重庆·初三·数学·中考

答案：B

答案：B

答案：A

答案：3

答案：解：原式 = 2√3 + (2 - √3) - 2 = 2√3 + 2 - √3 - 2 = √3。

答案：解：∵ 方程有两个实数根， ∴ 该方程为一元二次方程，且判别式Δ≥0。 ∴ m - 1 ≠ 0，即 m ≠ 1。 Δ = (2m)² - 4(m-1)(m+3) = 4m² - 4(m² + 2m - 3) = 4m² - 4m² - 8m + 12 = -8m + 12。 由Δ≥0，得 -8m + 12 ≥ 0，解得 m ≤ 3/2。 综上，m的取值范围是 m ≤ 3/2 且 m ≠ 1。

答案：解：（1）∵ 抛物线经过点 A(-1,0), B(3,0)， ∴ 可设抛物线解析式为 y = a(x+1)(x-3)。 又∵ 抛物线经过点 C(0,-3)， ∴ -3 = a(0+1)(0-3) = -3a，解得 a = 1。 ∴ 抛物线的解析式为 y = (x+1)(x-3) = x² - 2x - 3。 （2）由（1）知，A(-1,0), B(3,0)，∴ AB = 3 - (-1) = 4。 设点P的坐标为 (m, m² - 2m - 3)，且 m > 0, m² - 2m - 3 < 0。 △ABP的底边AB在x轴上，其长度为4，高为点P纵坐标的绝对值，即 |m² - 2m - 3|。 ∵ 点P在第四象限，∴ m² - 2m - 3 < 0，∴ 高 = -(m² - 2m - 3) = -m² + 2m + 3。 ∴ S△ABP = ½ × 4 × (-m² + 2m + 3) = -2m² + 4m + 6 = -2(m-1)² + 8。 ∵ -2 < 0，∴ 当 m = 1 时，S△ABP取得最大值，最大值为8。 此时点P坐标为(1, -4)，符合在第四象限的条件。 ∴ △ABP面积的最大值为8。

答案：解：（1）证明：∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。 在Rt△ACB中，OD⊥BC， ∴ OD // AC（垂直于同一条直线的两条直线平行）。 又∵ O是AB的中点， ∴ D是BC的中点（过三角形一边中点平行于另一边的直线必平分第三边）， 即 OD是△ABC的中位线。 ∴ OD = ½AC。 在Rt△AOD中，由勾股定理得 AD² = AO² + OD²。 而 AO = ½AB，且 AB² = AC² + BC² = 64 + 36 = 100， ∴ AB = 10，AO = 5。 又 OD = ½AC = 4， ∴ AD² = 5² + 4² = 25 + 16 = 41。 但 AC = 8，AC² = 64，41 ≠ 64，故 AD ≠ AC。 （此处发现原推导有误，需重新寻找正确证明思路） 重新证明：连接OC。 ∵ OA = OB，CD = DB（由OD⊥BC，D为垂足，在等腰△OBC中，OD也是底边BC上的中线）， ∴ OD是△ABC的中位线，∴ OD // AC，OD = ½AC。 在⊙O中，OA = OC = 半径， ∴ ∠OAC = ∠OCA。 ∵ OD // AC，∴ ∠AOD = ∠OAC，∠DOC = ∠OCA。 ∴ ∠AOD = ∠DOC。 在△AOD和△COD中， OA = OC，∠AOD = ∠COD，OD = OD， ∴ △AOD ≅ △COD (SAS)， ∴ AD = CD。 又 CD = DB，∴ AD = DB。 但 DB 与 AC 不一定相等，原结论AD=AC不成立，需修正结论。 （2）解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8， 由勾股定理得 AB = √(AC² + BC²) = √(64+36) = √100 = 10。 ∴ ⊙O的半径为 AB/2 = 5。