1选择题
2024年全国科普活动周期间，某市科技馆展出了一批用塑料棒拼成的三角形模型。其中一个三角形模型的三个角中，已知有两个角分别是 105° 和 25°。关于这个三角形，下列说法正确的是（ ）。
- A. 第三个角是 60°，这是一个锐角三角形
- B. 第三个角是 50°，这是一个钝角三角形
- C. 第三个角是 50°，这是一个锐角三角形
- D. 第三个角是 60°，这是一个钝角三角形
答案：B
解析：先根据三角形内角和 180° 求第三个角：180° - 105° - 25° = 50°，所以排除 A、D 两个选项。再按角分类：看最大角是多少度。这个三角形三个角分别是 105°、25°、50°，最大角是 105°，105° > 90°，因此这是一个钝角三角形，C 选项说它是锐角三角形是错误的。易错点：一是计算第三角时误算成 180° - 105° - 25° = 60°（少减或加错）；二是只凭较小的 25° 或 50° 就判定它是锐角三角形，忽略了判断依据是「最大角」。故选B。
2选择题
新闻报道：为迎接校园科技节，学校手工小组用彩色木条制作了一个三角形指示牌。已知信息：这个三角形的三条边长分别是 6 厘米、6 厘米、9 厘米。下面关于这个三角形的说法，正确的是（ ）。
- A. 三条边都不相等，所以是不等边三角形
- B. 有两条边相等，所以是等腰三角形
- C. 三条边都相等，所以是等边三角形
- D. 有一个角是直角，所以是直角三角形
答案：B
解析：按边分类要看边的长度关系：这个三角形有两条边都是 6 厘米，相等，另外一条边是 9 厘米，不相等，所以它是等腰三角形。易错点：①误认为只要有两条边相等就是等边三角形，等边三角形要求三条边都相等，本题 9 厘米与 6 厘米不等，故不是等边三角形，C 错；②A 错在把「有两边相等」的三角形说成不等边三角形，不等边三角形要求三条边都不相等；③D 错在题目只给了边长，没有给出角是 90° 的信息，不能判断是直角三角形（事实上 6+6>9 能围成三角形，但边长关系并不能直接推出直角）。故选B。
3选择题
新闻报道：某市在旧城改造中修缮一座人字形屋顶，工人师傅在屋顶加装了一个三角形钢架以增强稳固性。已知信息：这个三角形钢架按角分类是直角三角形，其中一个锐角是 38°。这个三角形的另一个锐角是（ ）。
- A. 52°
- B. 42°
- C. 62°
- D. 142°
答案：A
解析：三角形的内角和是 180°。直角三角形中已经有一个直角 90°，另一个锐角为 38°，所以所求角为 180°-90°-38°=52°。易错点：①忘记直角三角形里隐含的 90°，直接算 180°-38°=142°，得到 D，这是最常见的错误；②只减了 90°，得到 90°-38°=52° 时应明确依据是内角和 180° 减去两个已知角；③B、C 是计算失误或误加误减产生的干扰项。故选A。
4选择题
新闻报道：为迎接校园科技节，学校要为新搭建的科普展台加固一个三角形支架。工人师傅选了三根长度分别为 6 厘米、8 厘米、15 厘米的钢条，准备焊接成三角形框架。请根据三角形三边关系判断：这三根钢条能否围成一个三角形？下面说法正确的是（ ）。
- A. 能，因为 6+8=14，比 15 只少一点，差不多可以
- B. 能，因为 8+15=23>6，另外两边之和也大于第三边，所以可以
- C. 不能，因为 6+8=14<15，两条较短的边加起来不够长，围不成三角形
- D. 不能，因为三角形任意两边之和必须等于第三边，而 6+8≠15
答案：C
解析：判断三根小棒能否围成三角形，最高效的方法是看两条较短边之和是否大于最长边。本题两条较短边为 6 厘米和 8 厘米，6+8=14（厘米），最长边为 15 厘米，14<15，两条较短边加起来比最长边还短，两端接不到一起，因此不能围成三角形。
易错点：① 只算出 6+8=14 后觉得“差一点点”，误认为差不多能围成（选项 A）——必须严格“大于”才行，差一点也不行；② 只验证了 8+15>6 这一组就下结论（选项 B）——验证不完整，必须以“较短两边之和大于最长边”为准；③ 把“任意两边之和大于第三边”误解为“等于第三边”（选项 D）——三边关系是“大于”，不是“等于”。故选 C。
5填空题
新闻报道：某地新建一座人行景观桥，桥面下方用一个三角形钢架支撑。施工图纸上标明：这个三角形钢架的一个内角是 95°，另一个内角是 40°。
（1）第三个内角是（ ）°。
（2）按角分类，这个三角形是（ ）三角形。
（3）工人师傅还要在桥栏杆上做一个等腰三角形的装饰牌，已知它的顶角是 70°，那么它的一个底角是（ ）°。
答案：（1）45°；（2）钝角；（3）55°。
解答过程：
（1）三角形的内角和是 180°，第三个内角＝180°－95°－40°＝45°。
（2）这个三角形中有一个角是 95°，95°＞90°，是钝角，所以按角分类，它是钝角三角形。
（3）等腰三角形的两个底角相等，内角和是 180°，两个底角的和＝180°－70°＝110°，一个底角＝110°÷2＝55°。
解析：本题考查三角形内角和为 180°、按角分类以及等腰三角形两底角相等的性质，都是课本例题的直接应用。
（1）180°－95°－40°＝45°，计算无误即可。
（2）按角分类看最大的角：95°＞90°，是钝角，所以是钝角三角形。易错点：看到有一个 40° 的锐角就误判为锐角三角形，或把 95° 看成锐角。分类依据是“最大的角属于哪一类”，不是“有没有锐角”。
（3）等腰三角形两底角相等，先用 180°－70°＝110° 求出两个底角的和，再除以 2 得 55°。易错点：① 忘记底角要除以 2，直接填 110°；② 把顶角当底角，用 70°÷2＝35°；③ 内角和记错成 90° 或 360°。
6解答题
为了加固新建成的社区健身广场的遮阳棚，施工队在遮阳棚两侧各安装了一个三角形钢架。已知信息：每个三角形钢架的三个内角中，最大角的度数是最小角的 3 倍，另一个角的度数是最小角的 2 倍。
（1）求这个三角形钢架三个角各是多少度，并按角分类说明它是什么三角形。
（2）施工队师傅说：「遮阳棚的支架做成三角形，是利用了三角形的特性。」请写出这个特性是什么，并举出一个生活中利用同样特性的例子。
（3）另一侧的钢架是一个等腰三角形，它的一个底角是 40°，求它的顶角是多少度，并说明它按角分类属于什么三角形。
答案：（1）设最小角为 x 度，则另一个角是 2x 度，最大角是 3x 度。根据三角形内角和是 180°，得 x + 2x + 3x = 180°，6x = 180°，x = 30°。所以三个角分别是 30°、60°、90°。最大角是 90°，等于 90°，因此这是一个直角三角形。
（2）三角形具有稳定性，即三角形的形状不容易改变（拉不动、不易变形）。生活中利用这一特性的例子：自行车车架、起重机吊臂、屋顶的三角形支架、电线杆上的三角形拉线架等，写出一个即可。
（3）等腰三角形两个底角相等，都是 40°。顶角 = 180° - 40° - 40° = 100°。因为顶角 100° > 90°，所以按角分类这是一个钝角三角形。
解析：本题综合考查三角形内角和、按角分类与三角形的稳定性。
第（1）问关键：把三个角的关系用同一个未知数表示，再用「内角和 180°」列等式。注意算出 90° 时要判断为直角三角形，不要误判成锐角三角形（易错点：认为「90° 不是钝角就是锐角」，或把 90° 也算成锐角）。
第（2）问关键：三角形的稳定性指「形状不易改变」，不是「不会移动」。举例要与三角形结构对应，若举伸缩门、伸缩衣架则错误（那是利用四边形的不稳定性）。
第（3）问关键：等腰三角形「两底角相等」，求顶角用 180° 减去两个底角。易错点：只减一个 40°，得 140°；或求出 100° 后误判为锐角三角形——判断按角分类始终看最大角。
三问共同提醒：三角形内角和是 180°，分类看最大角。
7解答题
新闻里报道：某市为老城区街道安装"三角形稳定支架"加固路灯底座，支架与地面、灯杆正好围成一个三角形。已知这个三角形中，与地面相邻的一个角是 65°，与灯杆相邻的一个角是 72°。
（1）请算出这个三角形第三个角的度数，并判断按角分类它属于哪一类三角形；
（2）工人师傅说："支架做成三角形，是因为三角形具有稳定性。"请再举出一个生活中利用三角形稳定性的例子，并简要说明为什么不用四边形。
（3）若把其中一个 65° 的角换成 90°，其余条件不变，请重新判断这个三角形按角分类属于哪一类。
答案：（1）三角形内角和是 180°，第三个角为：180°－65°－72°＝43°。
三个角分别是 65°、72°、43°，都是锐角，所以它是锐角三角形。
（2）示例：自行车车架、屋顶的木支架、电线杆的斜拉支架、伸缩门旁的固定三角撑等（写出一个即可）。因为四边形容易变形、"拉得动"，而三角形三条边长度确定后，形状就固定了，拉不动，所以要固定、承重的地方用三角形。
（3）把 65° 换成 90° 后，三个角为 90°、72°、180°－90°－72°＝18°，有一个角是直角，所以它是直角三角形。
解析：本题考查三角形内角和 180° 的直接应用与按角分类，属于课本例题的变形。
（1）易错点：①内角和记错成 360°（与周角混淆），应牢记三角形内角和是 180°；②算出 43° 后只写度数不分类，或误判为钝角三角形——判断按角分类要看"最大角"，本题最大角 72°＜90°，故是锐角三角形。
（2）易错点：例子举成"三角形好看"这类非稳定性理由；说明时应抓住"四边形易变形、三角形具有稳定性"这一关键。
（3）易错点：换成 90° 后仍按原数据分类；只要有一个直角就是直角三角形，不必再看其余两角是否锐角（实际上其余两角必为锐角）。
8解答题
学校开展"我是社区测量小能手"活动，同学们测量并记录了三根木条的长度（单位：厘米），想用它们围成一个三角形花架：
第一根 12 厘米，第二根 18 厘米，第三根 30 厘米。
（1）请判断这三根木条能不能围成一个三角形，并说明理由。
（2）老师说第三根木条太长了，若保持第一根 12 厘米、第二根 18 厘米不变，只把第三根木条换掉，那么第三根木条的长度（取整厘米数）可以是多少？请写出所有可能的取值。
（3）在（2）的取值中，若选最长的那根，且测得此时三角形中与 12 厘米边相邻的一个角是 55°，与 18 厘米边相邻的一个角是 80°，请求出第三个角的度数，并判断按边分类这个三角形属于哪一类（三边都不相等的叫不等边三角形）。
答案：（1）不能围成三角形。因为较短的两条边之和为 12＋18＝30（厘米），恰好等于第三边 30 厘米，两条短边"合起来刚好拉平"，围不起来；只有当任意两边之和大于第三边时才能围成三角形。
（2）设第三根木条长 a 厘米，需满足：18－12＜a＜18＋12，即 6＜a＜30。取整厘米数，a 可以是 7、8、9、…、29，共 23 个取值。
（3）最长的一根是 29 厘米。第三个角为 180°－55°－80°＝45°。
三边分别为 12 厘米、18 厘米、29 厘米，三条边都不相等，所以它是不等边三角形。
解析：本题把三角形"任意两边之和大于第三边"与内角和 180° 结合，属于基础结论的直接应用与小变形。
（1）易错点：看到 12＋18＝30 就误以为"能围成"。关键判断是"大于"而不是"大于或等于"，等于时围不成（三点共线）。
（2）易错点：①只写一端的范围，忘记取整；②误写成 6＜a≤30 或 7≤a≤30 等不准确范围。正确范围是 6＜a＜30，整厘米取值从 7 到 29，共 29－7＋1＝23 个，容易漏算个数。
（3）易错点：①取"最长的那根"时误取 30（第（1）问中那根并不能围成）；②求第三个角时用错内角和，或不写分类结论；③按边分类时误判为等腰三角形——12、18、29 三边互不相等，应是不等边三角形。