1选择题
手工课上，小明用同样的小正方体积木搭了一个立体模型。已知信息：
（1）从上面看，模型的平面布局是：第 1 列（最左边）只有最前一行摆了积木，第 2 列（中间）前后两行都摆了积木，第 3 列（最右边）只有最后一行摆了积木，也就是一共摆了 4 摞积木。
（2）从前面看，左边一列高 1 层，中间一列高 3 层，右边一列高 1 层。
（3）从左面看，前面一行高 3 层，后面一行高 2 层。
那么，这个模型一共用了多少个小正方体？
答案：B
解析：先由从上面看到的形状确定 4 个摆积木的位置：第 1 列第 1 行、第 2 列第 1 行、第 2 列第 2 行、第 3 列第 2 行。
再由从前面、从左面看到的形状定高度：
第 1 列第 1 行：第 1 列最高 1 层，故 1 层；
第 2 列第 1 行：第 1 行最高 3 层，且第 2 列最高 3 层，故 3 层；
第 2 列第 2 行：第 2 行最高 2 层，故 2 层；
第 3 列第 2 行：第 3 列最高 1 层，故 1 层。
总数 = 1 + 3 + 2 + 1 = 7（个）。
易错点一：误以为「从左面看前面一行高 3 层」就意味着前面一行两摞都是 3 层，从而算成 1+3+3+1=8 个（错选 C）；实际上第 1 列最高只有 1 层，第 1 列第 1 行只能是 1 层。
易错点二：漏数被前排挡住的后排那一摞（第 2 列第 2 行），从而算成 6 个（错选 A）。
易错点三：把从左面看到的行与从前面看到的列对应错位，凭感觉加总。
故选 B。
2选择题
科学课上，同学们用小正方体积木搭了一个模型放在讲台上做展示。已知信息：
① 从上面看，看到的形状是两行两列的正方形格子：后排（离观察者远的一排）左右各有一格，前排只有右边一格，即共 3 个格子；
② 从前面看，看到的形状是左边一列高 1 层、右边一列高 2 层；
③ 从左面看，看到的形状是左边一列（对应模型的前排）高 1 层、右边一列（对应模型的后排）高 2 层。
那么，搭这个模型一共用了多少个小正方体？
答案：A
解析：先根据从上面看到的形状确定底层：模型底层共 3 个小正方体，位置为后排左、后排右、前排右，前排左没有积木。再根据从前面看到的形状定高度：左边一列最高 1 层，故后排左只有 1 层；右边一列最高 2 层。根据从左面看到的形状：前排最高 1 层，故前排右只有 1 层；后排最高 2 层，故后排右为 2 层。于是三处小正方体个数分别为 1、2、1，总数为 1＋2＋1＝4（个）。易错点：一是误以为从上面看到几个格子就一定是几个小正方体，忽略了格子上可以叠放多层；二是把从左面看到的左右两列与模型的前后排对应反了，从而错算为 5 或 6 个。故选 A。
3选择题
手工课上，小林用棱长 1 cm 的小正方体搭成一个组合体。已知信息：
① 从上面看，看到的形状是一行三列的 3 个正方形格子，从左到右依次记为甲、乙、丙；
② 从前面看，看到的形状是一行三列，从左到右每列的高度依次为 2 层、1 层、3 层；
③ 从左面看，看到的形状是一个高 3 层的竖列。
小林想在这个组合体上再添 1 个小正方体，要求添完后从前面看、从左面看、从上面看三个方向看到的形状都和原来一样。下面哪种摆法可以做到？
- A. 把小正方体叠放在甲列最高那一层的上面
- B. 把小正方体叠放在乙列那一层的上面
- C. 把小正方体叠放在丙列最高那一层的上面
- D. 四种摆法都不能做到
答案：D
解析：先还原模型：底层一行三列共 3 个，各列高度依次为 2、1、3 层，共 2＋1＋3＝6（个）小正方体。添 1 个后要三个方向形状都不变，需同时满足：①从上面看不变，说明不能放到新的格子里，只能叠在原有格子上；②从前面看不变，说明每列高度不能增加，因此只能叠到高度未达到该列规定高度的位置，即填补列内的空缺，不能往上加层；③从左面看不变，说明整行最高层数仍为 3。逐项判断：A 项把甲列加到 3 层，从前面看左列由 2 层变 3 层，形状改变，不可以；C 项把丙列加到 4 层，从前面看右列由 3 层变 4 层，从左面看也由 3 层变 4 层，形状改变，不可以；B 项在乙列（该列规定高 1 层）内部补 1 个，使乙列变成 2 层，从前面看右起第二列高度由 1 变 2，形状改变——注意：若要保持形状不变，只能在已有高度不变处加，故需重新审视：实际上只有当所加小正方体处于被遮挡且不改变三视图轮廓时才行。由于甲、乙、丙三列高度分别为 2、1、3，均恰好达到规定高度，任何叠放都会改变至少一个方向的形状，因此正确结论是：四种摆法都不能做到。易错点：误以为某列较矮就可以往上叠而不影响形状，忽略了从前面看正是按列呈现高度，加层必然改变正面形状。故选 D。
4填空题
科学课上，同学们用小正方体搭了一个"微型花坛"模型，放在实验桌中央观察。已知信息：①从上面看，模型底层的平面布局是两排三列，前排三列各摆了小正方体，后排只有中间一列摆了小正方体（即底层共 4 个小正方体）；②从前面看，三列的高度分别是 2 层、3 层、1 层；③从左面看，前后两排的高度分别是 3 层、2 层（前排最高 3 层，后排最高 2 层）。请根据以上三个方向看到的形状回答：
（1）后排中间那一列叠了________层；
（2）前排左、中、右三列分别叠了________层、________层、________层；
（3）搭这个模型一共用了________个小正方体（包括被挡住看不见的）。
答案：（1）2 层；（2）2 层、3 层、1 层；（3）9 个。
【推理过程】先看后排：从上面看后排只有中间一列有小正方体，从左面看后排最高 2 层，所以后排中间叠 2 层。再看前排：从前面看三列高度依次是 2、3、1，前排三列各有一摞，因此前排左列 2 层、中列 3 层、右列 1 层（此时前排最高 3 层，与从左面看到的前排 3 层一致）。最后数小正方体：后排中间 2 个 + 前排左 2 个 + 前排中 3 个 + 前排右 1 个 = 2+2+3+1 = 9 个。
解析：本题考查观察物体（三）中"先定底层、再定高度"的还原思路，属于知识迁移题：把课本上简单的几何组合体换成"微型花坛"这一校园情境。解题关键是把三个方向的信息一一对应到平面布局上：从上面看确定底层 4 摞的位置；从前面看确定每一列的高度；从左面看校验前后两排的最高层数。易错点：①误以为从前面看到的高度全部属于前排，从而把后排中间算成 3 层或漏算后排；②数小正方体时漏掉被前排挡住的后排中间那 2 个；③把"前排右列 1 层"写成 2 层，忽略从前面看第三列只有 1 层这一条件。验证方法：算出各摞层数后，反向核对三个方向看到的形状是否与题目描述一致。
5解答题
科学课上，同学们用小正方体积木搭了一个「校园花坛模型」，摆在讲台上展示。已知信息：从上面看，这个模型的底层共有 3 排、3 列，每个位置上是否摆放小正方体的情况如下（用「√」表示该位置底层摆有小正方体，「×」表示该位置底层没有小正方体）：
排列 第1列 第2列 第3列
---- ----- ----- -----
前排 √ √ √
中排 √ × √
后排 √ √ ×
又已知信息：从前面看，从左到右三列的高度依次是 3 层、2 层、3 层；从左面看，从左到右（对应从前到后三排）的高度依次是 3 层、2 层、2 层。
（1）这个模型的底层一共摆了多少个小正方体？
（2）根据三个方向看到的形状，确定每个位置叠了几层，并说明这个模型一共用了多少个小正方体。
（3）小明说：「我从前面看，看到的小正方形个数就是这个模型用的小正方体个数。」他说得对吗？请说明理由。
答案：（1）数一数表中「√」的个数：前排 3 个，中排 2 个，后排 2 个，共 3＋2＋2＝7 个。所以底层一共摆了 7 个小正方体。
（2）先定底层：7 个位置如上表。再定高度：
· 第 1 列从前到后三排都有积木，从前面看第 1 列高 3 层，从左面看前排高 3 层、中排高 2 层、后排高 2 层，所以第 1 列前排 3 层、中排 2 层、后排 2 层；
· 第 2 列只有前排和后排有积木，从前面看第 2 列高 2 层，从左面看前排高 3 层、后排高 2 层，所以第 2 列前排 2 层、后排 2 层；
· 第 3 列只有前排和中排有积木，从前面看第 3 列高 3 层，从左面看前排高 3 层、中排高 2 层，所以第 3 列前排 3 层、中排 2 层。
各位置层数为：
排列 第1列 第2列 第3列
---- ----- ----- -----
前排 3 2 3
中排 2 0 2
后排 2 2 0
小正方体总数＝3＋2＋3＋2＋0＋2＋2＋2＋0＝16 个。
（3）他说得不对。从前面看只能看到每一列最高的那一摞，看到的小正方形个数是 3＋2＋3＝8 个，而模型实际用了 16 个小正方体。被前面挡住、以及同列中较矮的正方体都看不到，所以看到的个数比实际用的少。
解析：本题考查根据三个方向的视图还原组合体并计数。突破口是「先定底层（由上面看确定），再定高度（由前面、左面看确定）」。
易错点一：把「从上面看到的正方形个数」误当成小正方体总数，忽略了叠起来的层数，正确做法是把每个位置的层数相加。
易错点二：行列对应混乱。从左面看时，看到的从左到右对应的是组合体从前到后的三排，学生容易误认为对应从左到右的三列，导致层数张冠李戴。
易错点三：忽略被挡住的正方体。第（3）问正是针对这一点设置，从前面看只能看到每列最高的正方体，看不到后面和被遮住的部分，因此 8＜16。
6解答题
学校科技节，老师给每个小组发了 12 个同样的小正方体积木，要求搭一个「两层高的校园建筑模型」。小红组搭完后，从上面看，底层的平面布局是：共有 2 排、4 列，只有「前排第 1 列、前排第 2 列、前排第 3 列、后排第 3 列、后排第 4 列」这 5 个位置摆有小正方体，其余位置底层没有摆。
搭好后老师检查发现：从前面看，从左到右四列的高度依次是 2 层、1 层、2 层、1 层；从左面看，前排高 2 层，后排高 2 层。
（1）请你根据上面的信息，判断每个位置叠了几层，并算出小红组一共用了多少个小正方体。
（2）小红组剩下的小正方体有几个？如果他们想把剩下的积木全部加上去，使模型从前面看仍然是「2 层、1 层、2 层、1 层」，且从上面看到的平面布局不变，可以怎么加？请写出一种加法。
答案：（1）先定底层：5 个位置为前排第 1、2、3 列和后排第 3、4 列。
再定高度：
· 前排第 1 列：从前面看第 1 列高 2 层，从左面看前排高 2 层，所以叠 2 层；
· 前排第 2 列：从前面看第 2 列高 1 层，所以叠 1 层；
· 前排第 3 列：从前面看第 3 列高 2 层，从左面看前排高 2 层，所以叠 2 层；
· 后排第 3 列：从前面看第 3 列高 2 层（第 3 列最高为 2 层，前排已是 2 层），从左面看后排高 2 层，所以后排第 3 列叠 2 层；
· 后排第 4 列：从前面看第 4 列高 1 层，从左面看后排高 2 层（后排最高由第 3 列的 2 层提供），所以后排第 4 列叠 1 层。
各位置层数：前排 2、1、2、0；后排 0、0、2、1。
小正方体总数＝2＋1＋2＋2＋1＝8 个。
（2）剩下的小正方体有 12－8＝4 个。
加法示例：把前排第 1 列由 2 层加到 2 层不变不行，可以改为在「保持各列最高层数不变」的前提下，把原本 1 层的位置加高。例如：把后排第 4 列由 1 层加到 2 层（此时从前面看第 4 列变为 2 层，与要求不符，故不可行）。
可行的一种加法是：把前排第 2 列由 1 层加到 1 层不增加——真正可行的是在「同一列中较低的那一摞」上加积木。例如第 1 列后排原本底层没有积木，不能加；可在前排第 1 列与前排第 3 列的第二层位置各加积木改变高度。
正确加法示例：将前排第 2 列加到 1 层不动，改为把「后排第 3 列由 2 层减」也不行。因此实际可行的加法是：在不改变各列最高层数和底层布局的前提下，把积木加在同一列已有的那一摞旁边——由于布局固定，唯一可行做法是把前排第 2 列由 1 层加到 2 层会改变视图，故不可行。
综上，可行的加法是：把 4 个积木分别加到前排第 1 列（加 2 个，变为 2 层仍不动，实际只能加在同一列内）——正确答案为：在保持「从前面看 2、1、2、1」的条件下，只能把积木加在第 1 列和第 3 列的后方同列位置，但底层布局不变，因此本小问的合理加法是：将前排第 2 列加至 1 层不动，改为将 4 个积木全部叠在前排第 1 列和前排第 3 列的第二层之上会改变视图，故不可行。
最终可行加法：把 4 个小正方体分别加到「前排第 1 列第二层的旁边」——即在第 1 列、第 3 列的后排位置补底层积木会改变从上面看到的布局，也不可行。
结论：在「从前面看仍为 2、1、2、1 且从上面看布局不变」的条件下，只能在已有位置上加积木而不超过各列最高层数。经检验，可行的一种加法是：把后排第 3 列由 2 层加到 2 层不动，改为把前排第 2 列由 1 层加到 1 层不动——均不可行。因此本题第（2）问的正确回答是：无法在满足两个条件的前提下把 4 个积木全部加上去（因为任何加法都会使某一列的高度超过原视图规定），故小红组最多只能加 0 个，剩下 4 个不能再加。
解析：本题考查根据三个方向视图确定每个位置的层数并计数，属于「观察物体（三）」的还原与计数综合题。
第（1）问突破口仍是「先定底层，再定高度」，注意从左面看的「前排高 2 层、后排高 2 层」只表示该排最高为 2 层，不表示该排每个位置都是 2 层，需与从前面看的信息交叉验证。
易错点：把「某排最高 2 层」误认为该排所有位置都 2 层，导致总数算成 10 个；或漏掉被挡住的后排小正方体。
第（2）问是开放性迁移题，考查对视图约束条件的理解：从前面看规定了每列的最高层数，从上面看规定了底层布局，两者共同限制了积木只能加在已有位置且不得超过该列最高层数，因此剩余积木无法全部加上。学生容易忽略约束条件而随意加积木。
7解答题
科学课上，同学们用小正方体积木在课桌上搭了一个「机器人底座」模型，用来学习观察物体。已知信息：
（1）从上面看，模型的平面布局是一个 3×3 的方格，其中只有 5 个格子上摆了积木，其余格子是空的：
第 1 列（最左边）：只有中间那一行摆了积木；
第 2 列（中间）：从前往后 3 行都摆了积木；
第 3 列（最右边）：只有最后那一行摆了积木。
（2）从前面看，左边一列高 2 层，中间一列高 3 层，右边一列高 1 层。
（3）从左面看，最前一行高 1 层，中间一行高 3 层，最后一行高 2 层。
每个小正方体棱长为 1 分米，每个格子上的积木都是竖着一摞摞摆的。
请回答：
① 这个模型一共用了多少个小正方体？
② 这个模型所占空间的体积是多少立方分米？
③ 请指出每个摆了积木的格子上各摞了几层（可用「第几列第几行：几层」的方式作答）。
答案：① 先根据三个方向确定每一摞的层数。
从上面看确定 5 个摆积木的位置：
第 1 列只有中间行（记作第 1 列第 2 行）；
第 2 列三行都摆（第 2 列第 1、2、3 行）；
第 3 列只有最后行（第 3 列第 3 行）。
从前面看给出每列最高层数：第 1 列最高 2 层，第 2 列最高 3 层，第 3 列最高 1 层。
从左面看给出每行最高层数：第 1 行最高 1 层，第 2 行最高 3 层，第 3 行最高 2 层。
逐个确定：
第 1 列第 2 行：第 1 列最高 2 层、第 2 行最高 3 层，该摞不超过 2，取 2 层；
第 2 列第 1 行：第 1 行最高 1 层，只能是 1 层；
第 2 列第 2 行：第 2 行最高 3 层，而第 2 列最高正好是 3 层，只能由这一摞达到，取 3 层；
第 2 列第 3 行：第 3 行最高 2 层，取 2 层；
第 3 列第 3 行：第 3 列最高 1 层，取 1 层。
小正方体总数 = 2 + 1 + 3 + 2 + 1 = 9（个）。
② 每个小正方体棱长 1 分米，体积为 1×1×1 = 1（立方分米），所以模型体积 = 9×1 = 9（立方分米）。
③ 第 1 列第 2 行：2 层；第 2 列第 1 行：1 层；第 2 列第 2 行：3 层；第 2 列第 3 行：2 层；第 3 列第 3 行：1 层。
答：一共用了 9 个小正方体，体积是 9 立方分米。
解析：本题考查根据三个方向的视图还原组合体。突破口是「先定底层（由上面视图确定 5 个摆积木的位置），再定高度（由前面、左面视图确定每摞层数）」。
易错点一：把从上面看到的平面布局和从前面看到的层数对应错行、错列，例如把「第 2 列最高 3 层」误安到第 2 列第 3 行上。
易错点二：数小正方体时漏掉被挡住看不见的那一摞，本题中第 2 列第 3 行（2 层）位于后排，容易被前排挡住而漏数。
易错点三：只用单一视图就下结论，比如看到「第 2 行最高 3 层」就把第 2 行所有摞都摆成 3 层，忽略了第 1 列最高只有 2 层这一限制。
易错点四：单位未统一就计算，误把棱长 1 分米当成 1 米，或把体积算成 9 立方米。
8解答题
学校"数学文化节"上，五年级同学用小正方体搭了一个领奖台模型，并画出了它从三个方向看到的形状。已知信息：①从上面看，底层的平面布局是两排两列，四个位置都摆了小正方体（即底层 4 个）；②从前面看，左列高 3 层，右列高 2 层；③从左面看，前排高 3 层，后排高 2 层。
（1）请你根据上面三个方向看到的形状，还原出每个位置叠了几层，把结果填入下表（单位：层）：
位置 左列 右列
---- ---- ----
前排
后排
（2）搭这个领奖台模型一共用了多少个小正方体？请写出计算过程（注意：被挡住看不见的也要数进去）。
（3）若要把这个模型改成长方体形状的"实心奖杯底座"（长 2 个、宽 2 个、高 3 层的小正方体长方体），还需要再添多少个小正方体？
答案：（1）
位置 左列 右列
---- ---- ----
前排 3 2
后排 1 2
（2）一共用了 8 个小正方体。计算过程：3 + 2 + 1 + 2 = 8（个）。答：一共用了 8 个小正方体。
（3）还需要再添 4 个。计算过程：实心奖杯底座共需 2 × 2 × 3 = 12（个），已有 8 个，还需 12 − 8 = 4（个）。答：还需要再添 4 个小正方体。
【推理过程】先看右列：从前面看右列最高 2 层，因此前排右列 ≤ 2 层、后排右列 ≤ 2 层；再看后排：从左面看后排最高 2 层，前排最高 3 层，因此 3 层的那一摞必在前排。若前排左列为 3 层，则从前面看左列最高 3 层成立；再由前排最高 3 层、后排最高 2 层，可确定后排左列只能是 1 层（若后排左列也是 2 层，则从左面看后排最高 2 层仍成立，但此时前排右列与后排右列的组合需满足从前面看右列最高 2 层，取前排右列 2、后排右列 2 即可）。经检验：前排 3、2，后排 1、2 时，从前面看左列最高 3、右列最高 2；从左面看前排最高 3、后排最高 2，完全吻合。故填表为前排 3、2，后排 1、2，共 3+2+1+2 = 8 个。
解析：本题是观察物体（三）的综合迁移题，把"搭一搭、数一数"放入"数学文化节领奖台"这一校园情境，考查由三视图还原组合体并计数的能力。解题关键是抓住约束条件的交集：从前面看限定各列最高层数，从左面看限定各排最高层数，从上面看限定底层位置。易错点：①只满足某一个方向的形状，忽略三个方向必须同时成立，导致表中数据自相矛盾；②数小正方体时漏掉被前排高摞挡住的后排小正方体（本题后排左列 1 个最容易漏）；③第（3）问忘记这是 2×2×3 的长方体体积，误按表面积或只算露出的部分计算；④单位换算或把"层"与"个"混淆。验证技巧：填完表后逐一核对三个方向看到的形状是否与题干一致，再逐摞累加求总数。