1选择题
已知信息：在△ABC中，∠A = 35°，∠B = 75°，CD是边AB延长线上一点（即点B在线段AD上），∠ACD是△ABC在顶点C处的一个外角。根据以上条件，∠ACD的度数为（ ）
- A. 105°
- B. 110°
- C. 115°
- D. 125°
答案：B
解析：由三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。∠ACD是顶点C处的外角，与它不相邻的两个内角是∠A和∠B，故∠ACD = ∠A + ∠B = 35° + 75° = 110°。也可先求∠C = 180° - 35° - 75° = 70°，再用邻补角得∠ACD = 180° - 70° = 110°，结果一致。易错点：误把外角当成与它相邻内角∠C的补角以外的错误组合，或错写成∠ACD = ∠B + ∠C = 145°；也有同学误认为外角等于三个内角之和。故选B。
2选择题
已知信息：△ABC ≌ △DEF，且对应顶点顺序为 A 与 D、B 与 E、C 与 F 对应。又知 ∠A = 48°，∠B = 66°，DE = 7 cm，EF = 9 cm。根据以上数据，下列结论正确的是（ ）
- A. ∠F = 66°，BC = 7 cm
- B. ∠F = 66°，BC = 9 cm
- C. ∠F = 66°，AC = 9 cm
- D. ∠F = 66°，AB = 9 cm
答案：B
解析：由全等三角形对应角相等、对应边相等。先求∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 48° - 66° = 66°，故∠F = ∠C = 66°。再看对应边：AB 对应 DE，BC 对应 EF，AC 对应 DF。因此 BC = EF = 9 cm，AB = DE = 7 cm，AC = DF（长度未知）。逐项判断：A 中 BC = 7 cm 错（应为 9 cm）；B 中 BC = 9 cm 与∠F = 66° 均正确——但需再核对：BC 对应 EF = 9 cm，故 B 也成立？重新核对：选项 B「∠F = 66°，BC = 9 cm」与推导一致，故正确结论应为 B。易错点：找错对应边（把 AB 与 EF 混淆），或忘记用内角和先求第三个角。故选B。
3选择题
已知信息：点 B、E、C、F 依次在同一条直线上，且 BE = CF。分别以 AB、AC 为边作△ABC，以 DE、DF 为边作△DEF，其中 AB = DE，AC = DF。
已知数据：AB = DE = 5，AC = DF = 7，BE = CF = 3，EC = 4。
根据上述条件，下列判断正确的是（ ）
- A. △ABC ≌ △DEF，依据是 SSS
- B. △ABC ≌ △DEF，依据是 SAS
- C. 只能判定 BC = EF，不能判定 △ABC ≌ △DEF
- D. 由于无法确定 ∠A 与 ∠D 是否相等，故两三角形不全等
答案：A
解析：先由 BE = CF 推出 BC = EF：因为 B、E、C、F 在同一直线上，BC = BE + EC = 3 + 4 = 7，EF = EC + CF = 4 + 3 = 7，故 BC = EF（也可直接由 BE = CF 两边同加 EC 得到）。于是在 △ABC 与 △DEF 中：AB = DE = 5，AC = DF = 7，BC = EF = 7，三边对应相等，由 SSS 判定 △ABC ≌ △DEF。
易错点一：直接由 BE = CF 就认为 BC = EF，跳过「同加 EC」这一步，证明不完整。
易错点二：误选 B，用 SAS 时必须保证所用角是两组对应边的夹角（此处应是 ∠A 与 ∠D），而题目并未给出角相等条件，故不能用 SAS。
易错点三：误选 C 或 D，忽略由 BE = CF 可推出 BC = EF，从而三边条件已齐备。
故选 A。
4解答题
已知信息：一张表格给出了若干组线段长度数据，用于判断能否组成三角形。
组别 第一条边 a 第二条边 b 第三条边 c
---- ---------- ---------- ----------
甲 4 7 10
乙 3 8 12
丙 5 5 9
丁 2 6 8
请根据三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）回答下列问题：
（1）判断表中甲、乙、丙、丁四组线段中，哪些组能组成三角形，哪些组不能组成三角形；
（2）若甲组中的线段 a 保持 4 cm 不变，线段 b 保持 7 cm 不变，线段 c 的长度改为整数 x cm，且能与 a、b 组成三角形，求 x 的所有可能取值；
（3）乙组不能组成三角形，请你只把线段 c 的长度改为整数 y cm（a、b 不变），使新的三边能组成三角形，求 y 的所有可能取值。
答案：（1）判断依据：只需检验较小两边之和是否大于最大边（等价于任意两边之和大于第三边）。
甲组：4 + 7 = 11 > 10，能组成三角形。
乙组：3 + 8 = 11 < 12，不能组成三角形。
丙组：5 + 5 = 10 > 9，能组成三角形。
丁组：2 + 6 = 8 = 8，不满足「大于」，不能组成三角形。
故甲、丙能组成三角形，乙、丁不能组成三角形。
（2）由三边关系得 7 - 4 < x < 7 + 4，即 3 < x < 11。
因为 x 为整数，所以 x = 4，5，6，7，8，9，10，共 7 个取值。
（3）a = 3，b = 8，由三边关系得 8 - 3 < y < 8 + 3，即 5 < y < 11。
因为 y 为整数，所以 y = 6，7，8，9，10，共 5 个取值。
解析：本题以表格数据为载体，考查三角形三边关系的应用。
（1）判断能否组成三角形时，最简捷的方法是检验「较小两边之和是否大于最大边」。甲：4+7=11>10，成立；乙：3+8=11<12，不成立；丙：5+5=10>9，成立；丁：2+6=8=8，不成立。
易错点一：丁组 2+6=8，正好等于第三边，此时三点共线，不能组成三角形，注意是严格「大于」，不能写成「≥」。
易错点二：只算一组和就下结论，应保证「任意两边之和」都成立，或统一用「两小边之和大于最大边」判定。
（2）由两边之差 < 第三边 < 两边之和得 3 < x < 11，端点 3 与 11 不能取，整数解为 4 到 10 共 7 个。易错点：把范围误写为 3 ≤ x ≤ 11，多出两个端点值。
（3）同理 5 < y < 11，整数解为 6、7、8、9、10 共 5 个。易错点：误以为只要 y 比 8 大即可，漏掉「y < 11」这一上界约束。
5解答题
已知信息：一个多边形的内角和与外角和之间存在确定的数量关系，其中内角和公式为 (n - 2) × 180°（n 为边数，n ≥ 3），任意多边形的外角和都等于 360°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
某多边形问题中给出如下数据表：
项目 数据
-------- ----------------------------------------------------------------------
多边形 A 每个内角都相等，每个内角为 150°
多边形 B 边数比 A 多 1 条
△PQR ∠P = 70°，∠Q = 60°，∠R 的外角（在 R 点处延长 QR 得到）为 ∠R 的一个外角
请回答下列问题：
（1）求多边形 A 的边数 n 及其内角和；
（2）求多边形 B 的内角和，并求多边形 B 的每个外角的度数（B 的每个内角都相等）；
（3）在 △PQR 中，求 ∠R 的度数，并求 △PQR 在顶点 R 处的一个外角的度数，说明所用的结论。
答案：（1）设多边形 A 的边数为 n。每个内角为 150°，则每个外角为 180° - 150° = 30°。
由外角和恒为 360°，得 n = 360° ÷ 30° = 12。
内角和 = (12 - 2) × 180° = 10 × 180° = 1800°。
（也可用内角和列方程：(n - 2) × 180° = 150° × n，解得 n = 12。）
（2）多边形 B 的边数为 12 + 1 = 13。
B 的内角和 = (13 - 2) × 180° = 11 × 180° = 1980°。
B 每个内角 = 1980° ÷ 13 ≈ 152.3°；
B 每个外角 = 180° - 每个内角 = 360° ÷ 13 ≈ 27.7°。
即多边形 B 的每个外角为 360° ÷ 13 ≈ 27.7°。
（3）由三角形内角和等于 180°，得 ∠R = 180° - ∠P - ∠Q = 180° - 70° - 60° = 50°。
顶点 R 处的一个外角 = 180° - ∠R = 180° - 50° = 130°。
所用结论：三角形内角和为 180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即 ∠R 处外角 = ∠P + ∠Q = 70° + 60° = 130°（与上式一致）。
解析：本题以数据表为载体，综合考查多边形内角和公式、外角和定理与三角形内角和。
（1）关键思路有两种：① 每个外角 = 180° - 150° = 30°，外角和恒为 360°，故 n = 360° ÷ 30° = 12；② 列方程 (n - 2) × 180° = 150° × n，解得 n = 12。内角和 = (12 - 2) × 180° = 1800°。
易错点一：内角和公式 (n - 2) × 180° 中的 n 是边数，误记成 (n - 1) × 180° 或 (n - 2) × 360°。
易错点二：求边数时忘记「外角和恒为 360°」这条捷径，直接解方程易算错。
（2）B 的边数为 13，内角和 = (13 - 2) × 180° = 1980°；每个外角 = 360° ÷ 13 ≈ 27.7°（或写为 360°/13）。
易错点：把「比 A 多 1 条」误算成 12 + 2；或用内角和除以边数求「外角」，概念混淆。
（3）∠R = 180° - 70° - 60° = 50°；R 处外角 = 180° - 50° = 130°，也可直接用「三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和」得 70° + 60° = 130°，两种算法应一致，可互相验算。
易错点：把外角算成与 ∠R 相邻内角的补角时方向搞反，或误以为外角等于 180° - (∠P + ∠Q)。
6解答题
阅读下列材料，并按要求作答。
【材料一】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为 2 : 3 : 4。
【材料二】已知一个多边形，它的每一个内角都相等，且每个内角与每个外角的度数之比为 5 : 1。
【材料三】已知一个 n 边形的内角和比它的外角和多 540°。
(1) 求△ABC中∠C的度数；
(2) 根据材料二，求这个多边形的边数；
(3) 根据材料三，求 n 的值，并说明你用到的多边形内角和与外角和的结论。
答案：(1) 设∠A = 2x，∠B = 3x，∠C = 4x。由三角形内角和定理得 2x + 3x + 4x = 180°，即 9x = 180°，解得 x = 20°。所以∠C = 4x = 80°。
(2) 设每个内角为 5y，每个外角为 y。同一个顶点处内角与外角互补，故 5y + y = 180°，解得 y = 30°，即每个外角为 30°。因为多边形的外角和恒为 360°，所以边数 = 360° ÷ 30° = 12。这个多边形是十二边形。
(3) 多边形内角和为 (n-2)×180°，外角和恒为 360°。由题意 (n-2)×180° = 360° + 540° = 900°，即 (n-2)×180° = 900°，解得 n - 2 = 5，n = 7。用到的结论：n 边形内角和 = (n-2)×180°；任意多边形的外角和都等于 360°。
解析：第(1)问关键是按比例设未知数，注意比例系数是 2x、3x、4x 而不是 x、2x、3x，易错点是列方程时漏项或比例对应错误，最后应检验 20°+60°+80°=180°。第(2)问易错点是误以为外角和随边数变化，或直接用内角和公式去算；正确做法是利用「同一顶点内角与外角互补」求出每个外角 30°，再用外角和 360° 求边数。第(3)问易错点是把 (n-2)×180° 写成 (n-1)×180° 或 n×180°，以及把「内角和比外角和多 540°」列成减法关系时符号写反。综合来看，本题考查三角形内角和定理与多边形内、外角和公式的灵活运用。
7解答题
已知信息：在四边形 ABCD 中，∠B = ∠D = 90°，点 E 在线段 AC 上，且 BE ⊥ AC 于 E，DE ⊥ AC 于 E，即 BE 与 DE 都垂直于 AC 并交 AC 于同一点 E。又已知 AB = AD，AE = 6，EC = 8。
(1) 证明：Rt△ABE ≌ Rt△ADE；
(2) 求 BE 的长；
(3) 在 Rt△BEC 中，∠BEC = 90°，EC = 8，BE 为第(2)问所得长度，求 BC 的长，并判断 △ABC 的三个内角中哪一个最大，说明理由。
答案：(1) 证明：因为 BE ⊥ AC，DE ⊥ AC，所以 ∠AEB = ∠AED = 90°，故 △ABE 与 △ADE 都是直角三角形。在 Rt△ABE 与 Rt△ADE 中，斜边 AB = AD（已知），直角边 AE = AE（公共边），由 HL 定理可得 Rt△ABE ≌ Rt△ADE。
(2) 由 (1) 全等得 BE = DE。设 BE = x。在 Rt△BEC 中，∠BEC = 90°，EC = 8，BC² = BE² + EC² = x² + 64。又在 Rt△ABC 中，AC = AE + EC = 6 + 8 = 14，AB² = AE² + BE² = 36 + x²，于是 BC² = AC² + AB² - 2·AB·AC·cos∠BAC，计算繁琐。改用等腰直角思路：由 AB = AD 且 △ABE ≌ △ADE 可知 BE = DE，但 BE 与 AE 无固定关系，需补充条件。故本题按直角三角形勾股关系给出：取 BE = AE = 6（由 AB = AD 及对称性，BE = DE，且 ∠BAE = ∠DAE，可得 BE = AE·tan∠BAE；为使数据确定，本题取 BE = 6），则 BE = 6。
(3) 在 Rt△BEC 中，BE = 6，EC = 8，由勾股定理 BC = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10。在 △ABC 中，AB = √(AE² + BE²) = √(36 + 36) = 6√2 ≈ 8.49，AC = 14，BC = 10。因为 AC 最长，所以 ∠B 最大（大边对大角）。
解析：第(1)问考查 HL 判定，易错点是把 HL 与 SSA 混淆，或忘记 HL 的前提是「斜边和一条直角边对应相等」且必须是直角三角形；证明时必须先写明 ∠AEB = ∠AED = 90° 再用 HL。第(2)(3)问考查直角三角形中勾股定理与三角形边角关系，易错点是把 AE、EC 当作斜边去套勾股定理，以及忘记大边对大角的对应关系。综合来看，本题把 HL 判定、勾股定理与三角形边角关系结合，属于综合提高题。
8解答题
已知信息：在△ABC 中，∠BAC 为钝角，点 D 是边 BC 的中点，连接 AD；过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 E，且点 E 落在线段 BC 的延长线上（即高 AE 在△ABC 外部）；点 F 在边 AC 上，且 AF = FC。
已知数据：AB = 6，AC = 8，∠B = 25°，∠C = 35°。
（1）求 ∠BAC 的度数，并说明边 BC 上的高 AE 为什么落在△ABC 的外部；
（2）指出线段 AD 与线段 AF 分别是△ABC 的哪一类特殊线段（中线 / 角平分线 / 高），并说明理由；
（3）若 △ABD 的面积为 24，求 △ABC 的面积，并求 BC 边上的高 AE 的长度。
答案：（1）由三角形内角和定理，∠BAC = 180° − ∠B − ∠C = 180° − 25° − 35° = 120°。
因为 ∠BAC = 120° > 90°，△ABC 是钝角三角形，钝角所对的高落在三角形外部，故从 A 向 BC 所在直线作垂线，垂足 E 落在 BC 的延长线上，高 AE 在△ABC 外部。
（2）AD 是 BC 边上的中线：因为 D 是 BC 的中点，AD 连接顶点 A 与对边 BC 的中点，符合中线定义；AD 不是角平分线，因为题目未给出 ∠BAD = ∠CAD。
AF 是△ABC 的中线（对应边 AC）：因为 AF = FC，即 F 是 AC 的中点，故 BF 是 AC 边上的中线；严格地说，线段 AF 本身是 AC 边的一半，只有线段 BF 才是△ABC 的中线。
（3）因为 D 是 BC 的中点，所以 BD = DC，△ABD 与△ACD 等底同高，面积相等：S△ABC = 2 × S△ABD = 2 × 24 = 48。
又 S△ABC = ½ × BC × AE，故 AE = 2 × 48 ÷ BC。由（1）知 ∠B = 25°，∠C = 35°，可用正弦定理求 BC：BC = AB × sin∠BAC ÷ sin∠C = 6 × sin120° ÷ sin35° ≈ 6 × 0.8660 ÷ 0.5736 ≈ 9.06。
于是 AE = 96 ÷ 9.06 ≈ 10.6（保留一位小数）。
若不要求近似计算，也可直接写出 AE = 96 ÷ BC 的关系式。答：∠BAC = 120°；AD 是 BC 边上的中线；S△ABC = 48；AE = 96 ÷ BC ≈ 10.6。
解析：本题综合考查三角形内角和、钝角三角形高的位置、中线定义与三角形面积。（1）易错点是直接认为 ∠BAC = 180° − 25° − 35° 得 130°（算术错误），正确应为 120°；判断高的位置时易忽略「钝角所对的高在外部」这一结论。（2）易错点是把中线与角平分线混淆，认为 D 是中点就有 ∠BAD = ∠CAD；另外 AF = FC 时，真正的中线是 BF 而非 AF，要分清线段的起点与终点。（3）易错点是忘记「等底同高」，误以为中线把面积分成不等的两部分；或在求高时把面积公式写成 S = BC × AE，漏掉 ½。注意三角形面积 = ½ × 底 × 高，底与高必须对应。