1选择题
为倡导绿色出行，某市新闻报道了共享单车的使用情况：骑行者从地铁站到科技园的路程固定，骑行所用时间 t（单位：min）与骑行平均速度 v（单位：m/min）成反比例关系。已知当平均速度为 200 m/min 时，骑行时间为 9 min。下列说法正确的是（ ）
- A. t 与 v 的函数关系式为 t = 200/v，且 v > 0
- B. t 与 v 的函数关系式为 t = 1800/v，且 v > 0
- C. t 与 v 的函数关系式为 t = 1800/v，比例系数 k = -1800
- D. t 与 v 的函数关系式为 t = 9/v，且 v > 0
答案：B
解析：路程固定时，时间与速度成反比例，设 t = k/v（k ≠ 0）。将 v = 200、t = 9 代入得 9 = k/200，解得 k = 200 × 9 = 1800，所以 t = 1800/v。又因为速度 v 是实际问题中的量，必须满足 v > 0，故函数关系式为 t = 1800/v（v > 0）。易错点：一是求 k 时误用 k = v÷t 或直接把已知时间当作 k（误选 D）；二是忽略实际意义中自变量的取值范围；三是把 k 的符号判断反（误选 C）。故选 B。
2选择题
某地新闻报道了一项节能改造工程：改造后一台设备的功率 P（单位：W）与完成同样工作所需时间 h（单位：h）成反比例关系，其函数关系式为 P = 1200/h（h > 0）。下列结论正确的是（ ）
- A. 比例系数 k = 1200 > 0，函数图像位于第二、四象限，P 随 h 的增大而增大
- B. 比例系数 k = 1200 > 0，函数图像位于第一、三象限，P 随 h 的增大而减小
- C. 比例系数 k = -1200 < 0，函数图像位于第二、四象限，P 随 h 的增大而增大
- D. 比例系数 k = 1200 > 0，函数图像位于第一、三象限，P 随 h 的增大而增大
答案：B
解析：由 P = 1200/h 可知比例系数 k = 1200 > 0。根据反比例函数性质：当 k > 0 时，双曲线位于第一、三象限，在每一象限内 P 随 h 的增大而减小。故 B 正确。易错点：一是 k 的正负判断反，误认为 k < 0 而选 C；二是把象限记错，误选 A；三是把增减性记反，误选 D（k > 0 时应是「y 随 x 增大而减小」）。另外，本题实际图像只取第一象限的一支（h > 0），但性质判断仍按 k > 0 的规律进行。故选 B。
3选择题
【新闻情境】某公益组织发起「爱心图书漂流」活动，媒体报道称：某社区计划募集图书，若每位志愿者平均负责整理图书 x 本（x＞0），则所需志愿者人数 y 与 x 满足反比例关系 y = 480/x。下列关于该反比例函数图像与性质的说法，正确的是（ ）
- A. 该函数的图像位于第二、四象限，y 随 x 的增大而增大
- B. 该函数的图像位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
- C. 图像上任一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 480
- D. 图像关于 y 轴对称
答案：B
解析：函数 y = 480/x 中 k = 480＞0，因此双曲线的两支分别位于第一、三象限，且在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小，B 正确。A 中「第二、四象限、y 随 x 增大而增大」是 k＜0 时的性质，与本题 k＞0 相反，故错误。C 是本题的易错点：反比例函数 y = k/x 图像上任一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 |k|，本题 |k| = 480，数值恰好相同，但若 k＜0 时面积也应取绝对值，故 C 的表述把「面积等于 k」与「面积等于 |k|」混为一谈——严格来说矩形面积应为 |k|，而本题 k = 480＞0，|k| = 480，看似正确，但选项 C 未指明是「图像上任一点」与坐标轴围成的矩形，且面积恒为 |k| 的结论必须建立在点位于图像上的前提下，表述不严谨，故不选。D 错误：反比例函数图像关于原点对称，而不是关于 y 轴对称。综上，说法正确的是 B。
4填空题
【新闻情境】某市推广新能源汽车充电服务，媒体报道中给出一组数据：在一个充电站，若每台充电桩的平均输出功率为 x kW（x＞0），则可同时服务的车辆数 y 与 x 成反比例关系。已知当 x = 20 时，y = 15。
（1）y 与 x 之间的函数关系式为 y = ______；
（2）当每台充电桩的平均输出功率提高到 30 kW 时，可同时服务的车辆数为 ______；
（3）若该充电站计划同时服务 60 辆车，则每台充电桩的平均输出功率至少应达到 ______ kW。
答案：（1）设 y = k/x（k ≠ 0）。将 x = 20，y = 15 代入，得 k = 20 × 15 = 300，故 y = 300/x。
（2）当 x = 30 时，y = 300 ÷ 30 = 10，即可同时服务 10 辆车。
（3）当 y = 60 时，60 = 300/x，解得 x = 5，故每台充电桩的平均输出功率至少应达到 5 kW。
答案：（1）y = 300/x；（2）10；（3）5。
解析：本题考查反比例函数的概念与 k 的求法。求 k 时用 k = x × y，这是反比例函数图像上任一点横纵坐标之积等于 k 的直接应用，也是课本例题「点（2,3）在 y = k/x 上，则 k = 6」的变式。易错点：① 求 k 时误用 k = x ÷ y；② 第（2）（3）问代入关系式时把 x 与 y 的对应位置弄反，例如将 y = 300/x 误写成 y = 30x；③ 忽略 x ＞ 0 的实际意义（功率不能为负或零）。解题时应先由一组对应值确定 k，再代入求解，最后检验结果是否符合实际情境。
5解答题
为了倡导绿色出行，某市新闻报道了地铁早高峰客运量与发车间隔的关系。数据显示：早高峰时段，某地铁线路的单程发车间隔 x（单位：分钟）与该时段的客运量 y（单位：千人次）近似满足反比例函数关系 y = k/x（k ≠ 0）。已知当发车间隔为 4 分钟时，该时段客运量为 60 千人次。
（1）求 k 的值，并写出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）若在该反比例函数图像上取一点 P，过 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 M、N，求矩形 PMON 的面积；
（3）当发车间隔为 5 分钟时，该时段的客运量是多少千人次？
答案：（1）由题意知点 (4, 60) 在反比例函数 y = k/x 的图像上，
所以 k = x × y = 4 × 60 = 240。
故函数关系式为 y = 240/x（x > 0）。
（2）由反比例函数系数 k 的几何意义：过图像上任一点向两坐标轴作垂线，所围矩形的面积等于 |k|。
因为 k = 240 > 0，所以矩形 PMON 的面积 = |k| = 240。
（3）当 x = 5 时，y = 240 ÷ 5 = 48。
答：当发车间隔为 5 分钟时，该时段客运量为 48 千人次。
解析：本题考查反比例函数的求 k 方法与 k 的几何意义（矩形面积）。
（1）求 k 的关键是用 k = x × y，代入点 (4, 60) 得 k = 240，注意 k 为正，说明图像在一、三象限（实际问题中 x > 0，取第一象限一支）。
（2）易错点：①把矩形面积误记为 |k|/2，那是过图像上一点作垂线与坐标轴围成的三角形面积；②忘记加绝对值符号。本题 k = 240 > 0，矩形面积为 |240| = 240。
（3）直接代入求值即可，注意单位是千人次。
易错提醒：不要把 x 与 y 的对应关系搞反（y 随 x 增大而减小，间隔越大客运量越小，代入 x = 5 得 48 < 60，符合实际）。
6解答题
为提升城市供水调度效率，某市水务部门在新闻发布会上公布了供水泵站的功率与运行时间的实验数据。已知泵站的供水功率 P（单位：kW）与单次运行时间 t（单位：h）满足反比例函数关系 P = k/t（k ≠ 0），且 P > 0。当运行时间为 2 小时时，供水功率为 90 kW。
（1）求 k 的值，并写出 P 与 t 的函数关系式；
（2）在该反比例函数图像上有一点 A，过 A 向 t 轴作垂线，垂足为 B，连接 OA。若 △OAB 的面积为 45，判断点 A 是否在该函数图像上，并说明理由；
（3）若某次运行要求供水功率不低于 60 kW，求单次运行时间 t 的取值范围。
答案：（1）由题意知点 (2, 90) 在 P = k/t 的图像上，
所以 k = t × P = 2 × 90 = 180。
故函数关系式为 P = 180/t（t > 0）。
（2）设点 A 的坐标为 (t₀, P₀)，则 OB = t₀，AB = P₀。
S△OAB = ½ × OB × AB = ½ × t₀ × P₀ = ½ |k|。
因为 k = 180 > 0，所以 S△OAB = ½ × 180 = 90。
题目给出 △OAB 的面积为 45 ≠ 90，故点 A 不在该函数图像上。
（3）由 P = 180/t ≥ 60，且 t > 0，
两边同乘正数 t，不等号方向不变：180 ≥ 60t，
解得 t ≤ 3。
结合 t > 0，得 0 < t ≤ 3。
答：单次运行时间 t 的取值范围为 0 < t ≤ 3（小时）。
解析：本题综合考查反比例函数求 k、三角形面积公式 |k|/2 与不等式应用。
（1）k = t × P = 2 × 90 = 180，易错点是代入时把 t 与 P 的数值弄混。
（2）核心是记住：过反比例函数图像上一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的三角形面积为 |k|/2，矩形面积为 |k|。此处 |k|/2 = 90，与题给的 45 不符，故点 A 不在图像上。易错点：①忘记除以 2，直接用 |k| 判断；②忽略 k 的符号，本题 k = 180 > 0，无需分类讨论。
（3）解不等式 180/t ≥ 60 时，必须注意 t > 0，同乘 t 不变号；若 t 可能为负才需讨论变号。本题 t 为运行时间，恒为正，故直接得 0 < t ≤ 3。易错点：①乘除负数忘记变号（本题不涉及负数，但需先确认 t 的符号）；②忘记结合实际意义 t > 0。
7解答题
为倡导绿色出行，某市推出了共享单车月卡优惠活动。经统计，月卡费用 y（元）与该月平均每天骑行次数 x（次）近似满足反比例函数关系 y = k/x（k ≠ 0，x > 0）。已知当平均每天骑行 4 次时，月卡费用为 30 元。
（1）求 k 的值，并写出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）某用户平均每天骑行 6 次，求他应付的月卡费用；
（3）若某用户希望月卡费用不超过 20 元，求平均每天骑行次数 x 的取值范围。
答案：（1）把 x = 4，y = 30 代入 y = k/x，得 30 = k/4，解得 k = 120。
所以函数关系式为 y = 120/x（x > 0）。
（2）当 x = 6 时，y = 120/6 = 20（元）。
答：他应付月卡费用 20 元。
（3）由 y ≤ 20，得 120/x ≤ 20。因为 x > 0，不等式两边同乘正数 x，不等号方向不变，得 120 ≤ 20x，即 x ≥ 6。
答：平均每天骑行次数 x 应满足 x ≥ 6。
解析：本题考查反比例函数的实际应用：由已知点求 k、求函数值以及由函数值范围解不等式。
（1）求 k 的本质是反比例函数图像上任一点的横、纵坐标之积等于 k，即 k = x·y = 4×30 = 120，这与「矩形面积等于 |k|」的意义一致。
（2）代入 x = 6 即可，注意结果要写单位。
（3）易错点一：解不等式 120/x ≤ 20 时，两边同乘 x 忘记 x > 0 这一前提，从而不确定不等号方向；本题 x 表示骑行次数，必为正数，故不等号方向不变，得 x ≥ 6。
易错点二：把 y = 120/x 误认为 y 随 x 增大而增大。由于 k = 120 > 0，在第一象限内 y 随 x 的增大而减小，这与「费用越低要求骑行越多」的结论 x ≥ 6 相符，可作自我检验。
易错点三：漏写 x > 0 这一自变量取值范围。
8解答题
某电商平台开展直播带货，统计发现：商品的月销量 y（万件）与直播时长 x（小时）满足反比例函数 y = k/x（k ≠ 0，x > 0），且图像经过点（3，20）。
（1）求 k 的值，并判断该反比例函数图像所在的象限；
（2）求当 x = 5 时的月销量 y；
（3）小明说：「因为图像在第一象限，所以月销量 y 随直播时长 x 的增大而减小，这个结论对整个图像都成立。」请判断小明的说法是否正确，并说明理由。
答案：（1）把 x = 3，y = 20 代入 y = k/x，得 20 = k/3，解得 k = 60。
因为 k = 60 > 0，所以该反比例函数的图像是双曲线，位于第一、三象限。
（2）当 x = 5 时，y = 60/5 = 12（万件）。
答：月销量为 12 万件。
（3）小明的说法不正确。
理由：当 k > 0 时，反比例函数 y = 60/x 的图像位于第一、三象限，「y 随 x 的增大而减小」这一性质必须加前提「在每个象限内」（即在第一象限内、在第三象限内分别成立）。
例如取第一象限内的点（5，12）与第三象限内的点（-5，-12），此时 x 由 -5 增大到 5，而 y 由 -12 减小到 12，y 反而增大，说明不能脱离「在每个象限内」这一前提谈论增减性。
又本题中 x 表示直播时长，x > 0，图像只在第一象限的一支上，此时才可以说 y 随 x 的增大而减小。
解析：本题考查反比例函数的概念、图像所在象限与增减性，紧扣「k 正一三、负二四」及「在每个象限内」这一易错前提。
（1）k = x·y = 3×20 = 60 > 0，故图像（双曲线）位于第一、三象限。易错点：把 k > 0 误判为第二、四象限，k 的符号与象限的对应关系必须记牢。
（2）代入得 y = 12，属直接应用，注意单位为万件。
（3）本问专门针对常见错误：脱离「在每个象限内」而笼统说增减性。正确表述应为「在每个象限内，y 随 x 的增大而减小」。可用跨象限的反例（如（-5，-12）到（5，12））说明整体上并不成立；同时结合实际情境指出 x > 0 时图像只取第一象限的一支。易错点：只答「正确」或只说「k > 0 所以减小」而不指出前提缺失。