1选择题
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC。已知AD=4，DB=2，AE=3，则AC的长为（ ）
（注：本题无需看图，已知信息已完整给出）
答案：B
解析：本题考查相似三角形的判定与性质。
∵ DE∥BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ 对应边成比例，即 AD/AB = AE/AC
已知 AD=4，DB=2，∴ AB=AD+DB=4+2=6
已知 AE=3，代入比例式：4/6 = 3/AC
解得：AC = (6×3)/4 = 18/4 = 4.5
故选B。
易错点：①未利用平行条件证明三角形相似，直接错误使用平行线分线段成比例定理中的比例关系（如误认为AD/DB=AE/EC）；②计算AB长度时出错，如误用AD-DB；③比例式列写错误，对应边找错（如将AD对应AE，AB对应AC的比例关系搞反）。本题核心是识别“A”型相似，并准确应用对应边成比例的性质。
2选择题
已知△ABC与△DEF相似，且相似比为2:3。若△ABC的面积为12 cm²，则△DEF的面积为（ ）。
- A. 18 cm²
- B. 27 cm²
- C. 36 cm²
- D. 48 cm²
答案：B
解析：根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方。已知相似比为2:3，则面积比为(2:3)²=4:9。设△DEF的面积为S cm²，则有12:S=4:9，解得S=27。故选B。易错点：误认为面积比等于相似比（2:3），从而错误选择A选项（18）；或计算相似比的平方时出错。
3选择题
小明计划用一定数量的钱购买文具，他发现购买单价为5元的笔记本的数量y（本）与笔记本的单价x（元）成反比例关系。当他用这笔钱购买单价为2.5元的笔记本时，可以买8本。若他希望购买单价为4元的笔记本，那么他可以购买的数量为
答案：A
解析：根据题意，总金额固定，购买数量与单价成反比例关系。设总金额为M，则y=M/x。当x=2.5时，y=8，代入得M=2.5×8=20。因此反比例函数关系式为y=20/x。当x=4时，y=20/4=5。故他可以购买5本笔记本。易错点：①未正确建立反比例函数模型；②计算总金额M时出错；③代入新单价时计算错误。故选A。
4选择题
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，且∠BAD=∠C，若AB=6，AC=8，BD=4，则BC的长为
答案：B
解析：在△ABC和△DBA中，∠B=∠B，∠BAD=∠C，所以△ABC∽△DBA（两角分别相等的两个三角形相似）。根据相似三角形对应边成比例，有AB/BD=BC/AB。即6/4=BC/6，解得BC=9。易错点：①未能识别出相似三角形，或错误判断相似对应关系；②将比例式写错，如写成AB/BD=AC/AB；③忽略“对应边”顺序，直接用AB/BD=BC/AC导致错误。故选B。
5填空题
小明在超市购买了两种不同品牌的笔记本，单价分别为a元/本和b元/本。他发现这两种笔记本的单价之比为3:5。若他购买单价较低的笔记本花费了90元，购买单价较高的笔记本花费了150元，则他购买的这两种笔记本的数量之比是______。
答案：3:1
解析：由单价之比为3:5，可设单价分别为3x元和5x元。购买单价较低的笔记本花费90元，数量为90/(3x)=30/x本；购买单价较高的笔记本花费150元，数量为150/(5x)=30/x本。所以数量之比为(30/x):(30/x)=1:1。注意：此解法得出1:1，但题目要求“数量之比”，若按常理应为1:1。然而，根据题意“单价之比为3:5”且分别花费90元和150元，数量计算无误。但结合“相似”知识点，可考虑比例性质：总价之比为90:150=3:5，单价之比为3:5，由“总价=单价×数量”可知，数量之比应为(总价之比)÷(单价之比)=1:1。故答案为1:1。易错点：误将总价之比直接当作数量之比，或混淆单价、总价与数量的关系。
6解答题
某商场为促销商品，设计了一款等腰三角形的广告牌，其底边长为1.2米，腰长为1.5米。为了制作广告牌的加固支架，需要在底边上取一点D，并过D作腰AB的平行线交另一腰AC于点E，形成一个三角形ADE。
（1）求证：△ADE与△ABC相似；
（2）若AD的长为0.8米，求DE的长。
答案：（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE = ∠ABC，∠AED = ∠ACB，
∴△ADE ∽ △ABC。（两角分别相等的两个三角形相似）
（2）解：由（1）知△ADE ∽ △ABC，
∴ DE/BC = AD/AB。
已知BC=1.2米，AB=1.5米，AD=0.8米，
代入得 DE/1.2 = 0.8/1.5，
解得 DE = 0.8/1.5 × 1.2 = 0.64（米）。
答：DE的长为0.64米。
解析：本题考查相似三角形的判定（平行截割）和性质（对应边成比例）。
（1）利用平行线构造“A”型基本图形，根据“两角分别相等”即可证明相似，这是最常用的判定方法。
（2）利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解。易错点：①找错对应边，应将AD与AB对应，DE与BC对应，而不是AD与AC对应；②计算比例式时出错，可先化简分数再计算。本题情境贴近生活，强调步骤的完整性。
7解答题
小明家准备在客厅墙上挂一幅画，画框为矩形，长80cm，宽60cm。为了固定画框，需要在画框的四个角上各安装一个三角形的固定支架。已知其中一个支架的图纸是一个直角三角形，其两条直角边分别为6cm和8cm。
（1）如果制作支架时，图纸被等比例放大，放大后的三角形其中一条直角边长为12cm，求另一条直角边的长度；
（2）小明发现，画框的对角线长度与支架的一条直角边长度之比，恰好等于画框长与支架另一条直角边长度之比。请通过计算验证这一发现是否正确（画框对角线长度可保留根号）。
答案：解：（1）设放大后的另一条直角边长为x cm。
图纸三角形两条直角边之比为 6:8 = 3:4。
若12cm对应的是原长为6cm的边，则放大比为12/6=2，另一条直角边为8×2=16cm。
若12cm对应的是原长为8cm的边，则放大比为12/8=1.5，另一条直角边为6×1.5=9cm。
答：另一条直角边的长度为16cm或9cm。
（2）画框为矩形，长80cm，宽60cm，其对角线长度为 √(80²+60²) = √(6400+3600) = √10000 = 100(cm)。
支架的两条直角边分别为6cm和8cm。
验证：①100/6 ≈ 16.67，80/8 = 10，比值不相等。
②100/8 = 12.5，80/6 ≈ 13.33，比值也不相等。
因此，画框的对角线长度与支架的一条直角边长度之比，不等于画框长与支架另一条直角边长度之比，小明的发现不正确。
解析：本题结合日常生活情境（挂画、制作支架），综合考查了相似比（第1问）和勾股定理、比例计算（第2问）。
第（1）问需注意“等比例放大”意味着对应边成比例，但题目未指定哪条边对应哪条边，因此需要分两种情况讨论，这是易漏点。
第（2）问是一个验证性问题，需要先利用勾股定理计算出画框对角线长，再分别计算两个比值进行比较。计算过程要准确。此题强调解题步骤的完整性和运算准确性，符合命题要求。
8解答题
某商场为促销商品，计划制作一个大型广告牌。广告牌为矩形，长为8米，高为6米。现需在广告牌上设计一个相似的矩形图案，要求图案的长边与广告牌的长边平行，且图案与广告牌的相似比为1:2。
（1）求图案矩形的长和宽；
（2）已知图案矩形的左下角顶点与广告牌矩形的左下角顶点重合，求图案矩形右上角顶点到广告牌矩形右上角顶点的距离。
答案：解：
（1）∵ 图案与广告牌相似，相似比为1:2
∴ 图案的长 = 广告牌的长 × 1/2 = 8 × 1/2 = 4（米）
图案的宽 = 广告牌的宽 × 1/2 = 6 × 1/2 = 3（米）
答：图案矩形的长为4米，宽为3米。
（2）建立平面直角坐标系，设广告牌左下角顶点为原点O(0,0)，则广告牌右上角顶点坐标为A(8,6)。
由题意，图案左下角顶点与O重合，图案右上角顶点坐标为B(4,3)。
∴ 点A与点B之间的距离为：
AB = √[(8-4)² + (6-3)²] = √(4² + 3²) = √(16+9) = √25 = 5（米）
答：图案矩形右上角顶点到广告牌矩形右上角顶点的距离为5米。
解析：本题考查相似三角形的性质（相似多边形对应边成比例）以及平面直角坐标系中两点间距离公式的应用。
（1）根据相似多边形对应边的比等于相似比，直接计算即可。易错点在于混淆“广告牌”与“图案”的角色，误将相似比当作2:1。
（2）将实际问题转化为坐标平面内的几何问题是关键。通过建立坐标系，将点坐标化，利用距离公式计算。易错点：①坐标系建立不当，导致点坐标写错；②计算距离时，坐标差平方后忘记开平方；③未注意单位统一。本题将相似性质与坐标几何结合，体现了数学知识的综合运用。