1选择题
文具店开展"满额换购"活动，规则写在店里的牌子上：
【活动规则】
① 购物满 20 元，可换购 1 支中性笔；
② 每多满 10 元，再换购 1 支中性笔；
③ 不满 20 元不能换购。
小方买了若干本笔记本，每本价格相同。他一共付了 68 元，收银员说："你换购的中性笔数量用 x 表示，正好满足 20＋10×(x－1)＝68。" 下面哪个说法是正确的？
- A. x 表示笔记本的本数，解得 x＝5.8，所以他买了 5.8 本笔记本
- B. x 表示换购的中性笔数量，方程两边同时减 20，得 10×(x－1)＝48，再同时除以 10，得 x－1＝4.8，所以 x＝5.8
- C. x 表示换购的中性笔数量，解方程时应在两边同时加 20，得到 10×(x－1)＝88
- D. x 表示换购的中性笔数量，解得 x＝5.8，但中性笔数量必须是整数，说明题目中 68 元这个数据有误，方程无解
答案：B
解析：由等式 20＋10×(x－1)＝68 可知，x 是方程中的未知数，对应换购的中性笔数量（不是笔记本本数，A 错）。根据等式性质一，两边同时减 20，得 10×(x－1)＝48；再根据等式性质二，两边同时除以 10，得 x－1＝4.8，进而 x＝5.8，故 B 的每一步都正确。C 中把"减 20"错写成"加 20"，正是解方程时符号弄错的典型错误。D 中把"方程有解"与"情境中数量需为整数"混为一谈：x＝5.8 是方程的解，只是说明按此收费规则 68 元不恰好对应整数支中性笔，不能说方程无解。故选 B。
2选择题
学校组织春游，老师带同学们到超市采购矿泉水。已知信息如下：矿泉水每瓶 1.5 元，老师一共付了 45 元，正好买了若干瓶矿泉水，没有找零。小明想用列方程的方法求出买了多少瓶，他设买了 x 瓶，并列出方程 1.5 × x ＝ 45。
下列关于这个方程的解法和结论，正确的是（ ）。
- A. 解方程时，等式两边同时减去 1.5，得 x ＝ 43.5，所以买了 43.5 瓶
- B. 解方程时，等式两边同时除以 1.5，得 x ＝ 30，所以买了 30 瓶矿泉水
- C. 解方程时，等式两边同时乘 1.5，得 x ＝ 67.5，所以买了 67.5 瓶矿泉水
- D. 解方程时，等式两边同时除以 45，得 x ＝ 1.5，所以买了 1.5 瓶矿泉水
答案：B
解析：本题考查依据等式的性质解形如 a × x ＝ b（a 为小数）的简易方程，并结合实际情境判断结果的合理性。
已知方程为 1.5 × x ＝ 45，其中 1.5 是单价，x 是瓶数，45 是总价，符合「单价×数量＝总价」。
逐项分析：
A 项：1.5 × x ＝ 45 中 1.5 与 x 之间是乘法关系，不能用等式性质一「两边同时减去 1.5」来消去 1.5，而且瓶数不可能是 43.5 瓶，故错误。
B 项：根据等式性质二，等式两边同时除以 1.5（1.5 ≠ 0），左边 1.5 × x ÷ 1.5 ＝ x，右边 45 ÷ 1.5 ＝ 30（可看作 450 ÷ 15 ＝ 30），得 x ＝ 30，即买了 30 瓶矿泉水，符合实际，故正确。
C 项：两边同时乘 1.5 不能消去 1.5，反而使未知数前的系数变成 2.25，方法错误，且 67.5 瓶也不合实际。
D 项：两边同时除以 45 只能把右边变成 1，左边是 1.5x ÷ 45，无法得到 x ＝ 1.5；且 1.5 瓶矿泉水不成立。
易错点：一是把乘法关系误当成加减关系，用「两边减去 1.5」来解；二是 45 ÷ 1.5 计算错误，正确做法是把被除数和除数同时扩大 10 倍，变成 450 ÷ 15 ＝ 30；三是忽略「瓶数应为整数」这一实际意义，对不合理的解不加检验。
故选 B。
3填空题
文具店开展促销活动。已知信息：一支钢笔原价a元，促销时每支降价2元；一个笔记本的价格是钢笔原价的3倍少5元。
（1）用含有字母的式子表示：促销后一支钢笔（ ）元，一个笔记本（ ）元。
（2）当 a ＝ 15 时，促销后一支钢笔（ ）元，一个笔记本（ ）元。
（3）小林带了100元，买了4支促销价的钢笔后，剩下的钱刚好可以买2个笔记本。请列出关于a的方程并解出a的值：方程是（ ），解得 a ＝（ ）。
（4）小林用剩下的钱买圆珠笔，每支圆珠笔3.6元，剩下的钱最多可以买（ ）支圆珠笔（用去尾法取整数）。
答案：（1）促销后一支钢笔：（a － 2）元；一个笔记本：（3a － 5）元。
（2）当 a ＝ 15 时：
钢笔：15 － 2 ＝ 13（元）
笔记本：3 × 15 － 5 ＝ 45 － 5 ＝ 40（元）
答：促销后一支钢笔13元，一个笔记本40元。
（3）4支促销钢笔花 4(a － 2) 元，2个笔记本花 2(3a － 5) 元，两者合计等于100元：
方程：4(a － 2) ＋ 2(3a － 5) ＝ 100
解：4a － 8 ＋ 6a － 10 ＝ 100
10a － 18 ＝ 100
10a ＝ 118
a ＝ 11.8
（4）当 a ＝ 11.8 时，4支促销钢笔花 4 × (11.8 － 2) ＝ 4 × 9.8 ＝ 39.2（元），
剩下 100 － 39.2 ＝ 60.8（元）。
60.8 ÷ 3.6 ≈ 16.88…
因为圆珠笔必须整支买，用去尾法，最多买16支。
解析：本题考查用字母表示数、代入求值、列简易方程并解方程，以及商的近似数在生活中的取舍方法。
（1）易错点：把「降价2元」误写成 a ＋ 2 或 2a；把「3倍少5元」误写成 3(a － 5)，应是 3a － 5。
（2）易错点：代入时把 a ＝ 15 只代一半，如 3 × 15 － 5 算成 45 － 5 ＝ 40 时漏写单位；或忘记先降价再算钱。
（3）易错点：列方程时漏写括号导致 4a － 2 这类错误（应为 4(a － 2) ＝ 4a － 8）；去括号时符号出错，－2 × 4 应得 －8，－5 × 2 应得 －10；合并同类项时把 4a ＋ 6a 误得 10a²。
（4）易错点：机械地用四舍五入把 16.88 处理成 17 支，导致钱不够——买圆珠笔这类「钱只够买整数个」的问题应采用去尾法，最多16支。
4解答题
周末，小慧和妈妈一起去超市购物。已知信息：超市里苹果每千克8.5元，妈妈买了x千克苹果，又买了一瓶12元的酱油，结账时一共付了53元。
（1）请根据题意写出一个含有未知数x的方程（不用计算）。
（2）利用等式的性质解这个方程，求出妈妈买了多少千克苹果。
（3）把求出的x的值代入原方程检验一下，说明两边是否相等。
（4）苹果每千克8.5元，超市规定买满2千克每千克优惠0.5元。妈妈实际付款时按优惠价结算，那么她实际付的苹果钱是多少元？（结果保留一位小数）
答案：（1）设妈妈买了x千克苹果。根据「苹果总价＋酱油价钱＝总付款」，可列方程：
8.5x ＋ 12 ＝ 53
（2）解方程：
8.5x ＋ 12 ＝ 53
两边同时减去12（等式性质一）：
8.5x ＝ 53 － 12
8.5x ＝ 41
两边同时除以8.5（等式性质二）：
x ＝ 41 ÷ 8.5
x ＝ 4.8235…
因为本题中苹果按千克称重，取近似值 x ≈ 4.8（千克）（保留一位小数）。
（3）检验：把 x ≈ 4.8 代入原方程左边：
8.5 × 4.8 ＋ 12 ＝ 40.8 ＋ 12 ＝ 52.8
与右边53接近（因x取了近似值），说明方程列式正确；若取 x ＝ 41 ÷ 8.5 的精确值，则 8.5x ＋ 12 ＝ 41 ＋ 12 ＝ 53，左右两边相等，方程的解正确。
（4）因为 x ≈ 4.8 千克 > 2千克，可享受优惠，优惠后单价为 8.5 － 0.5 ＝ 8（元/千克）。
实际付苹果钱：8 × 4.8 ＝ 38.4（元）。
答：实际付的苹果钱约是38.4元。
解析：本题考查列简易方程、用等式性质解方程及检验，同时结合积的近似数与实际消费情境。
第（1）问易错点：把「一共付了53元」误写成 8.5x ＝ 53，漏掉酱油的12元；或把未知数写成具体数字。
第（2）问易错点：运用等式性质一时符号出错，53 － 12 应得41，容易误算成65（写成53＋12）；用等式性质二时把8.5x ＝ 41 两边误除以53。
第（3）问易错点：检验流于形式，只写「相等」而不代入计算；或忘记题目要求保留一位小数时应用「≈」而非「＝」。
第（4）问易错点：不判断是否达到优惠条件就直接减0.5元；或忘记用优惠后单价×千克数，而误用原总价减0.5。
5解答题
阅读下面的消费记录，再解答问题。
【小林家本月手机套餐消费记录】
小林家用的手机套餐，每月固定月租 18 元（含 100 分钟通话），超出 100 分钟的部分按每分钟 0.2 元收费，通话不足 1 分钟按 1 分钟算。
本月账单显示：小林家本月共交话费 34 元。
(1) 设小林家本月通话超出 100 分钟的部分为 x 分钟，根据题意列出方程。
(2) 解这个方程，求出 x 的值，并写出解方程时每一步依据的等式性质。
(3) 小林妈妈说："下个月如果把月租换成 25 元、含 150 分钟的套餐，超出部分仍按每分钟 0.2 元收费，那么通话时间不超过多少分钟时，新套餐不会比本月更贵？" 请用方程求出这个分钟数，并给小林妈妈一个不超过 30 字的建议。
答案：(1) 月租 18 元加超出部分费用等于总话费，超出部分费用为 0.2x 元，故方程为：
18＋0.2x＝34
(2) 解：
第一步：方程两边同时减 18（等式性质一），
0.2x＝34－18＝16；
第二步：方程两边同时除以 0.2（等式性质二，0.2≠0），
x＝16÷0.2＝80。
所以 x＝80，即本月超出 100 分钟的部分是 80 分钟，本月共通话 100＋80＝180 分钟。
检验：把 x＝80 代入原方程，左边＝18＋0.2×80＝18＋16＝34＝右边，解正确。
(3) 设通话时间为 y 分钟时，新套餐费用不超过本月的 34 元。当 y＞150 时，新套餐费用为 25＋0.2×(y－150)。
列方程：25＋0.2×(y－150)＝34
两边同时减 25：0.2×(y－150)＝9
两边同时除以 0.2：y－150＝45
两边同时加 150：y＝195
检验：25＋0.2×(195－150)＝25＋9＝34，正确。
所以通话时间不超过 195 分钟时，新套餐不会比本月更贵。
建议示例：通话控制在 195 分钟内，换新套餐更划算。
解析：本题考查列方程与用等式性质解方程，并结合真实账单数据作分析。
(1) 易错点：把总话费写成 18×0.2x 或把月租当成 0.2 元，实际数量关系是"固定月租＋超出分钟数×0.2＝总话费"。
(2) 易错点：① 减 18 时符号弄错写成 34＋18；② 除以 0.2 时误算成 16×0.2＝3.2，正确应为 16÷0.2＝80（相当于 16×5）；③ 解完不检验。要求写出每步依据的等式性质，减 18 用性质一，除以 0.2 用性质二。
(3) 易错点：① 忘记新套餐的 150 分钟免费额度，直接写 25＋0.2y＝34；② 解得 y＝195 后不结合情境说明"不超过 195 分钟"。注意 y＞150 时才需加收，y≤150 时费用恒为 25 元＜34 元，自然也满足条件，故综合结论为通话不超过 195 分钟均不更贵。
7解答题
不用计算，判断0.87×1.05的积与0.87的大小关系。
答案：因为第二个因数1.05>1，所以0.87×1.05>0.87。答案：积大于0.87。
解析：易错：忽视因数与1的大小关系；误认为乘法结果必然变大；判断理由表述不清。分析：考查对乘法算式结果的估算与推理能力。解题突破口是理解“一个数（0除外）乘以大于1的数，积大于原数；乘以小于1的数，积小于原数”的规律。此为培养数感的重要考点，常与比较大小结合考查。
8解答题
周末，小林和妈妈去文具店买学习用品。下面是购物小票上的信息（部分数字被墨水弄脏了）：
品名 单价 数量 金额
-------- -------- ---- ------
中性笔 2.4元/支 5支 12元
笔记本 5.6元/本 3本 16.8元
彩色卡纸 1.8元/张 x张 3.6元
小林算了一下，三样文具的总金额是32.4元。
（1）根据表格信息，列方程求彩色卡纸的张数 x，并用等式的性质解出 x 的值。
（2）如果妈妈用50元付款，请你算一算应找回多少元？
（3）请把求出的 x 的值代回原方程检验，写出检验过程。
解析：本题考查用字母表示未知数、根据数量关系列方程并用等式的性质解方程，同时结合小数乘法与小数减法的计算。
思路：先从表格中提取「单价 1.8 元/张、数量 x 张、金额 3.6 元」这一组对应数据，再依据「单价×数量＝金额」列出 1.8 × x ＝ 3.6。解方程时用等式性质二，两边同时除以 1.8，注意 1.8 ≠ 0，符合「除以同一个不为零的数」的要求。
易错点：
1. 列方程时把关系写反，误列成 x ÷ 1.8 ＝ 3.6 或 1.8 ＋ x ＝ 3.6，应紧扣「单价×数量＝金额」。
2. 解方程时小数除法出错，3.6 ÷ 1.8 算成 0.2 或 20；正确做法是把除数和被除数同时扩大 10 倍变成 36 ÷ 18 ＝ 2。
3. 求找回的钱时忘记用总钱数减去实际消费总额，或把 12 ＋ 16.8 ＋ 3.6 算错。
4. 检验环节只写「正确」二字，应明确写出代入后左边＝右边的具体过程。
5. 结果漏写单位「张」「元」。