1选择题
已知集合 A = ；-1, 0, 1, 2；，集合 B = ；x | x² - 2x = 0；，则 A ∩ B 等于（ ）
- A. ；-1, 0, 1, 2；
- B. ；0, 2；
- C. ；0, 1；
- D. ；2；
答案：B
解析：先化简集合 B：由 x² - 2x = 0，解得 x = 0 或 x = 2，所以 B = ；0, 2；。再求交集：A ∩ B = ；0, 2；。本题考查集合的交集运算，易错点是解方程 x² - 2x = 0 时漏解 x=0，或者误认为 A 中的元素 1 也是 B 的元素。故选B。
2选择题
函数 f(x) = x)/(x² + 1) 的图象大致为（ ）
- A. 图象关于原点对称，在 (0, +∞) 上先增后减
- B. 图象关于原点对称，在 (0, +∞) 上单调递增
- C. 图象关于 y 轴对称，在 (0, +∞) 上先增后减
- D. 图象关于 y 轴对称，在 (0, +∞) 上单调递减
答案：A
解析：首先判断奇偶性：f(-x) = -x)/((-x)² + 1) = -x)/(x² + 1) = -f(x)，所以 f(x) 是奇函数，图象关于原点对称。排除C、D。再研究单调性：f'(x) = 1 · (x² + 1) - x · 2x)/((x² + 1)²) = 1 - x²)/((x² + 1)²)。令 f'(x) > 0，得 1 - x² > 0，即 -1 < x < 1；令 f'(x) < 0，得 x < -1 或 x > 1。所以在 (0, +∞) 上，当 0 < x < 1 时 f'(x) > 0，f(x) 递增；当 x > 1 时 f'(x) < 0，f(x) 递减，即先增后减。故选A。
3填空题
已知等差数列 ；{a_n；} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ + a₇ = 10，则 S₉ = ________。
答案：S₉ = 45。
解析：利用等差数列性质：a₃ + a₇ = 2a₅ = 10，所以 a₅ = 5。则 S₉ = 9(a₁ + a₉))/(2) = 9 × 2a₅)/(2) = 9a₅ = 45。本题考查等差数列的性质与前 n 项和公式，易错点是直接套用求和公式而未利用性质简化计算，或者下标计算错误。
4解答题
已知函数 f(x) = 2sin(ω x + φ) ω > 0, |φ| < π)/(2) 的最小正周期为 π，且图象关于直线 x = π)/(3) 对称。
(1) 求 ω 和 φ 的值；
(2) 求 f(x) 在区间 0, π)/(2) 上的最大值和最小值。
答案：(1) ω = 2，φ = π)/(6)。
(2) 最大值为 2，最小值为 -1。
解析：(1) 由最小正周期 T = 2π)/(ω) = π，得 ω = 2。因为图象关于直线 x = π)/(3) 对称，所以 fπ)/(3) = 2sin2 × π)/(3) + φ = ± 2，即 sin2π)/(3) + φ = ± 1。又 |φ| < π)/(2)，所以 2π)/(3) + φ = π)/(2) + kπ, k ∈ ℤ。取 k=0，得 φ = π)/(2) - 2π)/(3) = -π)/(6)；取 k=1，得 φ = 3π)/(2) - 2π)/(3) = 5π)/(6)（舍去，因为 |φ| < π)/(2)）。所以 φ = -π)/(6)。但题目中 |φ| < π)/(2)，-π)/(6) 符合。或者从对称轴条件直接得到 2 × π)/(3) + φ = π)/(2) + kπ，取 k=0 得 φ = -π)/(6)。
(2) 由 (1) 知 f(x) = 2sin2x - π)/(6)。当 x ∈ 0, π)/(2) 时，2x - π)/(6) ∈ -π)/(6), 5π)/(6)。结合正弦函数图象，在该区间上，当 2x - π)/(6) = π)/(2) 即 x = π)/(3) 时，f(x) 取得最大值 2；当 2x - π)/(6) = -π)/(6) 即 x = 0 时，f(x) 取得最小值 2 × -1)/(2) = -1。
本题考查三角函数的周期、对称性及最值，易错点是求 φ 时未考虑 |φ| 的范围，以及求最值时未正确确定内层函数的范围。
5解答题
已知函数 f(x) = x³ - 3x。
(1) 求 f(x) 的单调递增区间；
(2) 求 f(x) 在区间 [-2, 2] 上的最大值和最小值。
答案：(1) 单调递增区间为 (-∞, -1) 和 (1, +∞)。
(2) 最大值为 2，最小值为 -2。
解析：(1) f'(x) = 3x² - 3 = 3(x+1)(x-1)。令 f'(x) > 0，得 x < -1 或 x > 1。所以 f(x) 的单调递增区间为 (-∞, -1) 和 (1, +∞)。
(2) 由 (1) 知，f(x) 在 [-2, -1) 上递增，在 (-1, 1) 上递减，在 (1, 2] 上递增。计算关键点函数值：f(-2) = (-2)³ - 3 × (-2) = -8 + 6 = -2；f(-1) = (-1)³ - 3 × (-1) = -1 + 3 = 2；f(1) = 1³ - 3 × 1 = 1 - 3 = -2；f(2) = 2³ - 3 × 2 = 8 - 6 = 2。比较得，在 [-2, 2] 上，f(x) 的最大值为 2，最小值为 -2。
本题直接考查利用导数求函数单调区间和闭区间最值，是课本例题的直接应用。易错点是导数为 0 的点 x = ± 1 处需结合单调性判断是否为极值点（本题是极值点），以及在求最值时遗漏端点值。
6解答题
在 △ ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c。已知 a = 2，B = π)/(3)，b = √(7)。
(1) 求 sin A 的值；
(2) 求 c 的值。
答案：(1) sin A = √(3))/(3)。
(2) c = 3。
解析：(1) 由正弦定理 a)/(sin A) = b)/(sin B)，得 2)/(sin A) = √(7))/(sin π)/(3)) = √(7))/(√(3))/(2))。所以 sin A = 2 × √(3))/(2))/(√(7)) = √(3))/(√(7)) = √(21))/(7)。题目要求 sin A，答案为 √(21))/(7)。
(2) 由余弦定理 b² = a² + c² - 2ac cos B，得 7 = 4 + c² - 2 × 2 × c × 1)/(2)，即 c² - 2c - 3 = 0。解得 c = 3 或 c = -1（舍去）。所以 c = 3。
本题考查正弦定理和余弦定理的直接应用，属于基础题。易错点是计算 sin A 时，sin π)/(3) 的值记错，以及余弦定理公式中符号出错。
7解答题
已知数列 ；{a_n；} 满足 a₁ = 1，a_n+1 = 2a_n + 1。
(1) 证明：数列 ；{a_n + 1；} 是等比数列；
(2) 求数列 ；{a_n；} 的通项公式。
答案：(1) 证明见解析。
(2) a_n = 2ⁿ - 1。
解析：(1) 由 a_n+1 = 2a_n + 1，得 a_n+1 + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)。又 a₁ + 1 = 2 ≠ 0，所以数列 ；{a_n + 1；} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。
(2) 由 (1) 知，a_n + 1 = 2 × 2ⁿ-1 = 2ⁿ，所以 a_n = 2ⁿ - 1。
本题考查构造等比数列求通项公式，是数列部分的常见方法。易错点是构造数列时未验证首项不为 0，或者计算 a_n + 1 的通项时指数写错。
8解答题
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥ 底面 ABCD，ABCD 是正方形，PA = AB = a。
(1) 求证：BD ⊥ PC；
(2) 求二面角 P-BD-A 的正切值。
答案：(1) 证明见解析。
(2) 二面角 P-BD-A 的正切值为 √(2)。
解析：(1) 因为 ABCD 是正方形，所以 AC ⊥ BD。又 PA ⊥ 底面 ABCD，BD ⊂ 底面 ABCD，所以 PA ⊥ BD。因为 PA ∩ AC = A，PA, AC ⊂ 平面 PAC，所以 BD ⊥ 平面 PAC。因为 PC ⊂ 平面 PAC，所以 BD ⊥ PC。
(2) 设 AC ∩ BD = O，连接 PO。由 (1) 知 BD ⊥ 平面 PAC，所以 BD ⊥ AO，BD ⊥ PO。所以 ∠ POA 是二面角 P-BD-A 的平面角。因为 PA ⊥ 底面 ABCD，所以 PA ⊥ AO。在 Rt△ PAO 中，PA = a，AO = √(2))/(2)a，所以 tan ∠ POA = PA)/(AO) = a)/(√(2))/(2)a) = √(2)。即二面角 P-BD-A 的正切值为 √(2)。
本题考查立体几何中线线垂直的证明和二面角的计算，是课本例题的典型应用。易错点是证明线线垂直时，未先证线面垂直，或者二面角的平面角找错。