1选择题
已知信息：算式 29÷4＝7……1。
下面关于这个算式的说法，正确的是（ ）。
- A. 4是被除数，29是除数，7是商，1是余数
- B. 余数是1，1比除数4小，符合余数的规则
- C. 验算时用 7×4－1＝27，正好等于被除数29
- D. 余数1比除数4小，说明还可以再分出1份
答案：B
解析：逐项判断：A项把被除数和除数的位置说反了——29是被除数（要分的总数），4是除数（每份的个数），7是商（分的份数），1是余数，故A错误。B项：余数是1，1＜4，符合「余数一定要比除数小」的铁律，说法正确。C项：验算公式是「商×除数＋余数＝被除数」，应为7×4＋1＝28＋1＝29，而不是减1，7×4－1＝27≠29，故C错误。D项：余数比除数小，恰恰说明剩下的不够再分出一份，若还能再分就应把商加1，故D说法错误。易错点：被除数与除数位置混淆；验算时误用减法；对「余数小于除数」的含义理解反了。故选B。
2选择题
下面是一张除法算式检查表，表中有四个算式，请先读完表格再作答。
序号 算式 竖式中的余数
---- ------ ------------
① 23 ÷ 4 3
② 31 ÷ 5 6
③ 40 ÷ 7 5
④ 18 ÷ 6 2
已知规则：余数一定要比除数小，否则说明还能继续分。根据这条规则，表中余数写错的算式是（ ）。
答案：B
解析：逐个检查余数是否比除数小：① 23 ÷ 4，余数 3 小于除数 4，且 4×5=20，23-20=3，正确；② 31 ÷ 5，余数 6 大于除数 5，违反“余数＜除数”，说明还能再分 1 个 5，正确写法应是 31÷5=6……1；③ 40 ÷ 7，余数 5 小于除数 7，且 7×5=35，40-35=5，正确；④ 18 ÷ 6，18÷6=3 恰好分完，余数应为 0，写成余 2 是错的……但本题问的是“违反余数比除数小”这一规则的算式，④ 中余数 2 虽然小于除数 6，但可用验算 6×3+2=20≠18 说明它同样不对。本题规则明确限定为“余数一定要比除数小”，只有 ② 的余数 6 大于除数 5，直接违反该条铁律。易错点：只盯着数字大小乱猜，不逐一比较余数和除数；或把“余数不能为 0”与本题规则混淆。故选B。
3选择题
把下面的图形按“△ ○ ○ ☆”四个一组依次重复排列：
△ ○ ○ ☆ △ ○ ○ ☆ △ ○ ○ ☆ ……
已知信息：第 1 个是△，第 2 个是○，第 3 个是○，第 4 个是☆，之后每 4 个重复一次。
照这样排下去，第 19 个图形是（ ）。
答案：B
解析：每 4 个图形为一组，求第 19 个在第几组的第几个，用有余数的除法：19 ÷ 4 = 4……3，商 4 表示前面排满 4 组，余数 3 表示第 19 个是第 5 组的第 3 个。一组里第 3 个是○，所以第 19 个是○。易错点：①误把余数当作“第几组”，选成第 5 组对应的开头△；②算 19÷4 时口诀不熟，误算成商 4 余 0 或商 5；③忘记余数 3 要对应“一组中的第 3 个”，而不是第 4 个。结论：第 19 个图形是○，故选B。
4选择题
下面是一张竖式计算的检查表，小明用竖式计算了四道有余数的除法，每道都算出了商和余数。
算式 商 余数
------ -- ----
23 ÷ 6 3 5
34 ÷ 7 5 1
41 ÷ 8 5 2
50 ÷ 9 5 4
老师说："余数一定要比除数小，而且商×除数＋余数要等于被除数。"请你按照这两条规则检查表中的四道题，其中完全正确的是（ ）。
- A. 23÷6＝3……5
- B. 34÷7＝5……1
- C. 41÷8＝5……2
- D. 50÷9＝5……4
答案：A
解析：逐项按"余数比除数小"和"商×除数＋余数＝被除数"两条规则检查。
A 项：余数5＜除数6，看似可以；但验算 3×6＋5＝23，等于被除数，形式上成立吗？再看试商：6×3＝18，23－18＝5，余数5虽小于6，但6×4＝24＞23，商3正确，3×6＋5＝23，其实也成立……这里要重新仔细验算：3×6＝18，18＋5＝23，与被除数相等，A 项数值无误。
B 项：5×7＝35＞34，试商过大，34÷7 应商4余6？不对，7×4＝28，34－28＝6，余数6＜7，正确结果应为 4……6。表中写成 5……1，验算 5×7＋1＝36≠34，错误。
C 项：8×5＝40，41－40＝1，正确结果应为 5……1。表中写 5……2，验算 5×8＋2＝42≠41，错误。
D 项：9×5＝45，50－45＝5，正确结果应为 5……5。表中写 5……4，验算 5×9＋4＝49≠50，错误。
经过完整验算：A 项 3×6＋5＝23，验算成立，且余数5＜除数6，符合两条规则；B、C、D 三项验算均不等于被除数，都不正确。
易错点：只看"余数比除数小"就下结论，忽略用"商×除数＋余数＝被除数"进行验算；或者试商时用错乘法口诀，导致商偏大或余数算错。
结论：完全正确的是 A。故选A。
5填空题
按规律填一填。
把一些圆片按"每 4 个一组"排成一排，排列情况用除法表示：总数 ÷ 4 ＝ 组数……余下的个数。
已知信息：
① 总数是 23 个时，23 ÷ 4 ＝ 5……3，说明排满 5 组，还多出 3 个；
② 总数是 30 个时，30 ÷ 4 ＝ 7……2，说明排满 7 组，还多出 2 个；
③ 总数是 45 个时，45 ÷ 4 ＝ 11……1，说明排满 11 组，还多出 1 个。
请根据上面的信息填空：
（1）余下的个数一定比除数 4（ ）（填"大"或"小"）；
（2）用验算公式"商×除数＋余数＝被除数"检查第②题：____×4＋____＝30；
（3）如果总数是 38 个，那么 38 ÷ 4 ＝（ ）……（ ），排满（ ）组，还多出（ ）个；
（4）把上面三道题的余数 3、2、1 依次排成一行，再接着往下写，按"3、2、1"重复排列，第 7 个数是（ ）。
答案：（1）小（余数一定比除数小，这里余数 3、2、1 都小于 4）。
（2）7×4＋2＝30（第②题商是 7，余数是 2，验算 7×4＝28，28＋2＝30，与被除数相等）。
（3）38 ÷ 4 ＝ 9……2；想 4×9＝36 最接近 38 且不超过 38，38－36＝2，余数 2＜4，正确。所以排满 9 组，还多出 2 个。
（4）余数按"3、2、1"重复排列，周期是 3。7÷3＝2……1，前面排了 2 个完整周期，第 7 个数是第 3 个周期的第 1 个，即 3。
解析：（1）考查"余数一定比除数小"这一铁律，易错点是只凭感觉填"大"或"一样"。
（2）考查验算公式"商×除数＋余数＝被除数"，代入第②题得 7×4＋2＝30。易错点是把商和余数位置写反，写成 2×4＋7。
（3）考查竖式试商四步法"商、乘、减、比"：4×9＝36 最接近 38 且小于 38，38－36＝2，余数 2＜4，结果为 9……2。易错点：商写成 10（4×10＝40＞38，商过大），或算余数时 38－36 算成 3。
（4）考查用有余数除法解决周期问题：周期长度 3，7÷3＝2……1，余数 1 表示取每组的第 1 个数，即 3。易错点：误认为余数 1 表示第 2 个周期的第 1 个（即第 4 个位置），或把余数 0 的情况与余数 1 混淆（若余数为 0，则应取每组的最后一个）。
6解答题
下面是四个有余数的除法算式，请按要求作答。
已知信息：
① 23 ÷ 5 = 4……3
② 19 ÷ 3 = 5……4
③ 26 ÷ 4 = 6……2
④ 17 ÷ 6 = 2……5
（1）哪个算式有问题？请指出它错在哪里，并改正。
（2）请用「商 × 除数 + 余数 = 被除数」的方法，验算算式③，写出验算过程。
（3）观察算式①③④，说一说余数和除数的大小关系，并用一句话说明为什么必须这样。
答案：（1）算式②有问题。它错在余数比除数大：除数是3，余数是4，4＞3，说明商小了，还能再分。改正：19 ÷ 3 = 6……1（因为 3 × 6 = 18，19 − 18 = 1，1＜3）。
（2）验算算式③：6 × 4 + 2 = 24 + 2 = 26，与被除数26相等，所以 26 ÷ 4 = 6……2 正确。
（3）观察算式①（3＜5）、③（2＜4）、④（5＜6），余数都比除数小。原因是：如果余数和除数一样大或者更大，就说明还能再分一份，商就应该再增加。
解析：本题考查有余数除法的两条核心规则：余数必须比除数小；商×除数+余数=被除数。
（1）易错点：学生习惯只看商是否正确，不检查余数与除数的大小关系。判断依据是「余数＜除数」，②中余数4＞除数3，说明商写小了，应改为商6余1。
（2）验算时容易漏掉「加余数」这一步，只算 6 × 4 = 24 就与被除数比较，得出错误结论。正确验算是 6 × 4 + 2 = 26。
（3）易错点：只答「余数比除数小」而不说明原因。要理解「还能不能再分」的含义，才能真正掌握这条铁律。
7解答题
已知信息：一串彩珠按「3 红、2 黄、1 蓝」的顺序重复排列，也就是说每 6 颗珠子为一组，排列顺序是：红、红、红、黄、黄、蓝，然后又是红、红、红、黄、黄、蓝……
请根据上面的排列规律回答下面的问题：
（1）第 25 颗珠子是什么颜色？请写出思考过程和算式。
（2）前 25 颗珠子里，红珠子一共有多少颗？
（3）小明说：「按这样排下去，第 30 颗珠子是黄色的。」他说得对吗？请用算式说明理由。
答案：（1）每组 3 + 2 + 1 = 6（颗）。25 ÷ 6 = 4（组）……1（颗），余下的 1 颗是第 5 组的第 1 颗，每组第 1 颗是红色。所以第 25 颗珠子是红色。
（2）每组有红珠子 3 颗，4 组共有 4 × 3 = 12（颗）；余下的 1 颗正好是红色，所以 12 + 1 = 13（颗）。前 25 颗珠子里红珠子有 13 颗。
（3）他说得不对。30 ÷ 6 = 5（组）……0（颗），也就是正好排满 5 组，没有余数。每组的最后一颗是蓝色，所以第 30 颗珠子是蓝色，不是黄色。
解析：本题考查用有余数除法解决周期问题，同时结合乘法计算数量。
（1）易错点：把「3红2黄1蓝」误认为一组 5 颗（漏掉 1 蓝），导致周期数错误。正确做法是先算出一组的总数 6 颗，再用 25 ÷ 6 求余数。余数 1 表示新一组的第 1 颗，对应红色。
（2）易错点：只算完整 4 组的红珠子 12 颗，忘了把余下那 1 颗（也是红色）加上；或者反过来把余下的 1 颗当成黄珠子。关键是看余数对应的位置是什么颜色。
（3）易错点：认为「有余数才有规律答案」，忽略了整除的情况。30 ÷ 6 正好整除，说明第 30 颗是一组的最后一颗，应是蓝色。学生若用 30 ÷ 5 或按 6 颗一组取余数时算错，都会得出错误结论。
8解答题
已知信息：把37个小圆片按每6个一组摆成一排，摆了几排后，小圆片还有剩余。
（1）用有余数的除法算式表示分的过程，并算出摆了几排、还剩几个。
（2）写出这个算式里各部分的名称，并说一说余数表示什么意思。
（3）用「商×除数＋余数＝被除数」验算你的结果。
（4）剩下的小圆片如果还想摆成一排，够不够？为什么？
答案：（1）37÷6＝6（排）……1（个），摆了6排，还剩1个。
（2）37是被除数，表示小圆片的总个数；6是除数，表示每排的个数；6是商，表示排数；1是余数，表示分完6排后剩下、不够再摆一排的小圆片个数。
（3）验算：6×6＋1＝36＋1＝37，与被除数相等，计算正确。
（4）不够。因为余数1比除数6小，剩下的1个小圆片不够摆成一排（每排需要6个）。
解析：本题考查有余数除法的意义、算式各部分名称、验算方法及「余数一定比除数小」这一铁律。想口诀：六六三十六，最接近37且不超过37，所以商6；37－36＝1，余数为1。易错点：①商和余数的单位名称写错或漏写（商的单位是「排」，余数的单位是「个」）；②把余数1误解为还能再摆一排，忽视「余数必须小于除数」；③验算时漏加余数，写成6×6＝36就认为正确。第（4）问的判断依据正是1＜6。