1选择题
我国古代数学名著《九章算术》中记载了许多精妙的计算方法。某校数学社团仿照古法，用一根长 10.8 米的彩绳编织中国结，每个中国结需要彩绳 0.24 米。根据商不变的规律，把除数变成整数来计算 10.8 ÷ 0.24 时，下列做法正确的是（ ）。
- A. 除数扩大 10 倍变成 2.4，被除数也扩大 10 倍变成 108，计算 108 ÷ 2.4
- B. 除数扩大 100 倍变成 24，被除数也扩大 100 倍变成 1080，计算 1080 ÷ 24
- C. 除数扩大 100 倍变成 24，被除数不变，仍计算 10.8 ÷ 24
- D. 除数扩大 100 倍变成 24，被除数扩大 10 倍变成 108，计算 108 ÷ 24
答案：B
解析：小数除法转化成整数除法的关键是：把除数变成整数，被除数要跟着扩大相同的倍数，商才不变。0.24 有两位小数，变成整数 24 需要扩大 100 倍，因此被除数 10.8 也必须扩大 100 倍，小数点向右移动两位得到 1080，应计算 1080 ÷ 24 = 45。A 选项中 2.4 仍是小数，未真正把除数化为整数；C 选项只扩大除数、被除数没跟着变，商被改变；D 选项两边扩大的倍数不一致（100 倍与 10 倍），小数点移动位数不同，商同样被改变。这正是本考点最易错的两点：只扩大除数、两边扩大倍数不一致。故选 B。
2选择题
算式 7.2 ÷ 0.18 在列竖式计算时，需要先把除数变成整数。下面说法正确的是（ ）。
- A. 把除数 0.18 扩大 10 倍变成 1.8，被除数 7.2 不变
- B. 把除数 0.18 扩大 100 倍变成 18，被除数 7.2 也扩大 100 倍变成 720，商不变
- C. 把除数 0.18 扩大 100 倍变成 18，被除数 7.2 也扩大 100 倍变成 720，商也扩大 100 倍
- D. 把除数 0.18 的小数点向右移动两位变成 18，被除数 7.2 的小数点向右移动一位变成 72，商不变
答案：B
解析：除数是小数时，要先把除数变成整数：0.18 变成 18，小数点向右移动两位，即扩大 100 倍；根据商不变的规律，被除数也要跟着扩大同样的 100 倍，7.2 变成 720，这样 7.2 ÷ 0.18 就转化成 720 ÷ 18，商不变。A 选项只扩大 10 倍且被除数没变，两次都错；C 选项认为商会扩大，违背商不变的规律；D 选项两边扩大的倍数不一样（100 倍与 10 倍），商就变了，这正是最常见的错误。故选B。
3选择题
《九章算术》中记载了一道均输问题，改编如下：古代工匠铸造编钟，原计划每天铸造 0.35 个，18 天正好完成一批任务；实际每天铸造 0.42 个，几天可以完成？下面列式正确的是（ ）。
- A. 0.42 ÷ 0.35 × 18
- B. 0.35 × 18 ÷ 0.42
- C. 0.35 × 18 × 0.42
- D. 0.35 ÷ 0.42 × 18
答案：B
解析：先求不变量（这批任务的总量）：0.35 × 18 = 6.3（个）；再用总量 ÷ 实际每天铸造的个数求天数：6.3 ÷ 0.42 = 15（天），所以列式为 0.35 × 18 ÷ 0.42。A、D 选项把两个工作效率直接相除，没有先求总量，数量关系错了；C 选项把乘法一直乘下去，算不出天数。本题易错点是未先求总量这一中间量就直接用两个小数相除。故选B。
4填空题
传统灯会上，手工艺人把一根长 26 米的红绸剪成同样长的彩带，用来扎制宫灯，每根彩带长 1.8 米（不足 1.8 米的余料不再使用）。
（1）这根红绸最多可以做多少根彩带？请写出算式并用“去尾法”求出结果：____
（2）小明列式计算 26 ÷ 1.8 ≈ 14.44，他想把商保留两位小数。若把除数变成整数，请写出转化后的除法算式：____
（3）若一根彩带售价 2.5 元，做完的这些彩带全部售出，共可收入多少元？____
答案：（1）26 ÷ 1.8 = 14.444…，用去尾法取整，最多可以做 14 根。（2）除数 1.8 扩大 10 倍变成 18，被除数也扩大 10 倍变成 260，转化后的算式是 260 ÷ 18。（3）14 × 2.5 = 35（元），共可收入 35 元。
解析：本题综合考查小数除法的转化方法与商的近似数。（1）是典型“去尾法”情境：彩带只能做整数根，且余料不能再用，因此必须舍去小数部分取 14，而不能四舍五入得 14 后误写成 15，更不能把 14.44 四舍五入成 14.4 作为根数。（2）考查“除数变整数、被除数跟着扩”：1.8 有一位小数，两边同时扩大 10 倍得 260 ÷ 18；常见错误是只把除数变成 18 而被除数仍写 26，或两边扩大倍数不同。（3）必须用第（1）问的整数结果 14 来计算，若误用 14.44 计算会得到 36.1 元，与实际不符。三问层层递进，易错点集中在取舍方法的选择与小数点移动的一致性上。
5解答题
古时候，一位工匠要把一根长 7.65 米的丝线平均分成若干段，用来编织中国结。每段丝线长 0.85 米，正好分完，没有剩余。
（1）这根丝线一共可以分成多少段？请写出计算过程。
（2）把除数 0.85 变成整数 85，被除数应该变成多少？这样做后商为什么不变？
（3）如果改成每段长 0.9 米，可以分成多少段？商保留两位小数，并写出保留方法。
答案：（1）7.65 ÷ 0.85：把除数 0.85 扩大 100 倍变成 85，被除数 7.65 也扩大 100 倍变成 765，765 ÷ 85 = 9。所以这根丝线一共可以分成 9 段。
（2）被除数应变成 765。因为被除数和除数同时扩大相同的倍数（都是 100 倍），根据商不变的规律，商不变，仍为 9。
（3）7.65 ÷ 0.9 = 76.5 ÷ 9 ≈ 8.50（段）。计算得 76.5 ÷ 9 = 8.5，保留两位小数为 8.50。答：可以分成 8 段，商约为 8.50 段。
解析：本题考查「一个数除以小数」的转化方法与商不变规律。
（1）关键一步是把除数变成整数：0.85 → 85，扩大了 100 倍（小数点向右移动两位），被除数 7.65 也必须扩大 100 倍变成 765，两边移动位数必须一致，得 765 ÷ 85 = 9。
（2）核心原理是商不变的规律：被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变。易错点：只把除数扩大，被除数忘了跟着扩大；或者两边小数点移动位数不一致（如除数移两位、被除数只移一位）。
（3）0.9 是一位小数，只把除数扩大 10 倍变 9，被除数 7.65 也扩大 10 倍变 76.5，76.5 ÷ 9 = 8.5。保留两位小数时，8.5 要在百分位补 0 写成 8.50，末尾的 0 不能省略（这里表示精确度）。易错点：保留两位小数时误写成 8.5；或者没看千分位就四舍五入（本题千分位为 0，直接舍去）。注意 8.50 表示约能分成 8 段多，不能写成 9 段。
6解答题
《九章算术》中记载了许多有趣的数学问题。某次庙会上，一位老艺人用一根红绳做手绳，情况如下：
已知信息：
① 这根红绳总长 12.6 米，做一条手绳要用去 0.28 米，红绳正好用完；
② 另一位艺人做香囊，每个香囊用布 0.5 米，他买了 3.8 米布料；
③ 一盏宫灯的骨架长 4.5 米，用一根长 1.2 米的竹条去量，量了 3 次后还剩一些。
请回答：
（1）这根红绳一共可以做多少条手绳？请把除数转化成整数后计算。
（2）3.8 米布料最多可以做多少个香囊？请说明理由。
（3）不用计算，请判断 4.5 ÷ 1.2 的商与 4.5 的大小关系，并说明理由。
答案：（1）12.6 ÷ 0.28：把除数 0.28 扩大 100 倍变成 28，被除数 12.6 也扩大 100 倍变成 1260，1260 ÷ 28 = 45。答：一共可以做 45 条手绳。
（2）3.8 ÷ 0.5 = 38 ÷ 5 = 7.6，商是 7.6，说明做完 7 个香囊后还剩一些布，不够再做一个。所以最多可以做 7 个香囊。
（3）4.5 ÷ 1.2 < 4.5。理由：因为除数 1.2 > 1，根据「一个数（0 除外）除以大于 1 的数，商小于被除数」，所以 4.5 ÷ 1.2 < 4.5。
解析：本题综合考查小数除以小数的转化、去尾法取近似值（结合实际）以及商与被除数的大小关系。
（1）0.28 是两位小数，扩大 100 倍变 28，12.6 只有一位小数，扩大 100 倍时要在末尾补 0 变成 1260，而不是 126。易错点：两边扩大的倍数不一致，把 12.6 错误地只扩大 10 倍变成 126，得 126 ÷ 28 = 4.5，导致答案错误。
（2）3.8 ÷ 0.5 = 7.6，本题是「做香囊」的实际问题，必须用去尾法取整数 7，不能四舍五入成 8（因为剩下的 0.3 米不够做一个香囊）。易错点：把 7.6 四舍五入写成 8；或者不写理由、不说明剩余情况。
（3）本问不用计算，直接用规律判断：除数 1.2 大于 1，商小于被除数，所以 4.5 ÷ 1.2 < 4.5。易错点：与乘法规律混淆，误认为「乘大于 1 变大，除以大于 1 也变大」；或者凭感觉去算 4.5 ÷ 1.2 = 3.75 再比较（虽结果正确，但不符合「不用计算」的要求）。
7解答题
《九章算术》是我国古代著名的数学著作。学校数学社团开展“读古算、算古题”活动，社团老师为同学们准备了一批算筹小棒作为奖励。已知信息：老师买了 12 根算筹小棒，一共用去 31.2 元。
（1）平均每根算筹小棒多少元？请用小数除法算一算，并写出把除数变成整数的转化过程。
（2）小明算得平均每根 2.6 元，小红算得平均每根 26 元。他们两人谁算得对？请说明理由。
答案：（1）31.2 ÷ 12 = 2.6（元）
转化过程：除数 12 已经是整数，直接按小数除以整数计算。先用 12 除 31，商 2 余 7；把十分位上的 2 落下来，得 72，72 ÷ 12 = 6，商的十分位写 6；结果是 2.6。
答：平均每根算筹小棒 2.6 元。
（2）小明算得对。
理由：可以用估算判断，12 根小棒共 31.2 元，31.2 接近 30，30 ÷ 12 = 2.5，所以每根应在 2.5 元左右，2.6 元合理，26 元不合理（12 × 26 = 312 元，远大于 31.2 元）。
也可以用乘法验算：2.6 × 12 = 31.2，与题意相符；26 × 12 = 312，与题意不符。所以小明算得对。
解析：本题考查小数除以整数的计算与估算验算。第（1）问关键：先确定商的小数点位置与被除数的小数点对齐，再逐位除，72 ÷ 12 = 6 时 6 要写在十分位上，不能写在个位。易错点：①商的小数点忘记点，写成 26；②余数处理出错，把 72 算成 7.2；③连续计算时进位失误。第（2）问用乘法验算是小数除法的常用检验方法，也呼应“商不变规律”的逆用。易错：只凭感觉判断大小，不做验算；或者把 2.6 与 26 混淆，忽略小数点位数。
8解答题
我国古代名著《孙子算经》中有许多有趣的数学问题。学校五年级举行“古算新算”知识竞赛，老师用一根长 13.5 米的红绸带做奖品装饰。已知信息：每 0.45 米剪成一段做一朵绸花。
（1）这根红绸带一共可以做多少朵绸花？请把除数变成整数后计算。
（2）如果把绸花每 5 朵装成一盒，这些绸花最多可以装满多少盒？还剩几朵？
（3）小刚在做第（1）问时，把 13.5 ÷ 0.45 算成了 135 ÷ 45 = 3，得 3 朵。请你找出他错在哪里，并写出正确的做法。
答案：（1）13.5 ÷ 0.45
转化：除数 0.45 变成整数 45，小数点向右移动两位，被除数 13.5 也向右移动两位，变成 1350。
原式变为 1350 ÷ 45 = 30。
答：这根红绸带一共可以做 30 朵绸花。
（2）30 ÷ 5 = 6（盒），没有剩余。
答：最多可以装满 6 盒，还剩 0 朵。
（3）小刚的错误：把除数 0.45 扩大 100 倍变成 45 时，被除数 13.5 只扩大了 10 倍变成 135，两边扩大的倍数不一样，不符合商不变的规律。
正确做法：除数 0.45 扩大 100 倍变成 45，被除数 13.5 也要扩大 100 倍变成 1350，再算 1350 ÷ 45 = 30（朵）。
解析：本题重点考查“除数是小数的除法”转化思想，是本册易错难点。第（1）问关键：除数与被除数的小数点向右移动的位数必须相同（都移两位），把 13.5 ÷ 0.45 转化为 1350 ÷ 45。易错点：①只把除数变成 45，被除数写成 135（少移一位）；②13.5 小数点后只有一位，误以为只能移一位；③把 1350 ÷ 45 算成 300 或 3。第（2）问是小数除法结果的再应用，注意 30 朵正好装满 6 盒，剩余为 0，不要误写成“还剩”。第（3）问让学生自己找错，考查对商不变规律的理解深度：两边必须扩大相同倍数，商才不变。