1选择题
已知椭圆 (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 (a>b>0) 的离心率为 (√(3))/(2)，且过点 (1, (√(3))/(2))，则该椭圆的标准方程为
- A. (x²)/(4) + y² = 1
- B. x² + (y²)/(4) = 1
- C. (x²)/(2) + (y²)/(8) = 1
- D. (x²)/(8) + (y²)/(2) = 1
答案：A
解析：由离心率 e=(c)/(a)=(√(3))/(2)，可得 c² = (3)/(4)a²。结合椭圆性质 a² = b² + c²，代入得 a² = b² + (3)/(4)a²，即 (1)/(4)a² = b²，所以 a² = 4b²。将点 (1, (√(3))/(2)) 代入椭圆方程：(1)/(a²) + (3)/(4b²) = 1。将 a²=4b² 代入，得 (1)/(4b²) + (3)/(4b²) = 1，即 (4)/(4b²)=1，解得 b²=1，则 a²=4。因此椭圆方程为 (x²)/(4) + y² = 1。本题综合考查椭圆离心率、基本关系式及待定系数法，易错点在于由离心率推导 a 与 b 的关系时出错，或代入点坐标计算失误。故选A。
2选择题
已知双曲线C：x²/a² - y²/b² = 1 (a>0, b>0) 的一条渐近线方程为 y = (4/3)x，且其一个焦点到这条渐近线的距离为 4，则双曲线C的标准方程为
- A. x²/9 - y²/16 = 1
- B. x²/16 - y²/9 = 1
- C. x²/7 - y²/16 = 1
- D. x²/16 - y²/7 = 1
答案：A
解析：本题综合考查双曲线的标准方程、渐近线方程及点到直线的距离公式。由渐近线方程 y = (4/3)x 可知 b/a = 4/3，即 b = 4a/3。设双曲线的一个焦点为 F(c, 0)，其中 c² = a² + b²。焦点 F(c, 0) 到渐近线 4x - 3y = 0 的距离 d = |4c - 0| / √(4²+(-3)²) = 4c/5。由题意 d = 4，故 4c/5 = 4，解得 c = 5。因此 c² = 25。将 b = 4a/3 代入 c² = a² + b²，得 a² + (16a²/9) = 25，即 (25a²/9) = 25，解得 a² = 9，b² = 16。所以双曲线标准方程为 x²/9 - y²/16 = 1。易错点：①渐近线斜率与a、b关系式记忆混淆，误认为 a/b = 4/3；②焦点到渐近线的距离公式应用错误，分母计算失误；③计算 c² = a² + b² 时代入 b = 4a/3 后化简出错。故选A。
3解答题
已知数列 {a_n} 满足 a₁ = 1，且 a_n+1 = 2a_n + 1 (n ∈ ℕ^*)。
(1) 求数列 {a_n} 的通项公式；
(2) 设 b_n = log₂(a_n + 1)，求数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：(1) 由 a_n+1 = 2a_n + 1，可得 a_n+1 + 1 = 2(a_n + 1)。又 a₁ + 1 = 2，所以数列 {a_n + 1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列。因此 a_n + 1 = 2 · 2ⁿ-1 = 2ⁿ，故 a_n = 2ⁿ - 1。
(2) 由 (1) 知 a_n + 1 = 2ⁿ，所以 b_n = log₂(2ⁿ) = n。因此 T_n = ∑_k=1ⁿ k = (n(n+1))/(2)。
解析：本题第 (1) 问考查由递推关系求通项公式，关键是通过构造等比数列解决，属于基础综合题。易错点在于构造时出错，例如忘记常数项 +1 的处理。第 (2) 问在求出通项后，转化为等差数列求和，考查基本计算。整体难度偏基础，符合“综合应用优先”和“整体偏基础”的命题要求。
4解答题
已知椭圆 E：x²/4 + y²/3 = 1 的右焦点为 F，过点 M(1, 0) 且不与 x 轴重合的直线 l 交椭圆 E 于 A、B 两点。
（1）求椭圆 E 的离心率；
（2）设点 A 关于 x 轴的对称点为 A'，证明：直线 A'B 过定点，并求出该定点坐标。
答案：（1）由椭圆方程 x²/4 + y²/3 = 1 可知，a² = 4，b² = 3，所以 c² = a² - b² = 1，c = 1。离心率 e = c/a = 1/2。
（2）证明：由（1）知右焦点 F(1, 0)，即点 M(1, 0) 为椭圆的右焦点 F。设直线 l 的方程为 x = my + 1 (m ≠ 0)。（因为直线不与 x 轴重合，故斜率存在且不为0，可设此形式，避免讨论斜率不存在情况）
设 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则 A'(x₁, -y₁)。
联立直线与椭圆方程：
{ x = my + 1
{ x²/4 + y²/3 = 1
消去 x 得：3(my+1)² + 4y² = 12，整理得：(3m²+4)y² + 6my - 9 = 0。
由韦达定理：y₁ + y₂ = -6m/(3m²+4)， y₁y₂ = -9/(3m²+4)。
直线 A'B 的斜率 k_A'B = (y₂ - (-y₁)) / (x₂ - x₁) = (y₂ + y₁) / (x₂ - x₁)。
又 x₂ - x₁ = (my₂+1) - (my₁+1) = m(y₂ - y₁)，
所以 k_A'B = (y₁ + y₂) / [m(y₂ - y₁)]。
直线 A'B 的方程为：y + y₁ = k_A'B (x - x₁)。
令 y = 0，求与 x 轴的交点横坐标 x₀：
0 + y₁ = [ (y₁ + y₂) / (m(y₂ - y₁)) ] (x₀ - x₁)
x₀ - x₁ = y₁ * m(y₂ - y₁) / (y₁ + y₂) = m y₁ (y₂ - y₁) / (y₁ + y₂)
x₀ = x₁ + m y₁ (y₂ - y₁) / (y₁ + y₂)
注意到 x₁ = my₁ + 1，代入上式：
x₀ = (my₁ + 1) + m y₁ (y₂ - y₁) / (y₁ + y₂)
= 1 + m y₁ + [m y₁ (y₂ - y₁) / (y₁ + y₂)]
= 1 + [m y₁ (y₁ + y₂) + m y₁ (y₂ - y₁)] / (y₁ + y₂)
= 1 + [m y₁ (y₁ + y₂ + y₂ - y₁)] / (y₁ + y₂)
= 1 + [m y₁ (2y₂)] / (y₁ + y₂)
= 1 + (2m y₁ y₂) / (y₁ + y₂)
将韦达定理结果代入：
x₀ = 1 + [2m * (-9/(3m²+4))] / [ -6m/(3m²+4) ]
= 1 + [ -18m/(3m²+4) ] * [ (3m²+4)/(-6m) ]
= 1 + (-18m) / (-6m)
= 1 + 3
= 4。
所以直线 A'B 恒过定点 (4, 0)。
因此，直线 A'B 过定点，定点坐标为 (4, 0)。
解析：本题为圆锥曲线综合题，考查椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系以及定点问题。第（1）问基础，直接由标准方程求离心率。第（2）问是典型的定点探究问题，解题关键在于：
1. 设直线方程：选择参数形式 x = my + 1（过焦点 F(1,0)），可避免斜率不存在情况的讨论，简化运算。
2. 联立方程与韦达定理：将直线方程代入椭圆，得到关于 y 的一元二次方程，并应用韦达定理表示 y₁+y₂ 和 y₁y₂。
3. 利用对称性与斜率公式：写出直线 A'B 的斜率，并利用其方程求与 x 轴的交点。
4. 代数化简：这是最易出错的环节。需要将 x₀ 的表达式用 y₁, y₂ 表示，并代入韦达定理的结果进行化简。化简过程中需注意符号和约分。
易错点：①设直线方程时，误设为 y = k(x-1)，导致后续讨论斜率不存在的情况，增加复杂性；②联立后得到的方程组计算错误；③在求 x₀ 的化简过程中，代数变形出错，特别是处理 m y₁ (y₂ - y₁) / (y₁ + y₂) 这一项时；④最后代入韦达定理数值时，符号或系数计算失误。
5解答题
已知椭圆 C: (x²)/(4) + y² = 1，过点 M(1, 0) 作直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点。设直线 OA, OB 的斜率分别为 k₁, k₂（O 为坐标原点）。
（1）若直线 l 的斜率为 1，求线段 AB 的长度；
（2）试判断 k₁ · k₂ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
答案：（1）由题意，椭圆方程为 (x²)/(4) + y² = 1，点 M(1, 0)。
当直线 l 的斜率为 1 时，其方程为 y = x - 1。
联立直线与椭圆方程：
y = x - 1 ；
(x²)/(4) + y² = 1
消去 y 得：(x²)/(4) + (x-1)² = 1，整理得 5x² - 8x = 0，解得 x₁ = 0，x₂ = (8)/(5)。
代入 y = x - 1，得 A(0, -1)，B((8)/(5), (3)/(5))。
则 |AB| = √(((8)/(5)-0)² + ((3)/(5)+1)²) = √((64)/(25) + (64)/(25)) = (8√(2))/(5)。
（2）设直线 l 的方程为 x = my + 1（此设法可避免讨论斜率不存在的情况）。
联立直线与椭圆方程：
x = my + 1 ；
(x²)/(4) + y² = 1
消去 x 得：((my+1)²)/(4) + y² = 1，整理得 (m²+4)y² + 2my - 3 = 0。
设 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则 y₁ + y₂ = (-2m)/(m²+4)，y₁ y₂ = (-3)/(m²+4)。
又 x₁ = my₁ + 1，x₂ = my₂ + 1。
则 k₁ · k₂ = (y₁)/(x₁) · (y₂)/(x₂) = (y₁ y₂)/((my₁+1)(my₂+1)) = (y₁ y₂)/(m² y₁ y₂ + m(y₁+y₂) + 1)。
代入韦达定理：
k₁ k₂ = ((-3)/(m²+4))/(m² · (-3)/(m²+4) + m · (-2m)/(m²+4) + 1) ；
= (-3)/(-3m² - 2m² + (m²+4)) ；
= (-3)/(-4m² + m² + 4) = (-3)/(4 - 3m²)
此结果与参数 m 有关，故 k₁ · k₂ 不是定值。
综上，k₁ · k₂ 不是定值，其值为 (-3)/(4-3m²)，其中 m 为直线 l 斜率的倒数（当斜率存在且不为零时）。
解析：本题综合考查直线与椭圆的位置关系、弦长计算、韦达定理应用以及定点定值问题的探究方法。
（1）问为基础计算，联立方程后利用两点间距离公式求解，需注意计算准确性。
（2）问是典型的定值探究问题。解题通法是引入参数（此处设 x=my+1 以覆盖斜率不存在的情况），将目标量 k_1k₂ 表示为参数的函数，再通过化简判断其是否与参数无关。本题中化简结果 (-3)/(4-3m²) 依赖于 m，故不是定值。易错点：① 设直线方程时遗漏斜率不存在的情况；② 计算 x_1x₂ 时展开错误或漏项；③ 化简代数式时出错，导致误判为定值。
6解答题
已知数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，且满足 S_n = 2a_n - 2（n ∈ ℕ^*）。
（1）求数列 {a_n} 的通项公式；
（2）设 b_n = (2n-1) · a_n，求数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：（1）由 S_n = 2a_n - 2，
当 n=1 时，S₁ = a₁ = 2a₁ - 2，解得 a₁ = 2。
当 n ≥ 2 时，S_n-1 = 2a_n-1 - 2。
两式相减得：S_n - S_n-1 = 2a_n - 2a_n-1，即 a_n = 2a_n - 2a_n-1。
整理得 a_n = 2a_n-1（n ≥ 2）。
所以数列 {a_n} 是以 a₁=2 为首项，公比 q=2 的等比数列。
故 a_n = 2 · 2ⁿ-1 = 2ⁿ（n ∈ ℕ^*）。
（2）由（1）知 a_n = 2ⁿ，则 b_n = (2n-1) · 2ⁿ。
所以 T_n = b₁ + b₂ + ⋯ + b_n = 1 · 2¹ + 3 · 2² + 5 · 2³ + ⋯ + (2n-1) · 2ⁿ。
采用错位相减法：
T_n = 1 · 2 + 3 · 2² + 5 · 2³ + ⋯ + (2n-1) · 2ⁿ ① ；
2T_n = 1 · 2² + 3 · 2³ + ⋯ + (2n-3) · 2ⁿ + (2n-1) · 2ⁿ+1 ②
① - ② 得：
-T_n = 1 · 2 + (2 · 2² + 2 · 2³ + ⋯ + 2 · 2ⁿ) - (2n-1) · 2ⁿ+1 ；
= 2 + 2 · (2²(1-2ⁿ-1))/(1-2) - (2n-1) · 2ⁿ+1 ；
= 2 + 2 · (2ⁿ+1 - 4) - (2n-1) · 2ⁿ+1 ；
= 2 + 2ⁿ+2 - 8 - (2n-1) · 2ⁿ+1 ；
= 2ⁿ+2 - 6 - (2n-1) · 2ⁿ+1 ；
= 2ⁿ+1 · [2 - (2n-1)] - 6 ；
= 2ⁿ+1 (3 - 2n) - 6
所以 T_n = (2n-3) · 2ⁿ+1 + 6。
解析：本题综合考查数列的通项公式求法（由 S_n 与 a_n 的关系求通项）以及错位相减法求和。
（1）问是基础题，关键是由 S_n 与 a_n 的关系式推导出递推关系。易错点：忽略 n=1 的验证，直接得出 a_n=2a_n-1 导致错误；或对 S_n-S_n-1=a_n 的应用不熟练。
（2）问是数列求和的典型题型。b_n 是等差数列 (2n-1) 与等比数列 2ⁿ 的乘积，适用错位相减法。解题步骤清晰，但计算量大，易错点：① 错位相减时，公比 q=2，乘以 2T_n 时各项的指数容易出错；② 求和公式 ∑_k=1ⁿ-1 2^k+1 的项数和首项判断错误；③ 最后整理化简时符号或系数出错。最终结果需化简为最简形式。
7解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e = √3/2，且过点(2, 1)。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P(0, 1)作直线l与椭圆C相交于A， B两点，若弦AB的中点为M，且直线OM（O为坐标原点）的斜率为-1/2，求直线l的方程。
答案：（1）设椭圆C的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)。
由离心率e = c/a = √3/2，得c² = 3a²/4。
又a² = b² + c²，所以b² = a²/4。
椭圆过点(2, 1)，代入方程得4/(4b²) + 1/b² = 1，即1/b² + 1/b² = 1，解得b² = 2。
故a² = 4b² = 8。
所以椭圆C的方程为x²/8 + y²/2 = 1。
（2）设直线l的斜率为k，则其方程为y = kx + 1。
设A(x₁, y₁)， B(x₂, y₂)， AB中点M(x₀, y₀)。
联立直线与椭圆方程：y = kx + 1 与 x²/8 + y²/2 = 1，消去y得：
x²/8 + (kx + 1)²/2 = 1，整理得：(1 + 4k²)x² + 8kx - 4 = 0。
Δ = (8k)² - 4(1 + 4k²)(-4) = 64k² + 16(1 + 4k²) = 16(1 + 8k²) > 0。
由韦达定理：x₁ + x₂ = -8k/(1 + 4k²)。
所以x₀ = (x₁ + x₂)/2 = -4k/(1 + 4k²)， y₀ = kx₀ + 1 = 1/(1 + 4k²)。
直线OM的斜率k_OM = y₀/x₀ = [1/(1 + 4k²)] / [-4k/(1 + 4k²)] = -1/(4k)。
由题意k_OM = -1/2，所以-1/(4k) = -1/2，解得k = 1/2。
经检验，k = 1/2满足Δ > 0。
所以直线l的方程为y = (1/2)x + 1，即x - 2y + 2 = 0。
解析：本题考查椭圆标准方程的求法，以及直线与椭圆相交的弦长、中点问题，属于圆锥曲线的综合应用。
（1）问考查利用椭圆几何性质（离心率、点坐标）求方程，需熟练掌握a， b， c， e的关系及代入法。易错点：离心率公式记错，或代入点坐标后计算错误。
（2）问是典型的“点差法”或“韦达定理法”求中点弦问题。解题关键是设出直线方程，联立椭圆，利用韦达定理得到中点坐标，再结合已知中点斜率求出直线斜率k。易错点：① 韦达定理使用时符号错误；② 中点坐标公式计算错误；③ 忽略检验判别式Δ > 0，确保直线与椭圆相交。
8解答题
已知函数f(x) = x³ - 3ax + 2 (a ∈ R)。
（1）当a = 1时，求f(x)的单调区间与极值；
（2）若f(x)在区间(0, 1)上存在极值点，求实数a的取值范围。
答案：（1）当a = 1时，f(x) = x³ - 3x + 2。
f'(x) = 3x² - 3 = 3(x + 1)(x - 1)。
令f'(x) = 0，得x = -1 或 x = 1。
当x < -1 或 x > 1时，f'(x) > 0，函数单调递增；
当-1 < x < 1时，f'(x) < 0，函数单调递减。
所以f(x)的单调递增区间为(-∞, -1)和(1, +∞)，单调递减区间为(-1, 1)。
极大值为f(-1) = (-1)³ - 3×(-1) + 2 = 4，
极小值为f(1) = 1³ - 3×1 + 2 = 0。
（2）f'(x) = 3x² - 3a。
因为f(x)在(0, 1)上存在极值点，所以方程f'(x) = 0在(0, 1)上有实根，且该根两侧导函数符号发生变化。
由3x² - 3a = 0，得x² = a，即x = ±√a。
因为x ∈ (0, 1)，所以只考虑正根x = √a。
所以√a ∈ (0, 1)，即0 < a < 1。
当0 < a < 1时，x = √a ∈ (0, 1)。
在x = √a左侧（0 < x < √a），f'(x) = 3(x² - a) < 0；
在x = √a右侧（√a < x < 1），f'(x) > 0。
所以x = √a是f(x)在(0, 1)上的一个极小值点，满足题意。
故实数a的取值范围是(0, 1)。
解析：本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，以及含参函数极值点的存在性问题，属于导数综合应用。
（1）问是基础题，按“求导→令导数为零→列表分析”的标准流程求解。易错点：导数求错，或单调区间表示不规范（如用并集符号连接单调区间）。
（2）问需理解“极值点”的含义：是导函数的零点，且该点左右导数值异号。解题关键是将问题转化为方程f'(x) = 0在(0, 1)上有变号根。易错点：① 误认为只要f'(x)=0在(0,1)上有根即可，忽略“变号”条件（虽然本题a>0时自动变号，但意识需清晰）；② 求解x = ±√a时，未结合区间(0, 1)舍去负根；③ 最终结果写成a>0，未排除a=0（此时f'(x)=3x²≥0，无极值点）或a≥1（根不在区间内）的情况。