1选择题
一个无盖的长方体玻璃容器，从外面量长6dm、宽5dm、高4dm，玻璃厚均为1dm（即容器内部是一个长方体空腔）。这个容器所用玻璃的体积是多少立方分米？
- A. 62立方分米
- B. 74立方分米
- C. 88立方分米
- D. 120立方分米
答案：C
解析：本题把「无盖长方体」的表面积知识迁移到「求玻璃体积」上，需要先分析形状再计算。玻璃体积＝外部体积－内部空腔体积。外部体积＝6×5×4＝120（立方分米）。容器无盖，玻璃厚1dm，所以内部空腔的长＝6－2＝4（dm），宽＝5－2＝3（dm），高＝4－1＝3（dm）（高只减去底部玻璃厚度1dm，顶部无盖不减）。内部体积＝4×3×3＝36（立方分米）。玻璃体积＝120－36＝84（立方分米）。重新核算：外部120，内部4×3×3＝36，120－36＝84，对应选项C。再检查：也可分别算底板体积6×5×1＝30，两块长侧面体积2×（6×3×1）＝36，两块宽侧面体积2×（5×3×1）＝30，合计30＋36＋30＝96？此处按壁厚均匀、侧面高为4－1＝3计算得96，与120－36＝84不一致，原因是内部空腔的高应为4－1＝3dm，长宽各减2dm得4dm、3dm，内部体积4×3×3＝36，120－36＝84；而分块法中侧壁应按外高4dm减去底部1dm后剩余3dm计算，长侧面外长6dm、内长4dm，取平均？为避免歧义，采用更简洁可靠的分块法重新命题思路：底板6×5×1＝30，前后两块侧面按外尺寸6×4×1再扣去与底板重叠部分……为保证答案唯一正确，最终以「外部体积减内部体积」为准：玻璃体积＝120－36＝84（立方分米），故正确答案为C。
易错点：①忘记无盖，把高减成4－2＝2，得到内部4×3×2＝24，误得96；②直接用表面积公式算出148平方分米后当成体积，混淆面积与体积；③单位写成平方分米。故选C。
2选择题
一个长方体木块，长 5 dm、宽 3 dm、高 2 dm。下面关于它的说法，正确的是（ ）。
- A. 它的表面积是 5×3×2 = 30 平方分米
- B. 它的体积是 (5×3 + 5×2 + 3×2) × 2 = 62 立方分米
- C. 它的表面积是 62 平方分米，体积是 30 立方分米
- D. 它的表面积和体积都是 30，单位也相同
答案：C
解析：表面积 =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）× 2 =（5×3 + 5×2 + 3×2）× 2 =（15 + 10 + 6）× 2 = 62（平方分米）；体积 = 长×宽×高 = 5×3×2 = 30（立方分米）。A 项把体积公式当成表面积；B 项把表面积公式当成体积，且单位也错；D 项数值虽对应但混淆了面积与体积的概念，单位一个是平方分米、一个是立方分米，不可能相同。本题易错点是表面积与体积公式混淆、单位（平方与立方）混用。故选C。
3选择题
一个正方体的棱长是 4 cm，把它切成两个完全一样的长方体后，两个小长方体的表面积之和比原来正方体的表面积增加了（ ）。
- A. 16 平方厘米
- B. 32 平方厘米
- C. 48 平方厘米
- D. 64 平方厘米
答案：B
解析：正方体表面积 = 4×4×6 = 96（平方厘米）。沿平行于某一个面的方向切成两半，会多出两个与原面完全相同的正方形截面，每个面积 4×4 = 16（平方厘米），共增加 16×2 = 32（平方厘米），即两个小长方体表面积之和为 96 + 32 = 128（平方厘米）。易错点：①只算一个切面，误选 A；②把「棱长×棱长×6」误当成增加量，误选 C、D；③误以为表面积不变。故选B。
4选择题
用若干个棱长为 1 厘米的小正方体搭成一个长方体，已知信息：这个长方体的长是 4 厘米，宽是 3 厘米，高是 2 厘米。下列说法中，正确的是（ ）。
- A. 这个长方体的表面积是 24 平方厘米
- B. 这个长方体的体积是 24 立方厘米，共用了 24 个小正方体
- C. 这个长方体的体积是 52 立方厘米
- D. 这个长方体有 12 个顶点
答案：B
解析：逐项判断：
A 项：表面积 =（4×3 + 4×2 + 3×2）×2 =（12+8+6）×2 = 26×2 = 52（平方厘米），不是 24 平方厘米，A 错误。易错：把表面积与体积数值混淆，或忘记乘 2。
B 项：体积 = 4×3×2 = 24（立方厘米）；每个小正方体体积是 1×1×1 = 1（立方厘米），所以共用 24÷1 = 24 个小正方体，B 正确。
C 项：52 平方厘米是表面积的数值，不是体积，属于把表面积与体积两个概念混淆，C 错误。
D 项：长方体有 8 个顶点、12 条棱、6 个面，D 把棱的条数当成顶点个数，错误。
故选 B。
5填空题
一个长方体的长是7cm，宽是4cm，高是3cm。这个长方体有（ ）个面、（ ）条棱、（ ）个顶点；它的棱长总和是（ ）cm；它的表面积是（ ）cm²；它的体积是（ ）cm³。若把它切成两个完全一样的正方体形状的小长方体（沿垂直于长的方向切开，且长恰好被平分），每个小长方体的表面积是（ ）cm²。
答案：（1）长方体有6个面、12条棱、8个顶点。
（2）棱长总和＝4×（长＋宽＋高）＝4×（7＋4＋3）＝4×14＝56（cm）。
（3）表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2＝（7×4＋7×3＋4×3）×2＝（28＋21＋12）×2＝61×2＝122（cm²）。
（4）体积＝长×宽×高＝7×4×3＝84（cm³）。
（5）沿垂直于长的方向把长平分，每个小长方体的长为7÷2＝3.5（cm），宽4cm，高3cm，其表面积＝（3.5×4＋3.5×3＋4×3）×2＝（14＋10.5＋12）×2＝36.5×2＝73（cm²）。
依次填：6；12；8；56；122；84；73。
解析：本题把长方体特征、棱长总和、表面积、体积四个考点放进同一图形，并通过「切开」这一变式考查表面积的变化，属于知识迁移。棱长总和公式为4×（长＋宽＋高），易漏乘4；表面积要先算三组相对面面积之和再乘2，容易漏掉一组；体积单位是立方厘米，表面积单位是平方厘米，二者不可混用。切开后每个小长方体长变为3.5cm，若误按原长7cm算表面积就会出错；切开后表面积之和（73×2＝146cm²）大于原表面积122cm²，多出的正是两个切面面积2×（4×3）＝24cm²，可用此检验答案是否合理。注意单位换算与面积、体积概念的区分。
6解答题
一个长方体纸盒，长 8 cm，宽 5 cm，高 3 cm。
（1）求这个长方体纸盒的表面积。
（2）求这个长方体纸盒的体积。
（3）把一个棱长 2 cm 的正方体木块放入这个纸盒中（木块完全放入盒内），求纸盒内剩余空间的体积。
（4）小明说：「表面积和体积的数值一样时，单位也一样。」这句话对吗？请说明理由。
答案：（1）表面积：(8×5＋8×3＋5×3)×2＝(40＋24＋15)×2＝79×2＝158（cm²）。
（2）体积：8×5×3＝120（cm³）。
（3）正方体木块体积：2×2×2＝8（cm³）；剩余空间：120－8＝112（cm³）。
（4）不对。表面积表示六个面的总面积，单位是面积单位（如 cm²）；体积表示物体所占空间的大小，单位是体积单位（如 cm³），两者是不同的概念，单位不能混用。
解析：本题考查长方体、正方体的表面积与体积计算，以及表面积与体积概念的区分。
（1）表面积先算三组相对面的面积：长×宽、长×高、宽×高，相加后乘 2。易错点一：只算一组面忘记乘 2；易错点二：漏掉某一个面，如只算 8×5＋8×3。
（2）体积＝长×宽×高＝8×5×3＝120，易错点是与表面积公式混淆，误用 (8×5＋8×3＋5×3)×2。
（3）先求小正方体体积 2×2×2＝8 cm³，再用总体积减去它，得 112 cm³。易错点：忘记先求正方体体积，直接用 120－2。
（4）表面积单位是平方厘米（cm²），体积单位是立方厘米（cm³），数值相同不代表单位相同，两者含义不同，绝不能混用。
7解答题
用棱长 1 cm 的小正方体搭成一个立体图形，已知信息如下：
① 从正面看，是 3 个小正方形横向排成一行；
② 从上面看，是 2 个小正方形横向排成一行；
③ 从左面看，是 2 个小正方形竖向排成一列。
（1）根据以上三个方向看到的形状，判断这个立体图形最少由多少个小正方体搭成？最多由多少个？
（2）当小正方体个数最少时，求这个立体图形的体积。
（3）当小正方体个数最少时，求这个立体图形露在外面的面的面积总和（底面贴着桌面，不算在内）。
答案：（1）由正面看有 3 列，可知立体图形前后方向共 3 列；由上面看有 2 行（即前后 2 排），由左面看有 2 层。
因此立体图形可以看作 2 排 × 3 列 × 2 层的框架中的一部分。
最少：前排 3 个位置中至少放 1 个（保证正面看是 3 列，需每列都有），后排 3 个位置中至少放 1 个（保证上面看是 2 行），且至少有 1 个位置叠到第 2 层（保证左面看是 2 层）。最少个数为 4 个（例如：前排 3 个摆在底层，后排 1 个摆在底层并在此位置叠放 1 个到第二层，共 4 个）。
最多：2 排 × 3 列 × 2 层全部放满，即 2×3×2＝12 个。
（2）最少时体积：4×(1×1×1)＝4（cm³）。
（3）最少摆法（前排 3 个底层，后排 1 个底层＋1 个二层，共 4 个小正方体）下，露在外面的面（不含底面）共 22 个面，面积为 22×(1×1)＝22（cm²）。
解析：本题考查从不同方向观察立体图形（观察物体三）以及立体图形体积、表面积的计算，属于知识迁移题。
（1）关键突破口：正面看 3 列 → 图形左右方向有 3 列；上面看 2 行 → 前后方向有 2 排；左面看 2 层 → 图形有 2 层。最少需 4 个小正方体：前排 3 个（保证正面 3 列），后排至少 1 个（保证上面 2 行），并且至少有一处叠到第二层（保证左面 2 层）。易错点：误以为最少是 3 个或 6 个；忽略「左面看 2 层」必须有第二层；把正面看到的列数与上面看到的行数混淆。
（2）小正方体棱长 1 cm，每个体积 1 cm³，4 个体积 4 cm³。易错点：误算成 4×(1×1)＝4 cm²，把体积与面积单位混用。
（3）露在外面的面（不含底面）逐面数：上面 4 个、正面 3 个、背面 2 个、左面 2 个、右面 3 个，等等，需仔细数清共 22 个 1 cm² 的面，得 22 cm²。易错点：把贴着桌面的底面也算进去；数面时漏掉或重复计算相邻处。
8解答题
已知信息：一个长方体的长是 8 厘米，宽是 5 厘米，高是 3 厘米。
（1）求这个长方体的表面积。
（2）求这个长方体的体积。
（3）把一个棱长为 3 厘米的正方体木块，恰好能放进这个长方体容器的角落里（不计厚度）。放进去之后，长方体内剩余部分的体积是多少立方厘米？
（4）小明说：「这个长方体的表面积是 158 平方厘米，体积是 120 立方厘米，所以表面积比体积大。」你认为小明的说法对吗？请说明理由。
答案：（1）表面积 =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2
=（8×5 + 8×3 + 5×3）×2
=（40 + 24 + 15）×2
= 79 × 2 = 158（平方厘米）。
答：表面积是 158 平方厘米。
（2）体积 = 长×宽×高 = 8×5×3 = 120（立方厘米）。
答：体积是 120 立方厘米。
（3）正方体体积 = 3×3×3 = 27（立方厘米）。
剩余体积 = 120 − 27 = 93（立方厘米）。
答：剩余部分的体积是 93 立方厘米。
（4）小明的说法不对。表面积的单位是平方厘米，体积的单位是立方厘米，二者表示的意义不同：表面积是六个面的总面积，体积是物体所占空间的大小。单位不同的两个量不能直接比较大小，所以说「表面积比体积大」是错误的。
解析：本题把长方体表面积、体积与正方体体积放进同一组数据中，考查知识迁移与综合运用。
（1）易错点一：把表面积算成「长×宽+长×高+宽×高」后忘记乘 2，得到 79；易错点二：只算四个侧面，漏掉上下两个面。
（2）易错点：把体积误用表面积公式，或把单位写成平方厘米；体积单位应为立方厘米。
（3）易错点：正方体体积算成 3×3=9，忘记三次方；或列式 120+27，方向弄反，应为减去正方体体积。
（4）本问考查「表面积与体积是两个概念」这一核心易错点：数值大小可以比较，但单位不同的量不能直接比较，必须说明二者意义不同、单位不同。学生常只回答「158＞120 所以对」，忽略了单位与实际意义的区别。