1选择题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则下列结论正确的是（ ）
- A. f(x) 在 (-∞, -1) 上单调递增
- B. f(x) 在 (-1, 1) 上单调递增
- C. x=1 是 f(x) 的极小值点
- D. x=-1 是 f(x) 的极大值点
答案：A
解析：求导得 f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1)。令 f'(x) > 0，解得 x < -1 或 x > 1，故 f(x) 在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递增；令 f'(x) < 0，解得 -1 < x < 1，故 f(x) 在 (-1, 1) 上单调递减。因此，A 正确，B 错误。在 x=-1 处，导数由正变负，故 f(x) 取得极大值；在 x=1 处，导数由负变正，故 f(x) 取得极小值。因此 C、D 均错误。故选A。易错点：误以为导数为零的点一定是极值点，需结合导数符号变化判断。
2选择题
在 △ ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4，则 cos C 的值为（ ）
- A. (1)/(4)
- B. (1)/(2)
- C. -(1)/(4)
- D. -(1)/(2)
答案：C
解析：由正弦定理，设 a=2k, b=3k, c=4k (k>0)。由余弦定理，cos C = (a²+b²-c²)/(2ab) = ((2k)²+(3k)²-(4k)²)/(2 · 2k · 3k) = (4+9-16)/(12) = (-3)/(12) = -(1)/(4)。故选C。易错点：边长比例与正弦比例对应错误，或计算余弦值时符号出错。
3选择题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ + a₈ = 10，则 S₁₀ 等于（ ）
答案：C
解析：由等差数列性质，a₃ + a₈ = a₁ + a₁₀ = 10。则 S₁₀ = (10(a₁ + a₁₀))/(2) = (10 × 10)/(2) = 50。故选C。易错点：误用通项公式或求和公式，或未能利用性质简化计算。
4填空题
已知数列 {a_n} 满足 a₁ = 1，a_n+1 = 2a_n + 1，则数列 {a_n} 的通项公式为 a_n = underline{hspace}。
答案：2ⁿ - 1
解析：由 a_n+1 = 2a_n + 1，可变形为 a_n+1 + 1 = 2(a_n + 1)。故数列 {a_n + 1} 是以 a₁ + 1 = 2 为首项，公比为 2 的等比数列。因此 a_n + 1 = 2 · 2ⁿ-1 = 2ⁿ，即 a_n = 2ⁿ - 1。易错点：未能通过构造法发现 {a_n+1} 是等比数列，导致递推错误。
5解答题
已知函数 f(x) = cos(2x - (π)/(3))。
（1）求 f(x) 的最小正周期；
（2）求 f(x) 在区间 [0, π] 上的单调递减区间。
答案：（1）最小正周期 T = (2π)/(ω) = (2π)/(2) = π。
（2）由 2kπ ≤ 2x - (π)/(3) ≤ 2kπ + π (k ∈ ℤ)，得 kπ + (π)/(6) ≤ x ≤ kπ + (2π)/(3) (k ∈ ℤ)。
取 k=0，得 (π)/(6) ≤ x ≤ (2π)/(3)；
取 k=1，得 (7π)/(6) ≤ x ≤ (5π)/(3)。
结合 x ∈ [0, π]，所求单调递减区间为 [(π)/(6), (2π)/(3)]。
解析：（1）直接利用周期公式 T = (2π)/(ω) 计算。
（2）余弦函数 y=cos u 的单调递减区间为 [2kπ, 2kπ+π] (k ∈ ℤ)。令 u=2x-(π)/(3)，解不等式组后需结合给定区间 [0, π] 取交集。易错点：解不等式时忽略 k 的取值，或未与定义域 [0, π] 取交集。
6解答题
已知椭圆 C: (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 (a > b > 0) 的离心率为 (√(3))/(2)，且过点 (2, 1)。
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l 过点 M(1, 0) 且与椭圆 C 交于 A, B 两点，求 △ AOB (O 为原点) 面积的最大值。
答案：（1）由离心率 e = (c)/(a) = (√(3))/(2)，得 c² = (3)/(4)a²。
又 a² = b² + c²，故 b² = a² - (3)/(4)a² = (1)/(4)a²，即 a² = 4b²。
椭圆过点 (2, 1)，代入方程得 (4)/(4b²) + (1)/(b²) = 1，即 (1)/(b²) + (1)/(b²) = 1，解得 b² = 2，a² = 8。
故椭圆方程为 (x²)/(8) + (y²)/(2) = 1。
（2）当直线 l 斜率存在时，设 l: x = my + 1，A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)。
联立 x = my + 1 ； (x²)/(8) + (y²)/(2) = 1 ，消 x 得 (m² + 4)y² + 2my - 7 = 0。
Δ = (2m)² + 28(m²+4) > 0，y₁ + y₂ = (-2m)/(m²+4)，y_1y₂ = (-7)/(m²+4)。
S_△ AOB = (1)/(2) |OM| |y₁ - y₂| = (1)/(2) × 1 × √((y₁+y₂)² - 4y_1y₂) = (1)/(2) √((4m²)/((m²+4)²) + (28)/(m²+4)) = (1)/(2) √((32m² + 112)/((m²+4)²)) = (√(2))/(2) √((4(m²+4) + 64)/((m²+4)²)) = (√(2))/(2) √((4)/(m²+4) + (64)/((m²+4)²))。
令 t = (1)/(m²+4) ∈ (0, (1)/(4)]，则 S = (√(2))/(2) √(4t + 64t²) = (√(2))/(2) √(64(t + (1)/(16))² - (1)/(4))。
当 t = (1)/(4)，即 m=0 时，S 取最大值 (√(2))/(2) × √(1+4) = (√(10))/(2)。
当直线 l 斜率不存在时，x=1，代入椭圆方程得 y = ± (√(14))/(2)，S = (1)/(2) × 1 × √(14) = (√(14))/(2) > (√(10))/(2)。
综上，△ AOB 面积的最大值为 (√(14))/(2)。
解析：（1）根据离心率和点坐标建立方程组求解。
（2）设直线方程时，采用 x=my+1 的形式可以避免讨论斜率不存在的情况。联立方程后，利用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，通过换元和函数单调性求最值。易错点：计算面积时漏乘 |OM|；换元后定义域判断错误；未比较斜率存在与不存在两种情况。
7解答题
已知数列 {a_n} 是等比数列，a₁ = 2，且 a₂, a₃+1, a₄ 成等差数列。
（1）求数列 {a_n} 的通项公式；
（2）设 b_n = n · a_n，求数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：（1）设等比数列 {a_n} 的公比为 q，则 a₂ = 2q，a₃ = 2q²，a₄ = 2q³。
由 a₂, a₃+1, a₄ 成等差数列，得 2(a₃+1) = a₂ + a₄，即 2(2q²+1) = 2q + 2q³。
整理得 2q³ - 4q² + 2q - 2 = 0，即 q³ - 2q² + q - 1 = 0。
观察得 q=1 是根，故 (q-1)(q² - q + 1) = 0。
因为 q² - q + 1 = 0 无实数根，所以 q=1。
因此数列 {a_n} 的通项公式为 a_n = 2 (n ∈ ℕ^*)。
（2）由（1）知 a_n = 2，故 b_n = 2n。
则 T_n = 2(1+2+⋯+n) = 2 × (n(n+1))/(2) = n(n+1)。
解析：（1）利用等差中项条件建立关于公比 q 的方程。解三次方程时，可先试根，再因式分解。易错点：方程化简错误；未考虑 q=1 的特殊情况。
（2）若 q ≠ 1，则 b_n = n · qⁿ-1，需用错位相减法求和。本题 q=1 使计算简化。易错点：在 q=1 时仍套用错位相减法公式。
8解答题
已知函数 f(x) = e^x - ax - 1 (a ∈ ℝ)。
（1）当 a=1 时，求 f(x) 在 x=0 处的切线方程；
（2）讨论 f(x) 的单调性。
答案：（1）当 a=1 时，f(x) = e^x - x - 1，则 f'(x) = e^x - 1。
f'(0) = e⁰ - 1 = 0，f(0) = e⁰ - 0 - 1 = 0。
故切线方程为 y - 0 = 0(x - 0)，即 y = 0。
（2）f'(x) = e^x - a。
① 当 a ≤ 0 时，f'(x) > 0 恒成立，f(x) 在 ℝ 上单调递增。
② 当 a > 0 时，令 f'(x) = 0，得 x = ln a。
当 x < ln a 时，f'(x) < 0，f(x) 单调递减；
当 x > ln a 时，f'(x) > 0，f(x) 单调递增。
综上，当 a ≤ 0 时，f(x) 在 ℝ 上单调递增；
当 a > 0 时，f(x) 在 (-∞, ln a) 上单调递减，在 (ln a, +∞) 上单调递增。
解析：（1）求导后代入 x=0 计算斜率，利用点斜式写出切线方程。
（2）求导后，对参数 a 进行分类讨论。当 a>0 时，导数零点 x=ln a 是单调性变化的临界点。易错点：分类讨论不完整（如忽略 a ≤ 0 的情况）；对 a>0 时，导数零点与单调区间对应关系表述不清。