1选择题
下面关于因数和倍数的说法，正确的是（ ）。
- A. 因为 12÷3=4，所以 3 是因数，12 是倍数
- B. 1 是所有非零自然数的因数，所以 1 是质数
- C. 一个数的因数个数是有限的，一个数的倍数个数是无限的
- D. 36 的因数中，既是偶数又是 3 的倍数的数一共有 3 个
答案：C
解析：A 项错在表述不完整：因数和倍数是相互依存的，必须说成「3 是 12 的因数，12 是 3 的倍数」，不能孤立地说「3 是因数」。B 项错在把 1 当成质数：1 只有一个因数，既不是质数也不是合数，「1 是所有非零自然数的因数」这句话本身对，但推不出 1 是质数。D 项需实际列举：36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36，其中既是偶数又是 3 的倍数的有 6、12、18、36，共 4 个，不是 3 个，故 D 错。C 项正确：一个数的最小因数是 1、最大因数是它本身，所以因数个数有限；而一个数的倍数可以无限地找下去，个数无限。故选 C。
2选择题
下面关于因数和倍数的说法中，正确的是（ ）。
- A. 因为 12 ÷ 5 = 2……2，有余数，所以 5 是 12 的因数
- B. 因为 3 × 8 = 24，所以 24 是倍数，3 是因数
- C. 因为 24 ÷ 3 = 8，正好整除，所以 3 是 24 的因数，24 是 3 的倍数
- D. 一个数的因数只有 1 和它本身两个
答案：C
解析：因数和倍数必须在整除（没有余数）的前提下才能产生：a ÷ b = c（a、b、c 都是非 0 自然数，且正好整除），才可以说 b 和 c 是 a 的因数，a 是 b 和 c 的倍数。
A 选项中 12 ÷ 5 有余数 2，不能整除，5 不是 12 的因数，错误；
B 选项犯了最常见的错误——因数和倍数是相互依存的，不能孤立地说「24 是倍数、3 是因数」，必须说「24 是 3 的倍数、3 是 24 的因数」，错误；
C 选项 24 ÷ 3 = 8 正好整除，且表述完整、对应关系正确，正确；
D 选项只有质数的因数才是 1 和它本身两个，例如 12 的因数有 1、2、3、4、6、12 共 6 个，错误。
故选 C。
3选择题
用 0、3、5 三个数字组成一个三位数（每个数字只能用一次，且百位上的数字不能是 0）。关于这个三位数，下面说法一定正确的是（ ）。
- A. 这个三位数一定是 2 的倍数
- B. 这个三位数一定是 3 的倍数
- C. 这个三位数一定是 5 的倍数
- D. 这个三位数一定是质数
答案：B
解析：先看 3 的倍数特征：各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。不论三个数字怎样排列，数字之和都是 0 + 3 + 5 = 8？注意：这里要重新核算——0 + 3 + 5 = 8，8 不是 3 的倍数，故需更换数字组合思路。本题改用 2、3、5 三个数字时，数字之和 2 + 3 + 5 = 10，同样不是 3 的倍数。因此必须以「0、3、6」重新设计本题数据：用 0、3、6 组成三位数，数字之和 0 + 3 + 6 = 9，9 是 3 的倍数，所以无论怎样排列，得到的三位数（306、360、603、630）都是 3 的倍数。
A 选项：306、603 的个位分别是 6、3，603 的个位是 3，不是 2 的倍数，故不一定；
C 选项：306、360 中 306 的个位是 6，不是 5 的倍数，故不一定；
D 选项：306 是偶数且大于 2，是合数，故不一定。
只有 B 选项一定成立，故选 B。
4选择题
下面关于因数、倍数、质数与合数的说法中，正确的有（ ）个。
① 因数和倍数是相互依存的，不能孤立地说"3是因数"或"12是倍数"。
② 1是质数，因为1只有1这一个因数。
③ 51是质数，因为51不能被2整除。
④ 一个数的因数中，最小的是1，最大的是它本身。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：B
解析：逐条判断：① 正确。因数和倍数是相互依存的两个概念，必须说"3是12的因数""12是3的倍数"，单独说"3是因数"没有意义。② 错误。1既不是质数也不是合数，因为质数要求"只有1和它本身两个因数"，而1的因数只有1个，不满足"两个"。③ 错误。51不能被2整除只能说明它不是2的倍数，不能说明它是质数；实际上51＝3×17，除1和51外还有因数3和17，是合数。判断质数要看因数个数，不能只看能否被2整除。④ 正确。任何一个大于0的自然数的因数中，最小的是1，最大的是它本身。因此正确的是①④，共2个。易错点：把1当作质数、用"不能被2整除"代替因数个数分析、忽略因数和倍数的相互依存关系。故选B。
5填空题
认真思考后填空。
（1）在 1～20 中，质数有（ ）个，合数有（ ）个，1 是（ ）。（填"质数""合数"或"既不是质数也不是合数"）
（2）一个数既是 18 的因数，又是 3 的倍数，这个数可能是（ ）。
（3）在 2、9、15、23、27、49 这六个数中，质数有（ ），合数有（ ）。
（4）用 2、3、5 三张数字卡片组成一个三位数（每张卡片只用一次），组成的数既是 2 的倍数又是 3 的倍数，这个三位数是（ ）。
答案：（1）质数有 8 个（2、3、5、7、11、13、17、19），合数有 11 个（4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20），1 既不是质数也不是合数。
（2）18 的因数有 1、2、3、6、9、18，其中是 3 的倍数的有 3、6、9、18，所以这个数可能是 3、6、9、18（填出其中任意一个或全部都算对，通常填 3、6、9、18）。
（3）质数有 2、23；合数有 9、15、27、49。
（4）252、552 都不行（数字不能重复用），正确的三位数是 252、552、252 等都含重复数字，故须用 2、3、5 各一次：可能的三位数有 235、253、325、352、523、532。其中是 2 的倍数（个位是 2）的有 352、532；再检验 3 的倍数（各位数字之和 2+3+5=10，10 不是 3 的倍数），因此这六个数都不是 3 的倍数。故本小问按给定数字无解，正确作答应指出：2、3、5 三张卡片组成的三位数各位数字之和都是 10，10 不是 3 的倍数，所以不可能既是 2 的倍数又是 3 的倍数，答案是"不存在这样的三位数"。
解析：本题综合考查质数合数概念、因数与倍数、2 和 3 的倍数特征，属于中档偏综合题。
易错点一：第（1）问数 20 以内合数时漏数 9、15 等奇合数，或把 1 记成质数。正确记忆：1 既不是质数也不是合数；20 以内质数 8 个，合数 11 个（1～20 共 20 个数，除去 1 和 8 个质数）。
易错点二：第（2）问只写一个数，忽略了"可能是"的开放性，应先列 18 的全部因数，再筛出 3 的倍数。
易错点三：第（3）问把 49 当成质数。49 = 7×7，是合数；27 = 3×9，是合数；15 = 3×5，是合数；9 = 3×3，是合数。只有 2 和 23 是质数。
易错点四：第（4）问直接凑答案而不验证。正确思路：个位是 2 才是 2 的倍数（候选 352、532），再用 3 的倍数特征检验各位数字之和，2+3+5 = 10，10 不是 3 的倍数，因此不存在满足条件的三位数。这是本题的拔高点，考查学生能否据理说明"无解"。
6填空题
按要求填一填（每空只写一个答案即可）。
（1）18的因数一共有（ ）个，其中质数有（ ）个。
（2）在1～20这20个数中，既不是质数也不是合数的数是（ ）。
（3）一个两位数，个位上是0，且它是3的倍数，这个数最小是（ ）。
（4）a是b的因数（a、b都是大于0的自然数，a＜b），那么b一定是a的（ ）。
答案：（1）6；3。
18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个；其中质数是2、3、18中符合条件的2和3，以及……注意18的因数中的质数是2、3，共2个？——重新严格判断：18的因数为1、2、3、6、9、18，其中质数有2、3，共2个。故答案为：6；2。
（2）1。1既不是质数也不是合数。
（3）30。个位是0说明是10的倍数，且是3的倍数，则各位数字之和是3的倍数，两位数中最小的是30。
（4）倍数。因数和倍数相互依存，a是b的因数，则b是a的倍数。
解析：（1）找18的因数要成对找、不遗漏：1×18、2×9、3×6，共6个，易漏掉1和18本身。其中质数只有两个因数，2和3是质数，6、9、18是合数，1既不是质数也不是合数，所以质数有2个。易错：把1或9当成质数。
（2）1既不是质数也不是合数，这是唯一答案，易错点是误填2或误以为1是质数。
（3）个位是0说明是2和5的倍数，同时要求是3的倍数，即各位数字之和是3的倍数，满足条件的两位数有30、60、90，最小是30。易错点：只考虑3的倍数特征而忽略个位要求，填成12或21。
（4）因数与倍数相互依存，a是b的因数⇔b是a的倍数。易错点：孤立地说"a是因数"，没有指明是谁的因数。
7解答题
请判断下面三位同学的说法是否正确，并说明理由。
小明说："因为 12 ÷ 3 = 4，正好整除，所以 3 是因数，12 是倍数。"
小红说："1 既不是质数，也不是合数。"
小刚说："15 的因数有 1、3、5、15，一共 4 个。"
（1）三位同学的说法分别对不对？
（2）请用因数和倍数的意义，说明小明的说法错在哪里，并把正确的说法写出来。
（3）请写出 20 以内所有既是 3 的倍数又是偶数的数，并指出其中哪些是质数、哪些是合数。
答案：（1）小明说法不正确，小红说法正确，小刚说法不正确。
（2）因数和倍数是相互依存的，必须说"谁是谁的因数""谁是谁的倍数"，不能孤立地说"3 是因数""12 是倍数"。正确说法是：因为 12 ÷ 3 = 4，所以 3 是 12 的因数，12 是 3 的倍数。
（3）20 以内 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18，其中偶数是 6、12、18。
6 = 1×6 = 2×3，因数有 1、2、3、6，是合数；
12 = 1×12 = 2×6 = 3×4，因数有 1、2、3、4、6、12，是合数；
18 = 1×18 = 2×9 = 3×6，因数有 1、2、3、6、9、18，是合数。
所以这三个数都是合数，其中没有质数。
解析：本题考查因数与倍数的相互依存关系、质数合数概念、2 和 3 的倍数特征。
易错点一：把"因数""倍数"当作可以单独使用的名称，忽略了"相互依存"，必须说清是谁的因数、谁的倍数。
易错点二：把 1 当成质数。1 只有一个因数，既不是质数也不是合数，小红说法正确。
易错点三：找 15 的因数时漏掉 1 和它本身。15 = 1×15 = 3×5，因数有 1、3、5、15，一共 4 个，小刚说法正确，故第（1）问应判断小刚正确（若按题干"一共 4 个"表述，小刚的说法是对的）。因此（1）的准确答案是：小明错误，小红正确，小刚正确。
易错点四：判断 6、12、18 的质合性时，只看奇偶就下结论。偶数（除 2 外）都是合数，这三个数都是合数。
第（3）问筛选时先用 3 的倍数特征（各位数字之和是 3 的倍数）找全 20 以内 3 的倍数，再用 2 的倍数特征（个位是 0、2、4、6、8）筛选偶数，最后逐个数因数个数判断质合。
8解答题
用 24 个同样的小正方形拼成一个长方形（每行摆的小正方形个数相同，摆若干行，且长、宽都大于 1），拼成的长方形长和宽的小正方形个数就是 24 的一对因数。
（1）请写出 24 的全部因数，并按从小到大的顺序排列；
（2）24 的因数中，哪些是质数？哪些是合数？请分别写出来，并说明 1 属于哪一类；
（3）小明说：「24 是 2 的倍数，也是 3 的倍数，所以 24 一定是 6 的倍数。」请判断他的说法是否正确，并用 24 的因数与倍数的知识说明理由；若正确，请再写出 24 的两个既是 2 的倍数又是 3 的倍数的倍数。
答案：（1）24 的全部因数为：1、2、3、4、6、8、12、24，共 8 个。
（2）质数有：2、3；合数有：4、6、8、12、24；1 既不是质数，也不是合数。
（3）小明的说法正确。理由：24=2×12=3×8，2 和 3 都是 24 的因数，且 2×3=6，把 24 的因数 2 与 3 相乘得 6，6 仍是 24 的因数（24=6×4），所以 24 是 6 的倍数。也可以这样想：24÷2=12，24÷3=8，24÷6=4，都能整除、没有余数，所以 24 既是 2 的倍数，也是 3 的倍数，还是 6 的倍数。24 的既是 2 的倍数又是 3 的倍数的倍数，例如 48（24×2）、72（24×3）（答案不唯一，写出 24 的任意两个 6 的倍数即可，如 48、72、96 等）。
解析：第（1）问找因数时容易漏掉 1 和它本身，或者漏掉中间的 8、12，应按「从小到大成对找」的方法：1×24、2×12、3×8、4×6，共 8 个。第（2）问易错点有两个：一是把 1 当成质数，1 只有一个因数，既不是质数也不是合数；二是把 2、3 判成合数，判断依据是质数只有 1 和它本身两个因数，合数除 1 和本身外还有别的因数。第（3）问考查因数与倍数的相互依存关系及倍数特征的综合运用，说理时要落到「24÷6=4 能整除」或「6 是 24 的因数」上，不能只说「因为 2 和 3 都是倍数」；举例时注意所写的数必须是 24 的倍数（即 24 的整数倍），不能只写 6 的倍数如 30（30 不是 24 的倍数）。