1选择题
某市举办"小小发明家"科技节，参赛的 13 个机器人模型中混入了 1 个零件偏轻的次品模型。评委老师用一架没有砝码的天平来找这个次品，每次都把待检的模型尽量平均分成三份来称。那么，最少称几次一定能找出这个次品模型？
答案：B
解析：找次品尽量三等分，每次把范围缩小到原来的 1/3。13 个模型第一次尽量平均分成三份：5 个、4 个、4 个。把两个 4 个的分别放天平两边称第一次：若平衡，次品在 5 个那组；若不平衡，次品在较轻的 4 个那组。无论哪种情况，剩下的范围都不超过 5 个。第二次：5 个（或 4 个）再分成三份，如 5 个分成 2、2、1，称两个 2 个的，可把范围缩小到 2 个或 1 个。第三次：若还剩 2 个，把它们放天平两边一称，轻的就是次品。所以 3 次一定能找出。也可用规律判断：3¹＝3＜13≤3²＝9 不成立，3²＝9＜13≤3³＝27，故最少 3 次。易错点：一是把 13 个当成 9 个或 27 个，误选 A 或 C；二是忘记第一次分成 5、4、4 三份时，最不利情况是次品在 5 个那组，需要按 5 个继续分析；三是以为两两比较只需 2 次，忽略了天平一次只能比较两份、必须靠三等分才能一次排除两份。故选 B。
2选择题
新闻报道：某县为学校配发的 81 盒营养午餐在运输过程中疑似受损，抽检发现其中恰有 1 盒的净含量不足，属于次品。已知合格午餐盒的净含量完全相同，次品盒比合格盒轻一些，其余盒子重量一致。工作人员只有一架没有砝码的天平，想用最少的次数保证找出这个次品盒。下列说法正确的是（ ）。
- A. 最少称 3 次一定能找出次品，方法是先把 81 盒分成 40、40、1 三份，天平两边各放 40 盒
- B. 最少称 4 次一定能找出次品，方法是每次尽量把待测的盒子平均分成 3 份，天平两边各放一份
- C. 最少称 4 次一定能找出次品，方法是先把 81 盒平均分成 9 份，每份 9 盒，再依次两两称量
- D. 最少称 5 次一定能找出次品，因为每次称量最多只能排除一半的盒子
答案：B
解析：本题把「找次品」策略放进午餐抽检的新闻情境中，综合考查三等分思想与次数估算。
先算最少次数：81 盒尽量三等分，分成 27、27、27，天平两边各放 27 盒，称 1 次就能把范围缩小到 27 盒；27 盒再三等分，称 1 次缩小到 9 盒；9 盒三等分，称 1 次缩小到 3 盒；3 盒分成 1、1、1，称 1 次找出次品。共 4 次。也可以用 3ⁿ 判断：3¹＝3，3²＝9，3³＝27，3⁴＝81，所以 81 盒最少 4 次。
逐项判断：A 项分成 40、40、1，若天平平衡则次品就是没称的那 1 盒，看似只需 1 次；但若天平不平衡，次品在较轻的 40 盒里，还需要多次才能找出，因此「3 次一定找出」不成立，错误。B 项正是三等分策略，81＝3⁴，最少 4 次，正确。C 项先平均分成 9 份再「依次两两称量」，不是三等分策略，称量次数远多于 4 次，错误。D 项「每次最多排除一半」是二分思路，效率低于三等分，结论 5 次也不对，错误。
易错点：①误认为天平两边放得越多越好（如 40、40），忽略不平衡时范围仍然很大；②把「分成 9 份」当成「三等分」，其实每一步都应把待测的那一批平均分成 3 份；③混淆「排除一半」与「排除两份」，三等分一次能排除两份，效率最高。故选 B。
3选择题
新闻报道情境：某玩具厂在抽检中发现，12 只同型号智能机器人中恰有一只是次品，次品比合格品稍轻，外观完全相同。质检员用一架没有砝码的天平，采用「尽量三等分」的策略来称。下列说法中正确的是（ ）。
- A. 把 12 只机器人分成 6、6 两份称一次，若不平衡，次品在较轻的 6 只里，这样再称一次就能找出，共 2 次，是最佳方案
- B. 把 12 只机器人尽量平均分成 4、4、4 三份，天平两边各放 4 只，称一次即可把范围缩小到 4 只；再把这 4 只分成 1、1、2 或 2、2 两份继续称，最少 3 次一定能找出次品
- C. 把 12 只机器人尽量平均分成 4、4、4 三份，称一次确定次品在哪 4 只中；再把这 4 只分成 1、1、2 三份，天平两边各放 1 只，称第二次即可找出次品，所以 2 次一定能找出次品
- D. 不管怎样分，12 只机器人至少要称 4 次才能保证找出次品，因为 12 比 9 多
答案：B
解析：逐项分析：
A 项：分成 6、6 两份只分成两份，不是三等分，一次只能排除 6 只；且剩下 6 只还需至少 2 次（6→3→1），总共至少 3 次，说「共 2 次」错误。
B 项：12 只尽量三等分成 4、4、4，天平两边各放 4 只，称一次即可确定次品在哪 4 只中（平衡则在未称的 4 只中，不平衡则在较轻的 4 只中）；这 4 只再称：分成 1、1、2，两边各放 1 只，若不平衡，较轻的 1 只是次品；若平衡，次品在未称的 2 只中，再称一次（1、1 各放一个）即可找出。所以最多 3 次一定能找出，说法正确。
C 项：4 只分成 1、1、2 后，天平两边各放 1 只，若平衡，次品在剩下 2 只中，第二次称不能确定是哪一只，还需第三次，故「2 次一定能找出」错误。
D 项：由 3³ = 27 > 12 可知，理论上 3 次足够，说「至少 4 次」错误。
故选 B。
易错点：一是把「尽量三等分」误用成二等分；二是误以为 4 只物品 2 次一定能找出（实际 4 只需 2 次，但不能保证 1 次，且题目中的第二次称法需考虑平衡情形）；三是忘记天平平衡时次品在未称的一份里。
4填空题
新闻报道：某市一家医疗器械公司在例行质检中发现，流水线上生产的一批医用口罩包装盒中，有且只有一个包装盒里的口罩数量不足，属于不合格的次品。已知每个合格包装盒里的口罩数量相同，次品包装盒比合格的轻一些，其余包装盒重量完全相同。质检员手边只有一架没有砝码的天平。
（1）如果这批包装盒一共有 9 个，质检员用天平至少称 ______ 次，就一定能找出这个次品包装盒；
（2）如果这批包装盒一共有 27 个，质检员用天平至少称 ______ 次，就一定能找出这个次品包装盒；
（3）如果质检员只称了 3 次就保证找出次品，那么这批包装盒最多有 ______ 个。
答案：（1）2；（2）3；（3）27。
解析过程：
（1）9 个包装盒尽量三等分，分成 3、3、3。天平两边各放 3 个：若天平平衡，次品在没称的 3 个里；若不平衡，次品在较轻的 3 个里。这样称 1 次就把范围缩小到 3 个。再把这 3 个分成 1、1、1，天平两边各放 1 个：平衡则次品是没称的那 1 个，不平衡则次品是较轻的那 1 个，又用 1 次。一共 2＋1＝2 次。
（2）27 个包装盒分成 9、9、9，称 1 次确定次品在哪 9 个里；9 个里再称 2 次（由第（1）问可知）。一共 1＋2＝3 次。
（3）称 1 次最多能从 3 个里找出次品；称 2 次最多能从 3×3＝9 个里找出次品；称 3 次最多能从 3×3×3＝27 个里找出次品。所以称 3 次保证找出次品，包装盒最多 27 个。
解析：本题考查「找次品」的三等分策略，融合了有序推理与乘法计算。解题关键是每次把待测物品尽量平均分成 3 份，天平两边各放一份，称一次就能排除两份，效率最高。易错点：①把 9 个分成 4、4、1 或 2、2、5 等不平均的三份，导致次数变多；②忘记考虑天平「平衡」时次品在没称的那一份里；③第（3）问误写成 3×3×3÷2 或 9×2，没有理解「称 n 次最多能从 3ⁿ 个物品中找出 1 个次品」的道理。
5解答题
新闻里报道：某市一家文具厂新生产了一批环保铅笔共 27 支，准备捐赠给乡村小学。质检员叔叔在抽检时发现，其中有 1 支铅笔的笔芯比合格铅笔轻一点（次品），他手边只有一架没有砝码的天平。
（1）用这架天平，最少称几次一定能找出这支次品铅笔？请写出每次的分组方法和判断过程。
（2）如果这批铅笔的数量增加到 81 支，仍然只有 1 支次品且次品偏轻，最少称几次一定能找出来？
（3）质检员叔叔说："找次品时，把物品尽量平均分成三份来称，次数最少。"请用上面的数据说明为什么"尽量三等分"最好。
答案：（1）最少称 3 次。第一次：把 27 支铅笔尽量平均分成三份，每份 9 支，任取两份分别放在天平两边。若天平平衡，次品在没称的那份 9 支里；若不平衡，次品在较轻的那份 9 支里。第二次：把这 9 支再平均分成三份，每份 3 支，同样称两份，确定次品在哪 3 支里。第三次：把这 3 支再分成三份，每份 1 支，称两支，较轻的那支就是次品（若平衡则是没称的那支）。共 3 次。
（2）最少称 4 次。81 支第一次分成三份，每份 27 支，称一次确定次品在哪个 27 支里；这个 27 支按第（1）问再称 3 次即可。所以 1＋3＝4 次。
（3）因为天平称一次有"左轻、右轻、平衡"三种结果，正好可以把物品分成三份：把物品尽量平均分成三份，称其中两份，一次就能把次品锁定在其中一份里，也就是一次排除掉两份的物品，剩下需要再称的物品数大约只剩原来的 1/3，效率最高。例如 27 支：若每 9 支一份，称 1 次就排除 18 支；若分成两份（13 支和 13 支）来称，最不利情况下还要在 13 支里继续找，需要的次数就更多。所以尽量三等分次数最少。
解析：本题综合考查"找次品"策略与推理表达。关键策略是尽量三等分：每称一次就把范围缩小到原来的 1/3。27 支最少称 3 次（27→9→3→1），81 支最少称 4 次（81→27→9→3→1），即物品数在 3ⁿ⁻¹＜n≤3ⁿ 之间时最少称 n 次。易错点：一是没有尽量三等分，比如把 27 支分成 13 支和 13 支两份来称，导致次数增多；二是忘记考虑天平平衡的情况，漏写"若平衡则次品在没称的那份里"；三是第（2）问直接照搬第（1）问答案写 3 次，忽略数量变成 81 支后多了一层分组；四是第（3）问答不出"一次排除两份"这个核心理由。
6解答题
新闻背景：某市质检部门在一家电器厂抽检充电器，抽检的 27 个充电器中恰好有 1 个是次品，次品比合格品略轻，外形完全一样，只能用天平称量来找出。
已知信息：天平每次称量只能比较两边托盘上物品的轻重，若两边数量相同且平衡，则次品不在两边；若不平衡，则次品在较轻的一边。
请回答：
（1）要保证一定能找出这个次品，最少需要称几次？
（2）请写出第一次称量时的分组方案，并说明理由。
（3）请用简要的文字或流程说明每一次称量后，如何继续缩小范围，直到找出次品。
（4）如果不采用尽量三等分的方法，而是每次把零件平均分成两份来称，27 个充电器大约要称几次？请结合两种方法说明为什么三等分更省次数。
答案：（1）最少需要称 3 次。
（2）第一次称量：把 27 个充电器尽量平均分成 3 份，每份 9 个，天平两边各放 9 个，剩下 9 个不称。
理由：称一次后，若天平平衡，则次品在没称的 9 个中；若不平衡，则次品在较轻的 9 个中。这样一次就能排除 18 个，效率最高。
（3）第二次：把剩下的 9 个再尽量平均分成 3 份，每份 3 个，天平两边各放 3 个，称一次，确定次品所在的 3 个。第三次：把这 3 个再分成 3 份，每份 1 个，天平两边各放 1 个，称一次，若平衡则剩下没称的那个是次品，若不平衡则较轻的那个是次品。共 3 次。
（4）若每次平均分成两份：27→14（称1次）→7（称2次）→4（称3次）→2（称4次）→1（称5次），大约要称 5 次。三等分每次能排除两份、只留下一份，排除的最多，所以 27 个只要 3 次，比两等分的 5 次更省次数。
解析：本题综合考查找次品问题中的三等分策略与推理过程。
（1）易错点：把 27 个直接当成 3³=27 需要 3 次的结论死记，却不理解过程；也有学生答 2 次，误以为 3×3×3=27 只需 2 次，实际上每次称量只能把范围缩小到三分之一，27→9→3→1 共 3 次。
（2）易错点：没有尽量三等分，比如分成 13、14 两份，导致次数变多；或分成 20、3、4 这类不均等的三份，效率降低。关键是每份尽量一样多。
（3）易错点：忘记考虑天平平衡的情况，只写不平衡时怎么办，漏掉「平衡时次品在没称的那一份里」这一分支。
（4）易错点：两等分时误把 27÷2 直接算成 13.5，应说明每次取整并向上取整；比较时要说明三等分一次能排除两份，效率最高。
7解答题
新闻背景：某社区开展「爱心义卖」，志愿者要把捐赠物品装箱。已知信息：
① 义卖收到一批共 243 件小礼品，其中恰好有 1 件是次品（比合格品轻），需要先用天平把它挑出来；
② 挑出次品后，剩下的 242 件合格礼品要平均分装到若干个礼盒中，每盒装的件数相同且多于 1 件；
③ 现场还统计到：这些合格礼品的总质量为 36 千克，平均每件重 36÷242 千克。
请回答：
（1）用天平找出这件次品，最少需要称几次？请写出分组思路。
（2）242 件合格礼品全部平均分装，每盒装的件数可以是多少？请把所有可能的情况都写出来（每盒件数多于 1 件）。
（3）若每盒装 11 件，一共需要多少个礼盒？
（4）把 36 千克平均分给 11 个礼盒，每盒礼品一共重多少千克？请用分数表示，并把这个分数化成带分数。
答案：（1）最少需要称 4 次。因为 243 = 3⁵？不对，243 = 3⁵ = 243，实际上 3⁵=243，需要 5 次？重新核算：243→81→27→9→3→1，共 5 次。正确答案：最少称 5 次。分组思路：每次把待查的零件尽量平均分成 3 份，天平两边各放一份，称一次就能判断次品在哪一份（平衡则在没称的那份，不平衡则在较轻的那份），再对那一份继续三等分，直到只剩 1 个。
（2）242 = 2 × 11 × 11，它的因数有 1、2、11、22、121、242。每盒件数多于 1 件且要平均分装完，所以每盒可以是 2 件、11 件、22 件、121 件、242 件。
（3）242 ÷ 11 = 22，一共需要 22 个礼盒。
（4）36 ÷ 11 = 36/11 千克；36 ÷ 11 = 3 余 3，所以 36/11 = 3又3/11 千克。
解析：本题综合考查找次品三等分策略、因数与倍数、分数与带分数互化。
（1）易错点：243 = 3⁵，需称 5 次（243→81→27→9→3→1），学生容易记成 3 次或 4 次，误以为 243 = 3³。注意每称一次范围缩小到三分之一，次数等于以 3 为底的指数。另外必须说明「平衡时次品在没称的那份里」，漏掉这一分支是常见失分点。
（2）易错点：因数找不全。242 = 2 × 11²，因数为 1、2、11、22、121、242，去掉 1 后每盒件数可以是 2、11、22、121、242；也有学生漏掉 22 和 121（即 2×11 与 11×11），或误把 24 之类的数当成因数。
（3）易错点：计算 242÷11 时误算成 21 或 22.2，应熟练掌握 11 的倍数特征，242 = 11×22。
（4）易错点：把 36÷11 写成 36/36 之类的错误；假分数化带分数时余数写错，36÷11 = 3 余 3，故 36/11 = 3又3/11，而不是 3又1/11。另注意单位是千克，答案要带单位。
8解答题
新闻报道情境：某市质检部门接到市民反映，某品牌罐装果汁的自动灌装线上可能有一罐净含量不足（该罐果汁比合格品略轻，外观完全相同）。为尽快查出问题产品，质检员用手边的一架天平（无砝码，只能比较两边轻重）对线上 27 罐同批次果汁进行检查。质检员说：「我要用最少的次数找出那罐不合格果汁。」请你帮质检员解决下面的问题。
（1）质检员把 27 罐果汁尽量平均分成三份，每份 9 罐。请说明第一次称量应怎样放、怎样判断，并说明这样做的好处。
（2）按照这样的方法继续称下去，最少称几次就一定能找出那罐不合格果汁？请写出每一步的分组方式与判断依据。
（3）质检站还存有另一批 81 罐同规格果汁，其中也恰有一罐偏轻。请判断这批果汁最少称几次能找出次品，并简要说明理由。
答案：（1）第一次把 27 罐尽量平均分成三份，每份 9 罐，在天平左右两盘各放 9 罐，剩下 9 罐不称。
若天平平衡，说明两边 18 罐都是合格品，次品在未称的那 9 罐里；若天平不平衡，次品在较轻的那 9 罐里（次品比合格品轻）。
好处：称一次就能排除 18 罐，把范围缩小到 9 罐，效率最高。
（2）最少称 3 次。
第一次：27 罐分成 9、9、9，称一次，确定次品在某 9 罐中；
第二次：这 9 罐分成 3、3、3，称一次，确定次品在某 3 罐中；
第三次：这 3 罐分成 1、1、1，称一次：若平衡，次品是未称的那 1 罐；若不平衡，次品是较轻的那 1 罐。
共 3 次一定能找出。
（3）81 罐最少称 4 次。理由：每次尽量三等分，81→27→9→3→1，每称一次范围缩小为原来的 1/3，故需 4 次；3⁴ = 81，所以 4 次一定能找出，3 次最多只能覆盖 3³ = 27 罐。
解析：本题考查「找次品」的核心策略——尽量三等分，每次排除两份。第（1）问的关键是想到把 27 罐分成 9、9、9，且要同时考虑天平平衡与不平衡两种情况，易错点是只写不平衡的情况、忘记平衡时次品在未称的一份中。第（2）问易错点是把 3 罐时写成「称两次」，正确做法是 1、1、1 各放一个，一次即可；也有学生把 27 罐误分成 13、13、1 或其他不均等分法，导致次数变多。第（3）问是变式拓展，学生若只凭感觉答「5 次」即错，应利用 3ⁿ 的规律：3³ = 27 < 81，3⁴ = 81，故至少 4 次。整题把找次品与新闻质检情境结合，强调「尽量三等分，每次排除两份」这一策略。