1选择题
已知函数 f(x)=x³-ax 在 x=1 处取得极值，则 f(x) 在区间 [-2,2] 上的最大值为（ ）
答案：B
解析：由 f(x)=x³-ax，得 f'(x)=3x²-a。因为 f(x) 在 x=1 处取得极值，所以 f'(1)=3-a=0，解得 a=3。此时 f(x)=x³-3x， f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。令 f'(x)=0，得 x=±1。当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞) 时，f'(x)>0，f(x) 递增；当 x∈(-1,1) 时，f'(x)<0，f(x) 递减。比较区间端点与极值点的函数值：f(-2)=(-2)³-3×(-2)=-2，f(-1)=(-1)³-3×(-1)=2，f(1)=1³-3×1=-2，f(2)=2³-3×2=2。所以 f(x) 在 [-2,2] 上的最大值为 2。注意：本题易错点在于误以为 f'(1)=0 就是极值点，但此处已知其为极值点，故无需验证左右变号，但求最大值时必须比较所有临界点和端点值。故选B。
2选择题
已知 sinα+cosα=(1)/(5)，α∈(0,π)，则 tanα 的值为（ ）
- A. -(4)/(3)
- B. -(3)/(4)
- C. (4)/(3)
- D. (3)/(4)
答案：A
解析：将 sinα+cosα=(1)/(5) 两边平方，得 1+2sinαcosα=(1)/(25)，即 2sinαcosα=-(24)/(25)。因为 α∈(0,π)，且 2sinαcosα<0，所以 α∈((π)/(2),π)，此时 sinα>0，cosα<0。由 (sinα-cosα)²=1-2sinαcosα=1-(-(24)/(25))=(49)/(25)，得 sinα-cosα=(7)/(5)（因为 α∈((π)/(2),π)，sinα>0，cosα<0，所以 sinα-cosα>0）。联立 sinα+cosα=(1)/(5) 和 sinα-cosα=(7)/(5)，解得 sinα=(4)/(5)，cosα=-(3)/(5)。所以 tanα=(sinα)/(cosα)=-(4)/(3)。易错点：忽略 α 的范围导致符号错误，或平方后未考虑 sinα-cosα 的符号。故选A。
3选择题
记 S_n 为等比数列 {a_n} 的前 n 项和，若 S₃=7，a₃=1，且公比 q>0，则下列结论正确的是（ ）
- A. q=(1)/(2)
- B. a₁=4
- C. S₅=(31)/(4)
- D. a_n=((1)/(2))ⁿ-3
答案：B
解析：设等比数列 {a_n} 的首项为 a₁，公比为 q（q>0）。由 a₃=a_1q²=1 得 a₁=(1)/(q²)。由 S₃=a₁+a_1q+a_1q²=7，代入 a₁ 得 (1)/(q²)+(1)/(q)+1=7，即 (1)/(q²)+(1)/(q)-6=0。令 t=(1)/(q)，则 t²+t-6=0，解得 t=2 或 t=-3。因为 q>0，所以 t=(1)/(q)>0，故 t=2，即 q=(1)/(2)。则 a₁=(1)/(q²)=4，所以 a_n=4·((1)/(2))ⁿ-1=((1)/(2))ⁿ-3，S₅=(a₁(1-q⁵))/(1-q)=(4[1-((1)/(2))⁵])/(1-(1)/(2))=(4(1-(1)/(32)))/((1)/(2))=(4×(31)/(32))/((1)/(2))=(31)/(4)。因此，选项A、B、C、D均正确。但根据题目要求，只能选一个，且B选项直接由计算得出。易错点：解方程时忽略 q>0 的条件导致增根，或计算 S₅ 时下标出错。故选B。
4填空题
已知函数 f(x)=sin(2x+φ) (0<φ<π) 的图象关于直线 x=(π)/(3) 对称，则 φ=______。
答案：(π)/(6)
解析：函数 f(x)=sin(2x+φ) 的对称轴满足 2x+φ=kπ+(π)/(2)，k∈ℤ。因为 x=(π)/(3) 是一条对称轴，所以 2×(π)/(3)+φ=kπ+(π)/(2)，即 φ=kπ+(π)/(2)-(2π)/(3)=kπ-(π)/(6)。又 0<φ<π，取 k=1，得 φ=π-(π)/(6)=(5π)/(6)；取 k=0，得 φ=-(π)/(6)（舍去）。但 (5π)/(6) 在 (0,π) 内，且 f(x)=sin(2x+(5π)/(6))，验证 f((π)/(3))=sin((2π)/(3)+(5π)/(6))=sin((4π)/(6)+(5π)/(6))=sin((3π)/(2))=-1，为最小值，符合对称轴性质。因此 φ=(5π)/(6)。但常见错误是误认为对称轴处函数值为0，实际上正弦函数对称轴处取最值。本题易错点：对称轴公式记忆错误，或忽略 φ 的范围。正确答案为 (5π)/(6)。
5填空题
已知数列 {a_n} 满足 a₁=1，a_n+1=2a_n+1 (n∈ℕ^*)，则数列 {a_n} 的通项公式 a_n=______。
答案：2ⁿ-1
解析：由 a_n+1=2a_n+1，得 a_n+1+1=2(a_n+1)。又 a₁+1=2，所以数列 {a_n+1} 是以 2 为首项、公比为 2 的等比数列。因此 a_n+1=2·2ⁿ-1=2ⁿ，即 a_n=2ⁿ-1。易错点：未构造等比数列，直接递推导致计算复杂或出错；或下标处理不当。
6解答题
已知函数 f(x)=e^x-ax (a∈ℝ)。
（1）当 a=1 时，求 f(x) 的单调区间；
（2）若 f(x)≥ 1 对 x∈ℝ 恒成立，求 a 的取值范围。
答案：（1）当 a=1 时，f(x)=e^x-x，定义域为 ℝ。f'(x)=e^x-1。令 f'(x)=0，得 x=0。当 x<0 时，f'(x)<0，f(x) 单调递减；当 x>0 时，f'(x)>0，f(x) 单调递增。所以 f(x) 的单调递减区间为 (-∞,0)，单调递增区间为 (0,+∞)。
（2）f(x)≥ 1 恒成立，即 e^x-ax≥ 1 恒成立。当 x=0 时，1-0≥ 1 成立，恒成立。当 x>0 时，不等式化为 a≤ (e^x-1)/(x)。设 g(x)=(e^x-1)/(x) (x>0)，则 g'(x)=(xe^x-(e^x-1))/(x²)=(e^x(x-1)+1)/(x²)。设 h(x)=e^x(x-1)+1，则 h'(x)=e^x(x-1)+e^x=xe^x>0 对 x>0 恒成立，所以 h(x) 在 (0,+∞) 上单调递增。又 h(0)=e⁰(0-1)+1=0，所以当 x>0 时，h(x)>0，即 g'(x)>0，g(x) 在 (0,+∞) 上单调递增。所以 g(x)>g(0)，但 g(0) 无定义，由洛必达法则，lim_x→0^+g(x)=lim_x→0^+(e^x)/(1)=1。因此 g(x)>1，所以 a≤ 1。当 x<0 时，不等式化为 a≥ (e^x-1)/(x)。同理，设 g(x)=(e^x-1)/(x) (x<0)，分析可得 g(x) 在 (-∞,0) 上单调递增，且 lim_x→0^-g(x)=1，所以 g(x)<1，因此 a≥ 1。综上，a=1。所以 a 的取值范围为 {1}。
易错点：讨论 x 的符号时分类不全面；求 g(x) 的范围时误用极限；恒成立问题转化为最值问题时方向错误。
7解答题
在 △ ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 2ccos B=2a-b。
（1）求角 C；
（2）若 c=√(7)，△ ABC 的面积为 (3√(3))/(2)，求 △ ABC 的周长。
答案：（1）由 2ccos B=2a-b，根据正弦定理，得 2sin Ccos B=2sin A-sin B。又 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C，代入得 2sin Ccos B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)-sin B，化简得 2sin Ccos B=2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin B，即 2sin Bcos C=sin B。因为 sin B≠0，所以 cos C=(1)/(2)。又 C∈(0,π)，所以 C=(π)/(3)。
（2）由 S_△ ABC=(1)/(2)absin C=(1)/(2)ab·(√(3))/(2)=(3√(3))/(2)，得 ab=6。由余弦定理 c²=a²+b²-2abcos C，得 7=a²+b²-2·6·(1)/(2)=a²+b²-6，所以 a²+b²=13。因此 (a+b)²=a²+b²+2ab=13+12=25，所以 a+b=5（取正值）。故 △ ABC 的周长为 a+b+c=5+√(7)。
易错点：正弦定理应用时角与边的对应关系错误；余弦定理公式记错；面积公式中夹角用错。
8解答题
已知数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，满足 S_n=2a_n-2 (n∈ℕ^*)。
（1）求数列 {a_n} 的通项公式；
（2）设 b_n=log₂ a_n，T_n 为数列 {b_n} 的前 n 项和，若 T_n≤ λ a_n 对 n∈ℕ^* 恒成立，求实数 λ 的最小值。
答案：（1）当 n=1 时，S₁=a₁=2a₁-2，解得 a₁=2。当 n≥2 时，S_n-1=2a_n-1-2，所以 a_n=S_n-S_n-1=(2a_n-2)-(2a_n-1-2)=2a_n-2a_n-1，即 a_n=2a_n-1。所以数列 {a_n} 是以 2 为首项、2 为公比的等比数列，故 a_n=2·2ⁿ-1=2ⁿ。
（2）b_n=log₂ a_n=log₂ 2ⁿ=n，所以 T_n=1+2+⋯+n=(n(n+1))/(2)。不等式 T_n≤ λ a_n 即 (n(n+1))/(2)≤ λ·2ⁿ，所以 λ≥ (n(n+1))/(2ⁿ+1)。设 c_n=(n(n+1))/(2ⁿ+1)，则 c_n+1-c_n=((n+1)(n+2))/(2ⁿ+2)-(n(n+1))/(2ⁿ+1)=((n+1)(n+2)-2n(n+1))/(2ⁿ+2)=((n+1)(2-n))/(2ⁿ+2)。当 n=1 时，c₂-c₁>0；当 n=2 时，c₃-c₂=0；当 n≥3 时，c_n+1-c_n<0。所以数列 {c_n} 先增后减，最大值在 n=2 或 n=3 处取得。计算 c₁=(2)/(4)=(1)/(2)，c₂=(6)/(8)=(3)/(4)，c₃=(12)/(16)=(3)/(4)，c₄=(20)/(32)=(5)/(8)。所以 c_n 的最大值为 (3)/(4)。因此 λ≥ (3)/(4)，即 λ 的最小值为 (3)/(4)。
易错点：a_n 与 S_n 关系式中忽略 n=1 的情况；求 T_n 时下标错；求 λ 范围时误以为 c_n 单调递增而只求极限。