1选择题
2024年全国科技活动周期间，某市科技馆推出"抛物线光影"互动展项。已知信息：展项的灯光轨迹可用二次函数 y = -2(x+3)² + 1 描述，其中 x（单位：m）表示水平距离，y（单位：m）表示光点的高度。则该抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标分别为（ ）
- A. 开口向下，对称轴 x = -3，顶点 (-3, 1)
- B. 开口向上，对称轴 x = 3，顶点 (3, 1)
- C. 开口向下，对称轴 x = 3，顶点 (-3, 1)
- D. 开口向下，对称轴 x = -3，顶点 (-3, -1)
答案：A
解析：将函数写成顶点式 y = a(x - h)² + k 的形式。原式 y = -2(x + 3)² + 1 = -2[x - (-3)]² + 1，故 a = -2，h = -3，k = 1。① a = -2 < 0，开口向下；② 对称轴为 x = h，即 x = -3；③ 顶点为 (h, k) = (-3, 1)。易错点：一是把顶点式中的 h 符号搞错，误写成对称轴 x = 3；二是开口方向判断反；三是顶点纵坐标算错。综上，开口向下、对称轴 x = -3、顶点 (-3, 1)，故选A。
2选择题
【新闻情境】为宣传绿色出行，某市新闻报道了两种共享单车品牌的月租费用随骑行次数变化的定价模型。甲品牌收费（元）与骑行次数 x 的关系为 y = 0.5x² - 2x + 10；乙品牌收费（元）与骑行次数 x 的关系为 y = -0.25x² + 3x + 5（x ≥ 0）。下列关于这两个二次函数图象与性质的说法中，正确的是（ ）
- A. 甲函数图象开口向下，乙函数图象开口向上
- B. 甲函数图象的对称轴为直线 x = 2，乙函数图象的对称轴为直线 x = -6
- C. 甲函数图象的对称轴为直线 x = 2，乙函数图象的对称轴为直线 x = 6
- D. 甲函数有最大值，乙函数有最小值
答案：C
解析：先看开口方向：甲函数 y = 0.5x² - 2x + 10 中 a = 0.5 > 0，开口向上；乙函数 y = -0.25x² + 3x + 5 中 a = -0.25 < 0，开口向下，故 A 错误。再看对称轴：由公式 x = -b/(2a)，甲函数对称轴为 x = -(-2)/(2×0.5) = 2/1 = 2；乙函数对称轴为 x = -3/(2×(-0.25)) = -3/(-0.5) = 6，故 B 错误（把乙的对称轴符号算反，是典型易错），C 正确。最后看最值：a > 0 时函数有最小值，a < 0 时函数有最大值，所以甲函数有最小值、乙函数有最大值，D 恰好把结论说反，错误。易错点：①判断开口方向时只看 b 或常数项；②对称轴公式中符号处理出错；③混淆开口方向与最值的对应关系。故选C。
3选择题
【新闻情境】某市新闻报道：为鼓励绿色出行，某共享电单车企业调整计费方式。调整后每单骑行收费 y（元）与骑行时长 x（分钟）满足二次函数关系 y = -0.02x² + 0.4x + 1.5（x > 0）。请根据报道中的函数关系式判断：该抛物线的开口方向、对称轴以及每单收费的最大值分别是（ ）
- A. 开口向下，对称轴 x = 10，最大值为 3.5 元
- B. 开口向上，对称轴 x = 10，最大值为 3.5 元
- C. 开口向下，对称轴 x = -10，最大值为 3.5 元
- D. 开口向下，对称轴 x = 10，最大值为 1.5 元
答案：A
解析：由 y = -0.02x² + 0.4x + 1.5，得 a = -0.02 < 0，故抛物线开口向下，函数有最大值。对称轴为 x = -b/(2a) = -0.4/(2×(-0.02)) = -0.4/(-0.04) = 10。将 x = 10 代入：y = -0.02×10² + 0.4×10 + 1.5 = -0.02×100 + 4 + 1.5 = -2 + 4 + 1.5 = 3.5，故最大值为 3.5 元。易错点：一是 a 为负数时误判开口方向（易错选 B）；二是计算对称轴时漏掉负号或漏掉分母中的 2a，误得 x = -10（易错选 C）；三是把常数项 1.5 当作最大值（易错选 D）。故选 A。
4填空题
【社会热点情境】为助力乡村振兴，某地新建一座抛物线形拱桥。以桥面所在直线为 x 轴，桥拱最高点的正下方为原点建立平面直角坐标系（单位：m），桥拱对应的二次函数解析式为 y = -0.5x² + 2x + 3。请根据该解析式依次填空：
（1）将解析式化为 y = a(x - h)² + k 的形式，得 y = ______；
（2）抛物线的开口方向为______，对称轴为直线 x = ______；
（3）抛物线的顶点坐标为（______，______），桥拱的最大高度为______m。
答案：（1）y = -0.5(x - 2)² + 5；（2）开口向下，对称轴 x = 2；（3）顶点坐标（2，5），桥拱最大高度为 5 m。
【完整解答】
（1）配方：y = -0.5x² + 2x + 3 = -0.5(x² - 4x) + 3 = -0.5(x² - 4x + 4 - 4) + 3 = -0.5(x - 2)² + 2 + 3 = -0.5(x - 2)² + 5。
（2）a = -0.5 < 0，故开口向下；对称轴 x = -b/(2a) = -2/(2×(-0.5)) = -2/(-1) = 2。
（3）顶点在对称轴 x = 2 上，y = -0.5×(2 - 2)² + 5 = 5，故顶点为（2，5）；因开口向下，函数有最大值 5，即桥拱最大高度为 5 m。
解析：本题考查二次函数一般式的配方、开口方向、对称轴与顶点坐标。
（1）配方易错：提取 -0.5 时括号内各项要变号，且配方时加上 4 后必须乘回 -0.5（得到 +2）再与常数 3 相加，常漏掉这一步而误得 y = -0.5(x - 2)² + 3。
（2）开口方向由 a 决定：a = -0.5 < 0，开口向下，切勿与 a 的绝对值混淆。
（3）对称轴公式 x = -b/(2a) 代入时负号易出错，得 x = 2；顶点纵坐标也可用 (4ac - b²)/(4a) = (4×(-0.5)×3 - 4)/(4×(-0.5)) = (-6 - 4)/(-2) = 5，两种方法结果一致。开口向下时函数有最大值 5，而非最小值。
5解答题
【新闻报道情境】据某市文旅局通报，为打造夜间经济新地标，该市在滨江广场修建一座抛物线形灯光拱门。以拱门正下方地面中点为原点、地面为 x 轴建立平面直角坐标系（单位：m），拱门对应的二次函数解析式为 y = -x² + 6x。
（1）将解析式化为 y = a(x - h)² + k 的形式，并写出拱门的最高高度；
（2）求拱门与地面（x 轴）两个交点的坐标，并求出这两个交点之间的水平距离（即拱门的跨度）；
（3）施工方计划在拱门内侧悬挂一条水平的灯光横幅，要求横幅所在直线与地面的距离为 8 m，且横幅两端必须落在拱门曲线上。请判断这样的横幅是否存在；若存在，求出横幅的长度；若不存在，说明理由。
答案：（1）y = -(x - 3)² + 9，拱门最高高度为 9 m；（2）与 x 轴交点为（0，0）和（6，0），跨度为 6 m；（3）存在，横幅长度为 4 m。
【完整解答】
（1）配方：y = -x² + 6x = -(x² - 6x) = -(x² - 6x + 9 - 9) = -(x - 3)² + 9。因 a = -1 < 0，开口向下，顶点为（3，9），故拱门最高高度为 9 m。
（2）令 y = 0，得 -x² + 6x = 0，即 -x(x - 6) = 0，解得 x₁ = 0，x₂ = 6。故两个交点为（0，0）和（6，0），跨度为 6 - 0 = 6（m）。
（3）横幅所在直线为 y = 8，两端点在抛物线上。令 -x² + 6x = 8，整理得 x² - 6x + 8 = 0，即 (x - 2)(x - 4) = 0，解得 x₁ = 2，x₂ = 4。因拱门最高高度 9 m > 8 m，直线 y = 8 与抛物线确有两个交点（2，8）和（4，8），故横幅存在，其长度为 4 - 2 = 2…（更正）横幅长度为 4 - 2 = 2 m…（最终）横幅长度为 4 - 2 = 2 m。
最终答案：（3）存在，横幅长度为 2 m。
解析：本题综合考查二次函数配方求最值、函数与一元二次方程的关系，体现数形结合思想。
（1）配方时注意提取负号后括号内变号：-x² + 6x = -(x - 3)² + 9，顶点（3，9），最大高度 9 m。易错：误得 -(x - 3)² - 9 或漏掉 +9。
（2）令 y = 0 求交点，因式分解 -x(x - 6) = 0 得 x = 0 或 x = 6，交点（0，0）、（6，0），跨度 6 m。易错：只写出根而未写交点坐标，或把跨度误算为 0。
（3）本质是判断方程 -x² + 6x = 8 是否有两个不等实根：x² - 6x + 8 = 0，Δ = 36 - 32 = 4 > 0，故有两个交点，x = 2 或 x = 4，横幅两端点为（2，8）、（4，8），长度为 4 - 2 = 2 m。易错：①未判断 8 m 是否低于最大高度 9 m 就直接下结论；②把横幅长度误算为 2 + 4 = 6 m 或误取坐标之和；③解方程时符号出错漏掉一根。
6解答题
2025年春季，某地新闻报道了"屋顶光伏电站发电量测算"项目。已知信息：该项目的日发电量 y（单位：kW·h）与当天日照时长 x（单位：h）之间近似满足二次函数关系 y = -x² + 8x（0 ≤ x ≤ 8）。
（1）将该函数配方化为顶点式，写出抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标；
（2）求该电站一天的最大发电量，并指出此时的日照时长；
（3）若某日日照时长为 2 h，求当天的发电量。
答案：（1）y = -x² + 8x = -(x² - 8x) = -(x² - 8x + 16 - 16) = -(x - 4)² + 16。因为 a = -1 < 0，所以抛物线开口向下；对称轴为直线 x = 4；顶点坐标为 (4, 16)。
（2）由（1）知，当 x = 4 时，y 取得最大值 16。又 0 ≤ 4 ≤ 8，符合题意。故该电站一天的最大发电量为 16 kW·h，此时日照时长为 4 h。
（3）当 x = 2 时，y = -2² + 8 × 2 = -4 + 16 = 12（kW·h）。故当天发电量为 12 kW·h。
解析：本题考查二次函数一般式配方化顶点式、开口方向、对称轴、顶点与最值，体现"计算与推理优先"，要求步骤完整。
（1）配方时注意：先提二次项系数 -1（负号不能漏），再在括号内加、减一次项系数一半的平方，即 (8÷2)² = 16，得到 y = -(x - 4)² + 16。易错点：① 提取 -1 后括号内符号出错；② 配方常数项只加不减或漏乘前面的负号，误得 y = -(x - 4)² - 16；③ 由顶点式读取对称轴时把 h 符号搞错。
（2）因为 a = -1 < 0，开口向下，函数有最大值，最大值即顶点纵坐标 16，注意单位为 kW·h，并结合自变量范围 0 ≤ x ≤ 8 检验 x = 4 是否在范围内（在范围内，最值可取到）。易错点：答成最小值，或忽略自变量取值范围。
（3）直接代入计算即可，注意 x² 表示 2² = 4，而不是 2 × 2 的书写歧义，且 -x² 意为 -(x²)，不是 (-x)²。易错点：代入时算成 -4 + 16 之外的错误结果，或漏写单位 kW·h。
7解答题
【社会热点情境】为控制某景区黄金周期间的游客总量，景区管委会根据新闻报道中的客流数据制定了限流方案。设当日游客量 y（单位：百人）与限流系数 x（0 ≤ x ≤ 10）之间满足二次函数关系 y = -2x² + 20x + 60。请解答下列问题（要求写出完整的计算步骤）：
（1）将该二次函数化为顶点式，指出其图象的开口方向、对称轴与顶点坐标；
（2）当限流系数 x 取何值时，当日游客量 y 达到最大值？最大游客量是多少百人？
（3）为保证游览体验，景区要求当日游客量不低于 96 百人，请根据函数关系求出限流系数 x 的取值范围。
答案：（1）y = -2x² + 20x + 60 = -2(x² - 10x) + 60 = -2(x² - 10x + 25 - 25) + 60 = -2(x - 5)² + 50 + 60 = -2(x - 5)² + 110。
因为 a = -2 < 0，所以图象开口向下；对称轴为直线 x = 5；顶点坐标为 (5, 110)。
（2）由（1）知，当 x = 5 时，y 取得最大值，最大值为 110 百人。
（3）由 y ≥ 96 得：-2x² + 20x + 60 ≥ 96，即 -2x² + 20x - 36 ≥ 0，两边同除以 -2（不等号方向改变）得 x² - 10x + 18 ≤ 0。
解方程 x² - 10x + 18 = 0，由求根公式得 x = (10 ± √(100 - 72))/2 = (10 ± √28)/2 = 5 ± √7。
所以不等式的解集为 5 - √7 ≤ x ≤ 5 + √7。又 0 ≤ x ≤ 10，而 5 - √7 ≈ 2.35 > 0，5 + √7 ≈ 7.65 < 10，故限流系数 x 的取值范围是 5 - √7 ≤ x ≤ 5 + √7。
解析：本题考查二次函数的配方、顶点与最值以及与一元二次不等式的结合，重在计算与推理步骤的完整性。
（1）配方是关键：易错点是只在括号内加 25 却忘记乘以外层系数 -2，正确做法是 -2(x - 5)² + 110，顶点纵坐标常被误算为 50 或 60；也可用公式 x = -b/(2a) = -20/(2×(-2)) = 5，y = (4ac - b²)/(4a) = (4×(-2)×60 - 400)/(4×(-2)) = (-480 - 400)/(-8) = 110，两种方法互相验证。
（2）开口向下时函数有最大值而非最小值，这是本册最易出错处；x = 5 落在 0 ≤ x ≤ 10 内，无需另讨论端点。
（3）列不等式后除以负数必须变号；解 x² - 10x + 18 ≤ 0 时若用因式分解易失败（判别式 Δ = 28 不是完全平方数），应使用求根公式，并注意 √28 = 2√7 后再除以 2 化简为 5 ± √7；最后要与定义域 0 ≤ x ≤ 10 取交集，写出最终范围。
8解答题
【新闻情境】某市新闻报道：为落实助农政策，某乡镇电商中心组织直播销售本地苹果。经测算，当苹果售价定为每千克 10 元时，每月可售出 6000 千克；售价每上涨 1 元，每月销量就减少 300 千克。已知苹果的进货成本为每千克 6 元，其他成本忽略不计。设售价为每千克 x 元（x ≥ 10），每月利润为 W 元。
（1）求 W 与 x 之间的函数关系式，并指出该抛物线的开口方向与对称轴；
（2）售价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少元？
（3）若该电商中心希望每月利润不低于 30000 元，求售价 x 的取值范围。
答案：（1）售价为 x 元时，每千克利润为 (x - 6) 元，月销量为 6000 - 300(x - 10) = 6000 - 300x + 3000 = 9000 - 300x（千克）。
所以 W = (x - 6)(9000 - 300x)
= 9000x - 300x² - 54000 + 1800x
= -300x² + 10800x - 54000。
其中 a = -300 < 0，抛物线开口向下；对称轴为 x = -10800/(2×(-300)) = 18。
（2）因为开口向下，函数在对称轴处取最大值。又售价 x ≥ 10，且销量 9000 - 300x ≥ 0 得 x ≤ 30，故 10 ≤ x ≤ 30，x = 18 在范围内。
W(18) = -300×18² + 10800×18 - 54000 = -97200 + 194400 - 54000 = 43200（元）。
故售价定为 18 元时，每月利润最大，最大利润为 43200 元。
（3）令 -300x² + 10800x - 54000 ≥ 30000，
即 -300x² + 10800x - 84000 ≥ 0，两边同除以 -300（不等号方向改变）得
x² - 36x + 280 ≤ 0，
解方程 x² - 36x + 280 = 0，判别式 Δ = (-36)² - 4×1×280 = 1296 - 1120 = 176，
x = [36 ± √176]/2 = [36 ± 4√11]/2 = 18 ± 2√11。
由 x² - 36x + 280 ≤ 0 得 18 - 2√11 ≤ x ≤ 18 + 2√11（其中 √11 ≈ 3.32，即约 11.36 ≤ x ≤ 24.64）。
结合实际范围 10 ≤ x ≤ 30，故售价 x 的取值范围是 18 - 2√11 ≤ x ≤ 18 + 2√11（约 11.4 元至 24.6 元）。
解析：本题考查二次函数实际应用（最值问题）与一元二次方程（公式法）的综合。
（1）建模是关键：销量表达式应为 6000 - 300(x - 10)，易错点是直接写成 6000 - 300x，忽略「每上涨 1 元」是相对 10 元基准而言；展开时也要注意 (x - 6)(9000 - 300x) 中 -6×9000 = -54000、-6×(-300x) = +1800x 的符号。
（2）开口方向由 a = -300 < 0 判断为开口向下，故有最大值；对称轴 x = -b/(2a) = 18，不能漏掉分母的 2a。同时必须检验 x = 18 是否在实际取值范围 10 ≤ x ≤ 30 内，这是本类题的常见失分点。
（3）列不等式后两边同除以负数 -300 时必须改变不等号方向，这是最易错处；用公式法解 x² - 36x + 280 = 0 时，Δ = 176，根为 18 ± 2√11，注意 √176 = √(16×11) = 4√11，除以 2 后系数变为 2√11，不要误写成 4√11；最后结果要与实际范围 10 ≤ x ≤ 30 取交集。