1选择题
在抗击新冠疫情的新闻报道中，某社区为绘制疫情传播风险地图，需要将一张长为 6cm、宽为 4cm 的纸质区域图，在保持其形状不变的前提下放大，使得放大后的地图面积为原面积的 4 倍。则放大后地图的周长是原地图周长的（ ）倍。
答案：A
解析：本题考查相似三角形（或相似图形）的性质：面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比。
设原地图的相似比为 k，则放大后的面积比为 k²。由题意，放大后的面积是原面积的 4 倍，即 k² = 4，解得 k = 2（k > 0）。
因此，放大后的地图周长与原地图周长的比等于相似比 k = 2。
易错点：混淆面积比与周长比的关系，误将面积比 4 当作周长比，从而错选 B。正确结论是周长比等于相似比，故选 A。
2选择题
为庆祝“全国科技活动周”，某中学在校园内安装了如图所示的太阳能路灯。已知路灯杆AB垂直于地面，其高度为4米。在阳光下，路灯杆AB的影长BC为3米。在同一时刻，测得一根垂直于地面的木杆DE的影长EF为1.5米。则木杆DE的高度为（ ）
答案：C
解析：本题考查相似三角形的应用，情境为社会热点“科技活动周”下的测量问题。解题关键在于利用“同一时刻，太阳光线平行”的条件，构造相似三角形。易错点在于不能正确识别对应边，或误用影长比。具体解法：因为太阳光线平行，所以∠ACB = ∠DFE = 90°，∠ABC = ∠DEF（光线与地面的夹角相等）。所以△ABC ∽ △DEF（两角分别相等，两个三角形相似）。根据相似三角形对应边成比例，有 AB/DE = BC/EF。代入数据：4/DE = 3/1.5，解得 DE = 2米。故选C。
3选择题
为推进绿色能源建设，某社区计划在楼顶安装太阳能电池板。如图（文字描述），安装工人需要测量楼高AB。他在地面竖立一根长2米的标杆CD，调整位置，使标杆顶端C、楼顶A和标杆底端D在一条直线上，并测得BD=8米，人眼到地面的距离DE=1.5米。已知△ECD∽△EAB，则楼高AB为（ ）
答案：C
解析：本题考查相似三角形在测量中的应用，利用同一时刻物高与影长成比例（即太阳光线平行，形成相似三角形）。根据题意，标杆高2米，影长1.5米，楼影长9米。设楼高AB为h米，则由相似可得：2/1.5 = h/9，解得h = 2×9/1.5 = 12。故选C。易错点：一是将比例式写反，如写成1.5/2 = h/9；二是计算错误，如2×9=18，18÷1.5=12，若粗心可能算成其他值。本题数据设计简单，答案整数，符合中等难度要求。
4选择题
为推进绿色能源建设，某社区计划在楼顶安装太阳能电池板。安装前需要测量楼高AB。在同一时刻，测得一根长2米的标杆CD在阳光下的影长为1.5米，楼AB的影长为9米，则楼高AB为（ ）米。
答案：C
解析：本题考查相似三角形在测量中的应用，利用同一时刻物高与影长成比例（即太阳光线平行，形成相似三角形）。根据题意，标杆高2米，影长1.5米，楼影长9米。设楼高AB为h米，则由相似可得：2/1.5 = h/9，解得h = 2×9/1.5 = 12。故选C。易错点：一是将比例式写反，如写成1.5/2 = h/9；二是计算错误，如2×9=18，18÷1.5=12，若粗心可能算成其他值。本题数据设计简单，答案整数，符合中等难度要求。
5填空题
在“双减”政策背景下，某社区为丰富青少年课余生活，计划利用一块三角形空地（△ABC）修建一个小型篮球场。已知△ABC中，∠B = 90°，AB = 6米，BC = 8米。现需在三角形内划出一个面积最大的矩形区域作为篮球场，使得矩形的一边在BC边上。则该矩形的面积最大为______平方米。
答案：12
解析：本题考查相似三角形的性质与最值问题，结合了“双减”政策下的社区建设情境。解题思路是通过相似三角形建立矩形面积与边长之间的函数关系。易错点在于不能正确建立相似关系，或忽略了矩形面积最大时的条件。具体解法：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，由勾股定理得AC=10。设矩形为DEFG，其中D在AB上，G在AC上，EF在BC上。设EF = x米，则BF = (x/2)米（根据对称性或矩形性质，点F是EF中点，但更直接的方法是利用相似）。设矩形的高为h米（即DE = GF = h）。因为DE∥BC，所以△ADE ∽ △ABC。对应边成比例：DE/BC = AD/AB，即 h/8 = (6-h)/6。解得 h = 3 - (3/4)h，整理得 (7/4)h = 3，h = 12/7。此时矩形面积 S = x * h。但更优的方法是直接建立面积函数：由△ADE ∽ △ABC，得 DE/BC = AE/AC，即 h/8 = (10 - GF长度对应的线段)/10，关系较复杂。换用坐标法或直接利用比例：设矩形高为h，宽为x，则由相似可得 h/6 = (8-x)/8，即 h = 6 - (3/4)x。矩形面积 S = x * h = x * (6 - 3x/4) = -3/4 x² + 6x。这是一个开口向下的二次函数，当 x = -b/(2a) = -6/(2*(-3/4)) = 4时，S取最大值 S_max = -3/4 * 4² + 6*4 = -12 + 24 = 12平方米。故最大面积为12平方米。
6解答题
为测量一座新建的观光塔的高度，某校数学兴趣小组开展了实践活动。他们在地面上选取了两点 A、B，并在 A、B 之间选取了点 C，使得 A、C、B 三点在同一条水平直线上。在点 C 处测得塔顶 D 的仰角为 60°，在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 45°。已知 A、B 两点间的距离为 20 米，且点 B 在点 A 和点 C 之间。（参考数据：√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732）
（1）请根据题意，画出示意图（不要求尺规作图，但需标注相关角度与线段）；
（2）求观光塔的高度 CD。（结果保留整数）
答案：（1）示意图如下：
已知信息：A、C、B 三点在一条水平直线上，点 B 在 A、C 之间。塔顶为 D，塔底为 E（E 在水平线 AC 上）。在 C 处测得 ∠DCA = 60°，在 A 处测得 ∠DAC = 45°。AB = 20 米。
（2）解：设塔高 DE = h 米。
在 Rt△ADE 中，∠DAE = 45°，所以 AE = DE / tan 45° = h / 1 = h。
在 Rt△CDE 中，∠DCE = 60°，所以 CE = DE / tan 60° = h / √3 = (√3 / 3)h。
因为点 B 在 A、C 之间，且 A、C、B 共线，所以 AC = AE + EC。
又因为 AB = 20 米，所以 AC = AB + BC = 20 + BC。
但根据几何关系，AC = AE + EC = h + (√3 / 3)h = h(1 + √3/3)。
我们还需要找到 BC 与已知量的关系。注意到在 Rt△BDE 中，∠DBE 未知，但我们可以利用 AB 与 AC 的关系。
实际上，AC = AE + EC = h + (√3/3)h。
而 AB = 20 米，且 B 在 A、C 之间，所以 AC = AB + BC = 20 + BC。
为了求出 h，我们需要另一个方程。观察图形，可以构造以 B 为顶点的直角三角形，但题中未给出 ∠DBA 的具体度数。因此，我们重新审视条件：题中只给出了 A、C 两处的仰角，以及 A、B 间距离。这通常意味着需要利用相似或比例关系。
一种常见解法是：过 B 作 BF⊥DE 于点 F，则 BF = AE = h，且 DF = DE - EF = h - EC? 不对，EF = BD? 这样会复杂化。
更直接的方法是：由 AE = h，EC = (√3/3)h，得 AC = h(1 + √3/3)。
又 AC = AB + BC = 20 + BC。
但 BC 无法直接用 h 表示，除非知道 ∠DBC 或 BD 的长度。题中未给出，因此可能题目设计为：点 B 在 A、C 之间，但未给出 B 处的测量角。这提示我们可能需要利用相似三角形。
实际上，经典模型是：在 A、C 两处测仰角，A、C 间距离已知，求塔高。但本题给出的是 A、B 间距离，且 B 在 A、C 之间，但未在 B 处设仰角。这可能是题目表述的简化，意图是让学生理解 A、C 两点间距离为 AB + BC，但 BC 未知。
另一种解读：题目可能意图是 A、C 两点间距离为 20 米（即 AC = 20），但题干写成了 AB = 20。为符合常见题型，我们假设题目本意是 AC = 20 米（即测量点 A、C 间距离为 20 米）。
若 AC = 20 米，则 h(1 + √3/3) = 20。
解得 h = 20 / (1 + √3/3) = 20 / [(3 + √3)/3] = 60 / (3 + √3) = 60(3 - √3) / (9 - 3) = 60(3 - √3) / 6 = 10(3 - √3) ≈ 10 × (3 - 1.732) = 10 × 1.268 = 12.68 ≈ 13（米）。
因此，观光塔的高度 CD 约为 13 米。
【注】根据题目现有条件（AB=20米，B在A、C之间），严格来说缺少一个仰角数据或 AC 长度，无法唯一确定塔高。以上解答基于将 AB=20 理解为 A、C 两点间距离（即 AC=20）的常见题型进行求解。若严格按照原题，则需补充条件（如 ∠DBC 的度数或 AC 的长度）。
解析：本题考查解直角三角形的实际应用（仰角问题），并涉及相似三角形的潜在运用（通过构造直角三角形建立比例关系）。
解题核心是：将实际问题转化为两个共享直角边（塔高 DE）的直角三角形（△ADE 和 △CDE），并利用已知的仰角和水平距离关系建立方程。
易错点：1. 不能正确画出示意图，导致角度、线段对应关系混乱；2. 设塔高为 h 后，不能正确用 h 表示 AE 和 EC（例如 AE = h / tan45°，EC = h / tan60°）；3. 忽略点 B 在 A、C 之间的位置关系，错误地认为 AB = AC；4. 在计算过程中，分母有理化或合并同类项时出现计算错误。
本题设计结合了社会热点（疫情地图测量）与实际生活（观光塔测量），强调了数学建模和运算能力。解答时需仔细审题，明确已知条件与所求量之间的关系。
7解答题
为响应“绿色出行”号召，某市计划在一条东西走向的主干道两侧增设公共自行车停放点。如图，在道路北侧有A、B两个现有停放点，在道路南侧有C、D两个待定停放点。已知A、B两点间的距离为200米。为便于管理，要求新建的停放点C、D分别与A、B构成相似三角形，且使得△ABC与△ABD相似（对应顶点为A→A，B→B，C→D）。
（1）若∠BAC=∠ABD=90°，且AC=100米，求BD的长；
（2）若∠ABC=∠BAD，且△ABC与△ABD的相似比为1:2，求AC与BD的长度之和。
答案：（1）解：∵ ∠BAC=∠ABD=90°，
∴ △ABC和△ABD都是直角三角形。
∵ △ABC与△ABD相似，且对应顶点为A→A，B→B，C→D，
∴ 对应边成比例，即 AB/AD = AC/BD = BC/AB。
在Rt△ABC中，AB=200米，AC=100米，
由勾股定理得：BC = √(AB² + AC²) = √(200² + 100²) = √50000 = 100√5 (米)。
由相似比 AB/AD = BC/AB，得 AD = AB²/BC = 200² / (100√5) = 40000/(100√5) = 400/√5 = 80√5 (米)。
由相似比 AC/BD = AB/AD，得 BD = (AC × AD) / AB = (100 × 80√5) / 200 = 40√5 (米)。
答：BD的长为40√5米。
（2）解：∵ ∠ABC=∠BAD，且△ABC与△ABD相似，对应顶点为A→A，B→B，C→D，
∴ 对应边为AB与AD，BC与AB，AC与BD。
设相似比为k = AB/AD = BC/AB = AC/BD = 1/2。
∴ AD = 2AB = 2×200 = 400 (米)。
又 AB/AD = BC/AB，即 1/2 = BC/200，解得 BC = 100 (米)。
在△ABC中，已知AB=200米，BC=100米，∠ABC未知。
在△ABD中，已知AB=200米，AD=400米，∠BAD=∠ABC。
要求AC与BD的长度之和，但AC、BD的长度无法仅由上述条件唯一确定，因为这两个三角形并非直角三角形，且夹角∠ABC的大小未知。
因此，本小题条件不足，无法求出AC与BD的具体长度之和。
（注：命题时需确保条件充分。此处为模拟题目演示，实际命题应调整条件使问题可解，例如增加∠ABC=90°或给出具体边长关系等。）
解析：本题第（1）问考查直角三角形的相似判定与性质，利用勾股定理求边长，再利用相似比建立比例关系求解BD，关键在于正确识别对应边。第（2）问旨在考查相似三角形的性质（对应边成比例），但命题时需注意条件必须充分。易错点：①在相似三角形中找错对应边，导致比例关系错误；②在非直角三角形中，仅凭两边成比例和一对角相等不能唯一确定三角形，需谨慎设计条件。本题第（2）问条件不足，提醒命题者需确保题目条件充分且自洽。
8解答题
为测量一座古塔的高度（如图，塔顶为A，塔底为B，地平面上有一点C），在阳光明媚的下午，小明在地面上立一根2米长的标杆DE，测得其影子长EF为3米。同时，他测得古塔的影子BC长为27米。已知点B、E、F、C在同一直线上，且标杆DE与古塔AB均与地面垂直。
（1）利用相似三角形的知识，求古塔AB的高度；
（2）若测得此时太阳光线与地面的夹角∠BCA为α，求tanα的值（结果保留根号）。
答案：解：（1）∵ 标杆DE⊥地面，古塔AB⊥地面，
∴ DE∥AB。
∴ △DEF ∽ △ABC。
∴ DE/AB = EF/BC。
已知DE=2米，EF=3米，BC=27米，
∴ 2/AB = 3/27。
解得 AB = 2 × 27 / 3 = 18 (米)。
答：古塔AB的高度为18米。
（2）在Rt△ABC中，AB=18米，BC=27米，∠ABC=90°。
∴ tanα = tan∠BCA = AB/BC = 18/27 = 2/3。
答：tanα的值为2/3。
解析：本题结合社会热点“阳光测量”情境，考查相似三角形的判定（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）和性质（对应边成比例），以及锐角三角函数的定义。第（1）问关键是利用同一时刻物高与影长成正比（相似）建立比例式。第（2）问直接利用直角三角形中锐角的正切定义求解。易错点：①找错相似三角形的对应边；②在计算比例时，将分子分母位置颠倒。本题难度中等，强调计算与推理的步骤完整性。