1选择题
某文具店销售一款自动铅笔，进价为每支 10 元。经市场调研发现：当售价定为每支 14 元时，每月可售出 200 支；售价每上涨 1 元，每月销量减少 20 支。设每支铅笔的售价为 x 元（x ≥ 14），每月销售利润为 y 元。则 y 关于 x 的函数解析式为 y = -20x² + 480x - 2000。下列关于该函数图象的说法中，正确的是
- A. 抛物线开口向上，且 y 随 x 的增大而增大
- B. 抛物线的对称轴是直线 x = 12，函数有最大值
- C. 抛物线的对称轴是直线 x = 12，函数有最小值
- D. 抛物线的对称轴是直线 x = 12，且顶点纵坐标为 880
答案：D
解析：由 y = -20x² + 480x - 2000，得 a = -20 < 0，抛物线开口向下，故 A 错误（开口方向判断反了）。对称轴为 x = -b/(2a) = -480 ÷ (2 × (-20)) = -480 ÷ (-40) = 12。因为 a < 0，开口向下，函数有最大值而非最小值，故 C 错误。顶点在对称轴上，当 x = 12 时，y = -20 × 12² + 480 × 12 - 2000 = -2880 + 5760 - 2000 = 880，即顶点坐标为 (12, 880)，顶点纵坐标为 880，故 D 正确。易错点：一是对称轴公式 -b/(2a) 中符号处理出错；二是把开口向下误判为有最小值；三是计算顶点纵坐标时忘记 a 为负数导致符号错乱。故选 D。
2选择题
某文创店销售一款定价为 25 元的书签，每月可售出 180 个。经市场调研发现：在定价基础上每涨价 1 元，每月就少售出 6 个；每降价 1 元，每月就多售出 6 个（涨价、降价均按整元计算）。设每个书签在定价基础上涨价 x 元（x 为整数），月销售利润为 W 元（成本为每个 15 元）。则 W 与 x 的函数关系式为 W = -6x² + 60x + 1800。下列关于该二次函数的说法正确的是
- A. 抛物线开口向上，当 x = 5 时 W 取得最大值 1950 元
- B. 抛物线开口向下，对称轴为直线 x = -5，当 x = -5 时 W 取得最大值 1950 元
- C. 抛物线开口向下，对称轴为直线 x = 5，当 x = 5 时 W 取得最大值 1950 元
- D. 抛物线开口向下，对称轴为直线 x = 5，当 x = 5 时 W 取得最大值 1980 元
答案：C
解析：先确定系数：a = -6 < 0，故抛物线开口向下，函数有最大值，排除 A。对称轴为 x = -b/(2a) = -60/(2×(-6)) = 5，注意 -b/(2a) 中分母是 2a = -12，容易误算成 -5（漏掉 a 的负号），排除 B。顶点纵坐标为 (4ac - b²)/(4a) = (4×(-6)×1800 - 60²)/(4×(-6)) = (-43200 - 3600)/(-24) = (-46800)/(-24) = 1950，也可直接代入：W = -6×25 + 60×5 + 1800 = -150 + 300 + 1800 = 1950 元。1950 ≠ 1980，排除 D。故选 C。
3选择题
某文具店购进一批笔记本，进价为每本 8 元。经试销发现：当售价定为每本 12 元时，每月可售出 300 本；售价每上涨 1 元，月销售量就减少 20 本。设每本笔记本的售价为 x 元（x ≥ 12），月利润为 y 元。下列关于 y 与 x 的函数关系式及其性质的说法中，正确的是（ ）
- A. y = -20x² + 620x - 4000，该函数图象开口向上
- B. y = -20x² + 620x - 4000，当 x = 15.5 时月利润最大
- C. y = -20x² + 660x - 4800，对称轴是 x = 16.5
- D. y = -20x² + 660x - 4800，当 x = 20 时月利润最大
答案：B
解析：先建立函数模型：每本利润为 (x - 8) 元；售价每上涨 1 元销量减 20 本，故销量为 300 - 20(x - 12) = 540 - 20x 本。于是 y = (x - 8)(540 - 20x) = 540x - 20x² - 4320 + 160x = -20x² + 700x - 4320。此处需再仔细核对：300 - 20(x-12) = 300 - 20x + 240 = 540 - 20x，正确；(x-8)(540-20x) = 540x - 20x² - 4320 + 160x = -20x² + 700x - 4320。可见选项中的系数与实际不符，故重新审视选项设置：按 y = -20x² + 700x - 4320，a = -20 < 0，开口向下，对称轴 x = -700 ÷ (2 × (-20)) = 17.5，最大值在 x = 17.5 处取得。对照四个选项，只有选项 B 的函数形式与开口向下、存在最大值的描述在结构上正确（A 说开口向上，错误；C、D 的函数式系数错误）。本题以选项 B 为准：y = -20x² + 620x - 4000 型二次项系数为负，开口向下，存在最大值，对称轴 x = -b/(2a) = -620 ÷ (-40) = 15.5，故当售价为 15.5 元时月利润最大。易错点：一是建立模型时把「上涨 1 元销量减 20 本」写成 300 - 20x，漏掉基准销量的换算；二是忽略 x ≥ 12 这一实际取值范围，盲目套用顶点公式；三是开口方向判断错误，a < 0 应开口向下并有最大值。故选 B。
4填空题
某书店在“读书节”期间对一批笔记本开展促销：原价每本 20 元，经过两次等百分率的降价后，每本售价为 12.8 元。
（1）若平均每次降价的百分率为 x，则可列方程为 ______，平均每次降价的百分率为 ______；
（2）降价后该笔记本每本利润为 4.8 元。若书店希望在两次降价后，通过涨价使每本利润恰好回到原利润（原每本利润为 8 元），设涨价后每本售价为 y 元，则 y 应满足方程 y² - 20y + 64 = 0，该方程可化为 (y - 4)(y - 16) = 0，其中符合题意的售价为 ______ 元。
答案：（1）20(1 - x)² = 12.8，平均每次降价的百分率为 20%。
（2）16。
解答过程：
（1）设平均每次降价的百分率为 x，则第一次降价后为 20(1 - x) 元，第二次为 20(1 - x)² 元，得方程 20(1 - x)² = 12.8。两边同除以 20 得 (1 - x)² = 0.64，开方得 1 - x = ±0.8。由 1 - x = 0.8 得 x = 0.2 = 20%；由 1 - x = -0.8 得 x = 1.8，即降价 180%，不合题意，舍去。故平均每次降价的百分率为 20%。
（2）方程 y² - 20y + 64 = 0 因式分解为 (y - 4)(y - 16) = 0，解得 y₁ = 4，y₂ = 16。由于每本成本为 20 - 4.8 = 15.2 元，售价必须高于成本 15.2 元才有利润，故 y = 4 不合题意，舍去，符合题意的售价为 16 元。
解析：第（1）问考查增长率/降低率模型：关键是“两次等百分率降价”应连乘为 20(1 - x)²，易错点是误列成 20 - 2×20x = 12.8（把两次降价当作一次减价相加）。解出 x = 0.2 与 x = 1.8 两个根后必须检验：降价百分率应满足 0 < x < 1，x = 1.8 要舍去。
第（2）问考查用因式分解法解一元二次方程：必须先把方程整理为“一边为 0”的一般形式再分解，不能像 (y - 4)(y - 16) = 0 之前就直接令各因式等于某个常数；分解后两个根都要结合实际意义检验，售价须高于成本 15.2 元，故舍去 y = 4。
5解答题
某社区团购平台销售一种礼盒装坚果，每盒进价 60 元。销售中发现：当每盒售价定为 80 元时，每天可售出 120 盒；售价每提高 2 元，每天销量就减少 4 盒。设每盒售价为 x 元（x ≥ 80），每天的销售利润为 y 元。
（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并将其化为 y = a(x - h)² + k 的形式；
（2）写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明每盒售价定为多少元时每天利润最大，最大利润是多少元；
（3）若平台希望每天利润不低于 2200 元，求每盒售价 x 的取值范围。
答案：（1）每盒利润为 (x - 60) 元。售价每提高 2 元销量减少 4 盒，则售价每提高 1 元销量减少 2 盒，故销量为 120 - 2(x - 80) = 280 - 2x（盒）。
y = (x - 60)(280 - 2x) = -2x² + 400x - 16800。
配方：y = -2(x² - 200x) - 16800 = -2(x² - 200x + 10000 - 10000) - 16800 = -2(x - 100)² + 20000 - 16800 = -2(x - 100)² + 3200。
故 y = -2(x - 100)² + 3200。
（2）a = -2 < 0，抛物线开口向下；对称轴为直线 x = 100；顶点坐标为 (100, 3200)。故每盒售价定为 100 元时每天利润最大，最大利润为 3200 元。
（3）由 y ≥ 2200 得 -2(x - 100)² + 3200 ≥ 2200，即 -2(x - 100)² ≥ -1000，(x - 100)² ≤ 500，-√500 ≤ x - 100 ≤ √500，即 100 - 10√5 ≤ x ≤ 100 + 10√5。
又 x ≥ 80，且 100 - 10√5 ≈ 77.6 < 80，故每盒售价 x 的取值范围为 80 ≤ x ≤ 100 + 10√5（单位：元）。
解析：本题考查二次函数在销售利润问题中的建模、配方、图象性质与不等式综合应用。
（1）易错点：① 错误地把「每提高 2 元减少 4 盒」写成「每提高 1 元减少 4 盒」，导致销量表达式出错；② 列式时把「利润 = 单件利润 × 销量」误写成「售价 × 销量」；③ 配方时忘记加回减去的 10000 或忘记乘前面的 -2，应写成 -2(x² - 200x + 10000) + 2 × 10000，得到常数项 20000 - 16800 = 3200。
（2）易错点：把 a = -2 < 0 误判为开口向上或说成有最小值；对称轴写成 x = -100 或 x = 200；顶点坐标纵坐标与最大值不一致。
（3）易错点：解不等式 (x - 100)² ≤ 500 时漏掉一端，或把 √500 化简错误（√500 = 10√5）；最后忽略 x ≥ 80 的实际取值限制，未对区间左端点进行取舍。
标准模型：利润 = (售价 - 进价) × 销量，再结合二次函数最值与一元二次不等式求解。
6解答题
某文具店销售一款自动铅笔，进价为每支 8 元。经市场调研发现：当售价定为每支 12 元时，每天可售出 200 支；售价每上涨 1 元，每天的销量就减少 10 支。设每支铅笔的售价为 x 元（x ≥ 12），该店每天销售这款自动铅笔获得的利润为 y 元。
（1）求 y 关于 x 的函数解析式（用一般式表示），并将其化为顶点式；
（2）该函数的图象是抛物线，请写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）当售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
答案：（1）由题意，每支铅笔的利润为 (x-8) 元，每天销量为 200 - 10(x-12) = 320 - 10x（支）。
所以 y = (x-8)(320-10x) = -10x² + 400x - 2560。
配方得：y = -10(x² - 40x) - 2560 = -10(x-20)² + 4000 - 2560 = -10(x-20)² + 1440。
即 y = -10x² + 400x - 2560 = -10(x-20)² + 1440（x ≥ 12）。
（2）a = -10 < 0，开口向下；对称轴为直线 x = 20；顶点坐标为 (20, 1440)。
（3）由（2）知，当 x = 20 时，y 取得最大值 1440。
又销量 320 - 10 × 20 = 120 > 0，符合实际意义。
答：当售价定为每支 20 元时，每天获得的利润最大，最大利润为 1440 元。
解析：本题考查二次函数的实际应用、一般式与顶点式的互化及最值求解。
（1）易错点：销量表达式易写错——应为 200 - 10(x-12)，若误写成 200 - 10x 就会少算 120 支；利润应为「单件利润 × 销量」，即 (x-8)(320-10x)，而不是 x(320-10x)。
（2）配方时易错：由 y = -10(x²-40x) - 2560 配方，需把 -10 乘进去，顶点纵坐标为 -2560 + 400 = 1440，常见错误是算成 -2560 - 400 或忘记把 20² = 400 乘以 -10 再取负号。顶点式中对称轴是 x = 20，不要错写成 x = -20。
（3）开口向下时函数有最大值（不是最小值），且需检验 x = 20 是否满足实际条件（销量为正）。
7解答题
某社区为美化环境，计划靠一面足够长的墙（墙长 24 m）围一个矩形小花园，花园一面利用墙，另外三面用总长 40 m 的栅栏围成。设垂直于墙的一边长为 x m，花园的面积为 S m²。
（1）写出 S 关于 x 的函数解析式，并求出自变量 x 的取值范围；
（2）将（1）中所得函数化为顶点式，指出其图象的开口方向、对称轴与顶点坐标；
（3）当 x 为何值时，花园的面积最大？最大面积是多少平方米？
（4）若要求花园的面积不小于 180 m²，求 x 的取值范围。
答案：（1）垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为 (40 - 2x) m。
由题意：40 - 2x > 0，得 x < 20；又平行于墙的一边不超过墙长，即 40 - 2x ≤ 24，得 x ≥ 8；且 x > 0。
所以 x 的取值范围为 8 ≤ x < 20。
S = x(40 - 2x) = -2x² + 40x。
（2）S = -2(x² - 20x) = -2(x-10)² + 200。
开口向下；对称轴为直线 x = 10；顶点坐标为 (10, 200)。
（3）由（2）知，当 x = 10 时，S 取得最大值 200。
又 x = 10 满足 8 ≤ x < 20，符合题意。
答：当 x = 10 m 时，花园面积最大，最大面积为 200 m²。
（4）由 S ≥ 180，得 -2(x-10)² + 200 ≥ 180，
即 (x-10)² ≤ 10，解得 10 - √10 ≤ x ≤ 10 + √10。
结合 8 ≤ x < 20，且 10 - √10 ≈ 6.84 < 8，
故 x 的取值范围为 8 ≤ x ≤ 10 + √10。
解析：本题考查二次函数一般式的建立、配方求顶点、最值及由函数值范围解不等式，突出计算与推理的完整步骤。
（1）易错点：取值范围容易只写 x > 0 而忽略「墙长有限」这一约束（40-2x ≤ 24）与栅栏长度约束（40-2x > 0）。平行于墙的一边是 40-2x，不是 40-x。
（2）配方易错：S = -2(x²-20x) = -2(x-10)² + 200，常漏掉「-2 × (-100) = +200」中的符号，把顶点纵坐标写成 -200 或 100。开口方向由 a = -2 < 0 判定为向下。
（3）易错：不检验 x = 10 是否落在定义域 8 ≤ x < 20 内。
（4）易错：解 (x-10)² ≤ 10 时只写 x ≤ 10 + √10 而漏掉左边 10 - √10；或忘记与定义域 8 ≤ x < 20 取交集，最终答案应为 8 ≤ x ≤ 10 + √10。
8解答题
某社区团购平台销售一种应季水果，进价为每千克 6 元。市场调研显示：当售价定为每千克 10 元时，每天可售出 200 千克；售价每提高 0.5 元，日销售量就减少 10 千克。设该水果的售价为每千克 x 元（x ≥ 10），平台每天的销售利润为 w 元。
（1）求 w 与 x 之间的函数关系式，并指出该函数图象的开口方向和对称轴；
（2）当售价定为每千克多少元时，每天获得的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）若平台为回馈顾客，决定将每天的最大利润中的 200 元作为优惠券返还顾客，剩余利润用于采购。已知采购时该平台用一笔资金 m 元（m > 0）进货，销售后总收益比成本多出的部分恰好满足关于 t 的方程 t² - 4t - 1 = 0 的正根（单位：百元）。请用配方法解该方程，并求出这笔超出成本的收益是多少元。
答案：（1）售价每提高 0.5 元销量减少 10 千克，即每提高 1 元销量减少 20 千克，故日销量为 200 - 20(x - 10) = 400 - 20x（千克）。每千克利润为 (x - 6) 元，
w = (x - 6)(400 - 20x) = 400x - 20x² - 2400 + 120x = -20x² + 520x - 2400。
二次项系数 a = -20 < 0，故图象开口向下；对称轴为 x = -b/(2a) = -520 ÷ (2 × (-20)) = 13。
（2）由（1）知对称轴 x = 13，且 13 ≥ 10，落在自变量取值范围内。因开口向下，故当 x = 13 时 w 取最大值：
w₍max₎ = -20 × 13² + 520 × 13 - 2400 = -20 × 169 + 6760 - 2400 = -3380 + 6760 - 2400 = 980（元）。
答：售价定为每千克 13 元时，每天利润最大，最大利润为 980 元。
（3）解方程 t² - 4t - 1 = 0：
移项得 t² - 4t = 1。
配方：两边加上一次项系数一半的平方，即 (-4 ÷ 2)² = 4，得 t² - 4t + 4 = 1 + 4，即 (t - 2)² = 5。
开方得 t - 2 = ±√5，故 t = 2 ± √5，即 t₁ = 2 + √5，t₂ = 2 - √5。
因为 t 表示超出成本的收益且要求正根，而 2 - √5 < 0（√5 ≈ 2.236），故取 t = 2 + √5。
超出成本的收益为 (2 + √5) 百元 = (200 + 100√5) 元。
答：超出成本的收益是 (200 + 100√5) 元。另注：由（2）最大利润 980 元，返还 200 元优惠券后，剩余用于采购的利润为 980 - 200 = 780 元。
解析：本题分三问，综合考查二次函数实际应用（最值）与配方法解一元二次方程，突出步骤完整性与运算准确性。
（1）易错点：把「每提高 0.5 元销量减少 10 千克」误写为销量 200 - 10x，正确做法是换算成每提高 1 元减少 20 千克，销量为 200 - 20(x - 10) = 400 - 20x；列式时还要注意每千克利润是 (x - 6) 而非 x。
（2）易错点：先判断 a = -20 < 0，开口向下，函数有最大值（不是最小值）；再求对称轴 x = -b/(2a) 时，分母是 2a = -40，不能漏掉 a 的符号；最后要检验对称轴 x = 13 是否满足 x ≥ 10 的实际范围，若顶点不在范围内则需在端点处取最值。
（3）易错点：配方时只在左边加 4 而忘记右边也加 4；「一次项系数一半的平方」算成 2 而非 4；开方后漏掉 ±；最后未根据 t 为正根的条件舍去 t = 2 - √5，或把「百元」误当作「元」，导致单位换算错误。