ⊂ 平面 PBC，所以 AE ⊥ PC。
（2）解：因为 E 是 PB 中点，所以点 E 到平面 PCD 的距离等于点 B 到平面 PCD 距离的一半。由（1）知 BC ⊥ 平面 PAB，所以 BC ⊥ PA。又 PA ⊥ AB，AB ∩ BC = B，所以 PA ⊥ 平面 ABCD。所以 PA 是四棱锥的高。三棱锥 E-PCD 的体积 V_E-PCD = (1)/(2) V_B-PCD = (1)/(2) × (1)/(3) S_△ PCD × BC。计算得 S_△ PCD = (1)/(2) × CD × PA = (1)/(2) × 2 × 2 = 2，BC = 2，所以 V_E-PCD = (1)/(2) × (1)/(3) × 2 × 2 = (2)/(3)。
解析：（1）立体几何证明线线垂直，通常转化为证明线面垂直，需熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理。（2）求体积时，利用等体积法或中点性质转化是常用技巧。易错点是证明过程中条件罗列不全，或体积计算时底和高找错。