1选择题
班级元旦联欢会前，学习委员小明负责布置一个圆形拱门装饰圈。已知装饰圈所在圆的半径为 13 cm，一根直条彩带 AB 是该圆的一条弦，弦长 AB = 24 cm。小明想在彩带的中点处系一根短绳，把彩带拉向圆心方向固定，则短绳的长度（即圆心 O 到弦 AB 的距离）为
- A. 5 cm
- B. 7 cm
- C. 12 cm
- D. 13 cm
答案：A
解析：本题把垂径定理放进校园布置装饰圈的情境，考查「半径、弦长一半、弦心距」构成直角三角形的模型。
过圆心 O 作 OD ⊥ AB 于 D，连接 OA。由垂径定理，D 为 AB 中点，故 AD = 1/2 × AB = 12 cm。
在 Rt△OAD 中，OA = 13 cm，由勾股定理得 OD = √(OA² - AD²) = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 (cm)。
易错点：① 误把弦长 24 cm 直接代入勾股定理，忘记取一半 12 cm（若如此会算得 √(13²-24²) 无意义）；② 混淆半径、弦长一半与弦心距的角色，误算成 √(12²+13²) 之类；③ 误以为「垂直于弦的直径」中直径必须是题目给出的某条特殊线段，实际上只需过圆心作弦的垂线即可。
故选 A。
2选择题
学校科技社团设计了一种新型节水装置，社团同学记录了该装置连续若干天的日均节水量。设第 x 天的日均节水量为 y 升，经数据分析发现 y 与 x 满足二次函数关系 y = ax²（a 为常数，a ≠ 0）。已知当 x = 3 时，y = 18；当 x = -2 时，函数图象上的点记为 P。现给出下列四个判断：
① a = 2；
② 该抛物线的顶点坐标为 (0, 0)，对称轴是 y 轴；
③ 点 P 的坐标为 (-2, 8)，且点 P 关于 y 轴的对称点也在该抛物线上；
④ 若另有一抛物线 y = -1/2 x²，则它与 y = 2x² 的开口大小相同。
其中正确判断的个数是（ ）
答案：C
解析：逐项判断：
① 由 18 = a×3² = 9a，得 a = 2，正确。
② y = 2x² 的顶点为 (0, 0)，对称轴是 y 轴，正确。
③ x = -2 时 y = 2×(-2)² = 8，点 P 为 (-2, 8)，其关于 y 轴的对称点为 (2, 8)，代入 y = 2x² 得 y = 2×2² = 8，确在抛物线上，正确。
④ y = 2x² 中 |a| = 2，y = -1/2 x² 中 |a| = 1/2，|2| > |1/2|，故 y = 2x² 开口更小，两者开口大小不同，错误。
易错点：误认为「系数越大开口越大」，实际上开口大小由 |a| 决定，|a| 越大开口越小；另外容易忽略 a 的符号只决定开口方向。故正确判断共 3 个的判断④错，①②③正确共 3 个——重新核算：①②③正确，④错误，正确个数为 3 个？不，逐项复核后①②③均正确，④错误，故正确个数为 3 个。此处以最终核算为准：正确的是①②③，共 3 个。
故选C。
3选择题
学校科技社团设计了一个抛物线形拱门模型，其竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）满足关系式 y = -x² + 4x + 5。社团同学想在拱门正下方地面上摆放一排展板，要求展板所在位置的拱门高度不低于 5 m。已知信息：当 y ≥ 5 时，需要解不等式 -x² + 4x + 5 ≥ 5。下列关于方程 -x² + 4x + 5 = 5 的说法正确的是（ ）
- A. 该方程可整理为 x² - 4x = 0，用因式分解法得 x₁ = 0，x₂ = 4
- B. 该方程可整理为 x² - 4x = 0，用公式法得判别式 Δ = 16，两根为 x₁ = 0，x₂ = -4
- C. 该方程可整理为 x² - 4x = 0，判别式 Δ = b² - 4ac = 0，方程有两个相等的实数根
- D. 该方程可整理为 x² - 4x = 0，因 x² - 4x 无法因式分解，只能用配方法求解
答案：A
解析：由 -x² + 4x + 5 = 5，移项得 -x² + 4x = 0，两边同乘 -1 得 x² - 4x = 0。此时 a = 1，b = -4，c = 0。提取公因式 x，得 x(x - 4) = 0，故 x = 0 或 x - 4 = 0，即 x₁ = 0，x₂ = 4，选项 A 正确。易错点：① 移项或乘 -1 时符号出错，把 b 写成 4，从而误得 x₂ = -4（选项 B 错）；② 忘记 c = 0 时判别式 Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4×1×0 = 16 > 0，方程有两个不相等的实数根（选项 C 错）；③ 看到含 x² 与 x 的式子就以为不能因式分解，实际上 x² - 4x = x(x - 4) 可直接分解，因式分解法最简便（选项 D 错）。故选A。
4填空题
学校科技社团准备用一段长 24 m 的围栏围成一个矩形试验苗圃，苗圃的一面利用教学楼的外墙（不需要围栏）。已知垂直于墙面的一边长为 x m，苗圃的面积为 70 m²。
(1) 请根据题意列出关于 x 的一元二次方程：________；
(2) 解这个方程，可得 x = ________（写出全部解，用「或」连接）。
答案：(1) 垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为 (24 - 2x) m，由面积为 70 m² 得：
x(24 - 2x) = 70，整理得 2x² - 24x + 70 = 0，即 x² - 12x + 35 = 0。
(2) 因式分解：x² - 12x + 35 = (x - 5)(x - 7) = 0，所以 x - 5 = 0 或 x - 7 = 0，解得 x₁ = 5，x₂ = 7。
检验：当 x = 5 时，24 - 2x = 14 > 0，符合题意；当 x = 7 时，24 - 2x = 10 > 0，也符合题意。
故答案为：(1) x(24 - 2x) = 70（或 x² - 12x + 35 = 0）；(2) 5 或 7。
解析：本题把一元二次方程放进校园苗圃设计情境，考查列方程与因式分解法求解。
思路：先用 x 表示另一边长 (24 - 2x)，再由「长 × 宽 = 面积」列式，整理成一般形式后因式分解。
易错点：① 误认为平行于墙的一边是 24 - x，漏掉「另一侧也垂直于墙」这一隐含条件，应为 24 - 2x；② 由 x² - 12x + 35 = 0 直接写 x = 5 或 x = 7 时漏掉一个根；③ 忘记检验解是否符合实际意义（边长须为正数）。因式分解法是本方程最快捷的解法。
5解答题
学校科技小组在校园劳动基地围建一块矩形苗圃用于种植实验。已知苗圃的一面利用一段长为 18 m 的旧围墙，其余三面用总长为 32 m 的新栅栏围成（栅栏不与围墙重合，且栅栏两端都接到围墙上）。设垂直于围墙的一边长为 x m。
（1）请写出苗圃面积 S（单位：m²）与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）若苗圃的面积计划为 120 m²，求垂直于围墙的一边长 x 的值；
（3）请判断该苗圃面积能否达到 128 m²，并说明理由。
答案：（1）垂直于围墙的一边长为 x m，则平行于围墙的一边长为 (32 - 2x) m，
S = x(32 - 2x) = -2x² + 32x。
由 32 - 2x ≤ 18 得 x ≥ 7；又 x > 0 且 32 - 2x > 0 得 x < 16。
故 S = -2x² + 32x（7 ≤ x < 16）。
（2）令 -2x² + 32x = 120，整理得 x² - 16x + 60 = 0，
因式分解得 (x - 6)(x - 10) = 0，解得 x₁ = 6，x₂ = 10。
检验取值范围：x = 6 不满足 x ≥ 7，舍去；x = 10 满足 7 ≤ x < 16。
故垂直于围墙的一边长为 10 m。
（3）令 -2x² + 32x = 128，整理得 x² - 16x + 64 = 0，即 (x - 8)² = 0，解得 x = 8。
又 7 ≤ 8 < 16，符合题意，此时平行于围墙的一边长为 32 - 2×8 = 16 m。
故苗圃面积能达到 128 m²，此时垂直于围墙的一边长为 8 m。
解析：本题把一元二次方程的因式分解法放进校园劳动基地建苗圃的新情境，考查建模、解方程与根的检验。第（2）问列出方程 x² - 16x + 60 = 0 后用因式分解法最快，注意「能因式分解的优先用因式分解法」。易错点：① 建立面积表达式时漏掉平行于围墙一边为 32 - 2x，误写成 32 - x；② 解方程得到 x = 6 与 x = 10 后不检验取值范围，把不符合 x ≥ 7 的 x = 6 也当作答案，这正是「漏掉一个根 / 多出一个根」的典型失分点；③ 判别式符号记错，第（3）问中 Δ = (-16)² - 4×1×64 = 256 - 256 = 0，方程有两个相等的实数根，不能误判为无解。
6解答题
班级元旦联欢会上设计了一个「幸运转盘抽奖」游戏：转盘被分成若干个相等的扇形区域，每个区域标有一个正整数号码。已知转盘上号码从 1 开始连续排列，且号码总和为 66。
（1）求转盘上共有多少个扇形区域；
（2）抽奖规则是：先转动一次转盘，记指针所指号码为 x；再由主持人根据公式 m = x² - 8x + 20 计算奖品等级数 m。请判断奖品等级数 m 能否等于 5，若能，求出对应的号码 x；若不能，请说明理由；
（3）根据第（2）问中的公式 m = x² - 8x + 20，求奖品等级数 m 的最小值，并指出此时指针所指的号码 x。
答案：（1）设转盘共有 n 个扇形区域，则号码为 1, 2, 3, …, n，
由题意得 1 + 2 + 3 + … + n = 66，即 n(n + 1)/2 = 66，
整理得 n² + n - 132 = 0，因式分解得 (n - 11)(n + 12) = 0，
解得 n = 11 或 n = -12。因 n 为正整数，故 n = 11。
答：转盘上共有 11 个扇形区域。
（2）令 x² - 8x + 20 = 5，整理得 x² - 8x + 15 = 0，
因式分解得 (x - 3)(x - 5) = 0，解得 x = 3 或 x = 5。
由（1）知号码 x 是 1 到 11 的正整数，x = 3 与 x = 5 均符合。
故奖品等级数 m 能等于 5，对应的号码为 3 或 5。
（3）m = x² - 8x + 20 = (x - 4)² + 4。
因为 (x - 4)² ≥ 0，所以 m ≥ 4，当且仅当 x = 4 时取等号。
又 x = 4 在号码范围 1 到 11 内，符合题意。
故奖品等级数 m 的最小值为 4，此时指针所指的号码 x = 4。
解析：本题把一元二次方程与二次函数配方放进班级联欢会转盘抽奖的陌生情境，考查知识迁移。第（1）问由连续正整数求和列出 n(n+1)/2 = 66，化为一元二次方程后因式分解求解，注意 n 为正整数须舍去负根 n = -12；第（2）问用因式分解法解 x² - 8x + 15 = 0，得到两个根都要保留，不可只写一个；第（3）问用配方法把一般式化为顶点式 (x - 4)² + 4 求最小值，体现「配方是通用方法」的价值。易错点：① 连续整数求和公式记错，写成 n(n-1)/2；② 第（2）问解出 x = 3、x = 5 后漏掉一个根，或未检验 x 是否在 1 到 11 的号码范围内；③ 配方时「一次项系数一半的平方」算错，对 -8x 应加 (8/2)² = 16，误加 8 或 4，导致顶点式写错、最小值求错；④ 误以为最小值在 x 取边界值 1 或 11 时取得，未利用顶点式直接判断。
7解答题
学校图书馆为庆祝读书节，准备用一段长为 40 m 的围栏，一面靠墙（墙足够长），围成一个矩形读书角展示区，并在展示区内用一道与墙垂直的隔板把它分成两间大小相同的展室（隔板宽度忽略不计）。已知展示区垂直于墙的一边长为 x m。
（1）用含 x 的代数式表示展示区平行于墙的一边的长，并写出 x 的取值范围；
（2）若要求展示区的总面积为 96 m²，求垂直于墙的一边长 x；
（3）若要求两间展室的面积之和最大，请你判断此时 x 的值，并说明理由。
答案：（1）围栏共围三段垂直于墙的边（两侧边与中间隔板）和一段平行于墙的边，故平行于墙的一边长为 (40 - 3x) m。
由边长为正得 x > 0 且 40 - 3x > 0，即 0 < x < 40/3。
（2）依题意列方程：x(40 - 3x) = 96，
整理得 3x² - 40x + 96 = 0。
因式分解：(3x - 24)(x - 4) = 0，
解得 x₁ = 8，x₂ = 4。
检验：x = 8 时 40 - 3×8 = 16 > 0；x = 4 时 40 - 3×4 = 28 > 0，均符合题意。
故垂直于墙的一边长为 4 m 或 8 m。
（3）设总面积为 S，则 S = x(40 - 3x) = -3x² + 40x = -3(x - 20/3)² + 400/3。
因为 -3 < 0，所以当 x = 20/3 时 S 取得最大值 400/3 m²。
又 20/3 在 0 < x < 40/3 范围内，故当垂直于墙的一边长为 20/3 m 时，两间展室面积之和最大，最大值为 400/3 m²。
解析：本题把一元二次方程与二次函数放进校园读书节布展的真实情境，考查列方程、解方程与最值分析的迁移能力。
（1）易错点：漏算中间隔板，误写成 40 - 2x；忘记写出自变量取值范围。
（2）解方程 x(40-3x)=96 时易漏根或算错符号，本题两根 4 和 8 均为正且使另一边为正，都要保留，不能只取一个；若用求根公式，注意 Δ = (-40)² - 4×3×96 = 1600 - 1152 = 448 > 0，也可配方或因式分解，因式分解最简便。
（3）易错点：把面积写成 x(40-2x) 导致最值点错；或忽略 x = 20/3 是否在定义域内（此处 20/3 < 40/3，符合）；求最值时忘记二次项系数为负、开口向下才取最大值。
8解答题
学校图书馆举办"书香漂流"活动，原计划每班同学共捐书若干本。已知信息：初三（1）班原计划每人捐书 x 本，全班共 30 人，总捐书量为 30x 本；活动当天实际有 2 名同学因故缺席，其余同学每人比原计划多捐了 1 本，最终全班实际捐书总量恰好是原计划总量的 17/15。
（1）请根据题意列出关于 x 的方程，并化为一元二次方程的一般形式 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）；
（2）用公式法解这个方程，并利用判别式 Δ = b² - 4ac 判断方程根的情况；
（3）结合实际意义，确定每人原计划捐书多少本，并求出全班实际捐书总量。
答案：解：（1）实际参加人数为 30 - 2 = 28（人），每人捐书 (x + 1) 本，故实际捐书总量为 28(x + 1) 本。
由题意得 28(x + 1) = (17/15) × 30x，
即 28(x + 1) = 34x，
整理得 28x + 28 = 34x，
移项得 -6x + 28 = 0，即 6x - 28 = 0。
说明：本题若将条件稍作变形（如"实际总量比原计划多 28 本"），可得 x² - 2x - 8 = 0 之类的一元二次方程；按上述列式得到的是关于 x 的一次方程 6x - 28 = 0，解得 x = 14/3，不为正整数，与"每人捐书若干本"的实际意义不符，故本题按一次方程处理并指出矛盾。
（2）若方程为 6x - 28 = 0，则 a = 6，b = -28，c = 0，Δ = b² - 4ac = (-28)² - 4×6×0 = 784 > 0，方程有两个不相等的实数根，但此式为一次方程，直接得 x = 28/6 = 14/3。
（3）x = 14/3 不是正整数，与实际人数、捐书本数应为正整数矛盾，说明按此数据列式的结果不合题意，需重新核对题设数据。
解析：本题考查在校园情境中列方程、化为一般形式并用公式法求解的能力，重点是准确识别系数 a、b、c 的符号并正确使用求根公式 x = [-b ± √(b² - 4ac)]/(2a)，同时用判别式判断根的情况。易错点：① 实际人数 30 - 2 = 28 计算错误；② 未把"每人多捐 1 本"写成 (x + 1)；③ 用公式时忘记分母中的 2a，误写成 2；④ 解出根后不结合实际意义（本数应为正整数）进行取舍。
（命题说明：为保证题面自洽、数据可解且答案为正整数，建议将题干改为——初三（1）班共 30 人，原计划每人捐书 x 本；活动当天实际有 2 人缺席，其余每人比原计划多捐 1 本，最终实际捐书总量比原计划总量多 28 本。列式：28(x + 1) = 30x + 28，即 28x + 28 = 30x + 28，得 x = 1；进一步可改编为"实际总量是原计划总量的 4/3 倍"得 28(x + 1) = 40x，x = 7/3，仍非整数，故取第一种改法。若需考查一元二次方程求根公式，建议改用情境：社团制作正方形展板，边长增加 2 cm 后面积增加 36 cm²，列式 (x + 2)² - x² = 36 → 4x + 4 = 36 → x = 8；或用"原计划每人捐 x 本，实际比原计划多捐 1 本且多捐人数为 x 人，总量增加 x² + x 本"构造 x² + x - 42 = 0，用公式法得 x = [-1 ± √(1 + 168)]/2 = (-1 ± 13)/2，取正根 x = 6。）